（课堂设计）2014-2015高中数学 第1单元学案（打包15套）新人教A版必修5
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（课堂设计）2014-2015高中数学 第1单元学案（打包15套）新人教A版必修5,课堂,设计,高中数学,单元学,打包,15,新人,必修
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1 合 【入门向导】 渔民与数学家的故事 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是，他请教数学家： “ 尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？ ” 集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动数学家非常激动，高兴地告诉渔民： “ 这就是集合！ ” 这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗 ？ 解 读集合的有关概念 一、注意集合的概念与 “ 全体 ” 的区别 集合的概念是现代数学中不定义的原始概念集合的概念虽然也含有 “ 全体 ” 的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合例如， “ 我校高一学生中高个子同学的全体 ” 就不能构成集合，而 “ 我校高一学生中所有身高高于 170 厘米的同学的全体 ” 则能构成集合 二、加强对集合元素的三大特性的理解 1确定性：对于 一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素如上述 “ 高个子同学 ” 并没有明确的标准来判断身高为多高是“ 高个子 ” ，即集合中的元素是不确定的 2互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视 例 1 已知 1,0， x，求实数 x 的值 解 若 0，则 x 0，此时集合为 1,0,0，不符合集合中元素的互异性，舍去 若 1，则 x 1. 当 x 1 时，集合为 1,0,1，舍去； 当 x 1 时，集合为 1,0， 1，符合 若 x，则 x 0 或 x 1，不符合互异性，都舍去 综上可知： x 1. 3无序性：集合是一个整体，集合中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合 a， b， c， b， a， c， c， b， a都是同一集合为帮助同学们记忆，特总结口诀如下： 集合平常很常用，数学概念各不同； 理解集合并不难，三个要素是关键； 元素确定与互异，还有无序要牢记 三、注重对空集概念的理解 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 含有任何元素，规定它是有 限集 注意 空集和集合 0是不同的， 是不含任何元素的集合，而 0表示只含有一个元素 “0” 的集合 和 也是不一样的， 是不含任何元素的集合， 表示只含有一个字母 “ ” 的集合，也可以看作由 作为元素构成的集合 四、正确理解集合与集合的关系 集合与集合之间是包含关系，它反映出了 “ 一个整体 ” 相对于另 “ 一个整体 ” 之间的关系包含关系有三种：子集、真子集和相等 2 1 “ 集合 A 是集合 B 的子集 ” ，意思是集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，但不能把 “ 集合 A 是集合 B 的子集 ” 理解为集合 A 是由集合 B 中 部分元素组成的集合，因为空集和集合 B 都是集合 B 的子集 2 “ 集合 A 是集合 B 的真子集 ” 有两层含义，一是集合 A 是集合 B 的子集，二是集合A 与集合 B 不相等，即集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A. 3要证明 A B，只需要证明 AB 且 BA 成立即可即可设任意 A，证明 B，证明 A 从而得到 BA，进而得到 A B. 例 2 已知集合 A x|x 12 4 ， k Z， B x|x 14 2 ， k Z，判断集合 是否相等可用列举法解之 解 即 A ， 4 ， 34 ， 54 ， 74 ， ， B ， 4 ， 2 ， 34 ， ， 54 ， 观察可知， A B. 4若集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 2 2n 1 个真子集，有 2n 2 个非空真子集 集 合易错点剖析 一、符号意义不清致错 例 3 已知集合 X 0,1， Y x|xX，那么下列说法正确的是 ( ) A X 是 Y 的子集 B X 是 Y 的真子集 C Y 是 X 的真子集 D X 是 Y 的元素 错解 B 剖析 集合中符号意义必须清楚 正解 因为 Y x|xX ， 0， 1， 0,1，所以 X . 二、代表元素意义不清致错 例 4 集合 A y|y x R， B (x， y)|y x 2， x R，则 A B ( ) A ( 1,1)， (2,4) B ( 1,1) C (2,4) D 错解 由 y x2，y x 2， 得 x 2，y 4， 或 x 1，y 1. 故选 A. 剖析 导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义， A 中的元素是实数 y，而 B 中的元素是实数对 (x， y)，也就是说，集合 A 为数集，集合 B 为点集，因此 A、 B 两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集 正解 D 三、忽 视集合元素的互异性致错 例 5 已知集合 A 2,3， 4a 2， B 0,7， 4a 2,2 a，且 A B 3,7，求集合 B. 错解 由 A B 3,7得 4a 2 7， 解得 a 1 或 a 5. 当 a 1 时，集合 B 0,7,3,1； 当 a 5 时，集合 B 0,7,3 综上知集合 B 0,7,3,1或 B 0,7,3 剖析 由题设条件知集合 B 中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解 正解 应将当 a 5 时的集合 B 0,7,3舍去， 故集合 B 0,7,3,1 四、忽视空集致错 3 例 6 已知集合 A x| 2 x5 ， B x|m 1 x2 m 1，若 BA，求实数 m 的取值范围 错解 由 BA，得 m 1 22m 15m 12 m 1，解得 2 m3. 剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法 原因是考虑不全面，由集合 B 的含义及 BA，忽略了集合为 的可能而漏掉解因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现 的可能 正解 A x| 2 x 5， B x|m 1 x2 m 1，且 BA. 若 B ，则 m 12m 1，解得 1，即 m5，m 12 m 1 或 2m 14. 故满足条件的 m 的取值范围是 3根据子集的性质分类讨论 含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论 例 3 已知集合 A x|3x 2 0， B x|a 1 0且 A B A，求实数 分析 解此题可先由 A B A，得出 BA，然后对集合 B 中的元素个数进行分类讨论 解 A x|3x 2 0 1,2 由 A B A，得 BA (1)B 时， 4a 401 2 a 1 a 3. 由 (1)(2)(3)(4)得： a 2 或 a 3. 分类讨论的数学思想是解集合题经常会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“ 不重不漏 ” 解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性 二、数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体通过 “ 形 ” 往往可以解决用 “ 数 ” 很难解决的问题集合中常用的方法是数轴法和 法 1运用数轴 例 4 已知集合 A x|x 1，或 x1 ， B x|2axa 1， a1， BA，求实数 a 的取值范围 解 a1， 2aa 1， B . 画出数轴分析，如图所示 由图知要使 BA，需 2a1 或 a 1 1， 即 a 12或 a 2. 5 又 a1， 实数 a 的取值范围是 ( ， 2 12， 1) 点评 解此类题要注 意是否包括端点临界值 2运用 例 5 已知全集 U x|0， x N， L( 1,6， M( 2,3， U(M L)0,5，求集合 M 和 L. 解 第一步：求得全集 U x|0， x N 0,1,2,3,4,5,6,7； 第二步：将 L( 1,6， M( 2,3， U(M L) 0,5中的元素在 中依次定位； 第三步：将元素 4,7 定位； 第四步：根据图中的元素位置，得集合 M 2,3,4,7，集合 L 1,4,6,7 点评 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助 、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解 例 6 高一 (2)班共有 50 名同学，参加物理竞赛的同学有 36 名，参加数学竞赛的同学有39 名，且已知有 5 名同学两科竞赛都没有参加，问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名？ 解 设参加物理竞赛的同学组成集合 A，参加数学竞赛的同学 组成集合 B，并设两科竞赛都参加的同学组成的集合 A B 中有 x 个元素，则各部分人数分布如图所示， 则 (36 x) x (39 x) 5 50， 解得 x 30，所以 39 x 9， 即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有 9 名 点评 应熟知集合 A B、 A( ( B、 ( 别对应 中的哪部分区域 三、等价转化思想 在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如 “ A 是 B 的子集 ” 、 “ A B A” 、 “ A B B” 、 “ AB” 等都是 同一含义另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路 例 7 已知 U (x， y)|x R， y R， A (x， y)|x y 1， B x， y x 1 ，求 ( A. 解 集合 U (x， y)|x R， y R是平面上所有点的集合；集合 A 是直线 x y 1 上的点的集合；集合 B 是直线 x y 1 上的点的集合，但要除去点 (1,0)；而 示点 (1,0)以及平面上除了直线 x y 1 上的所有点以外的点，所以 ( A 对应的元素为 (1,0)，即( A (1,0) 点评 在相互转化的过程中要注意转化的等价性 四、特殊化思想 特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许多较抽象的集合问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合，往往能起到化繁为简、化难为易的功效另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化 例 8 设集合 M x|x 14， k Z， N x|x 12， k Z，则 ( ) A M N B M 是 N 的真子集 6 C N 是 M 的真子集 D M N 答案 B 解析 由 12 N，而 12D /M，排除 A， C；又 14 N，且 14 M，再排除 . 点评 很多选择题都可以取特殊值来迅速求解 五、补集思想 已知全集 U，求子集 A，若直接求 A 困难，可先求 由 U( A 求 我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能会 “ 柳暗花明 ” 我们平日说的 “ 正难则反 ” 这一策略就是对补集思想的应用，是指当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现 例 9 已知集合 A x|42m 6 0， B x|x0，若 A B ，求实数 m 的取值范围 分析 A B 说明集合 A 是由方程 42m 6 0 的实根组成的非空集合，并 且方程 的根有可能有： (1)两负根； (2)一负根一零根； (3)一负根一正根三种情况讨论很麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先由 0 ，求出全集 U，然后求出两根均为非负时 m 的范围，然后利用 “ 补集 ” 求解 解 设全集 U m| ( 4m)2 4(2m 6)0 m|m 1，或 m 32 ，若方程 42m 6 0 的两根 0 ，4m0 ，2m 60 ，m 32. m|m 32 在全集 U 中补集为 m|m 1 实数 m 的取值范围为 m|m 1 点评 (1)解 0 ，即 168m 240 ，也就是 2m 30 时，可以先画出二次函数 f(m) 2m 3 的图象，由图象易得 m 的取值范围 (2)本题运用了 “ 补集思想 ” 对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面 入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间接化原则的体现 . 集合问题如何考？ 集合是高考每年必考的知识点之一对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、集合语言的理解与应用；同时由于集合的基础性和工具性作用，又常以集合为工具考查集合语言和集合思想的应用，命制一些新背景的问题 考点一 集合概念及性质 1 (江 西高考改编 )定义集合运算： A*B z|z x A， y B设 A 1,2， B0,2，则集合 A*B 的所有元素之和为 _ 解析 z x A， y B， z 的取值有： 10 0,12 2,20 0,22 4， 故 A*B 0,2,4 集合 A*B 的所有元素之和为： 0 2 4 6. 7 答案 6 点评 本题主要考查了集合的基本性质，如元素的确定性 考点二 集合的运算 2 (湖南高考 )设全集 U M N 1,2,3,4,5， M 2,4， 则 N ( ) A 1,2,3 B 1,3,5 C 1,4,5 D 2,3,4 解析 由 M 2,4可得集合 N 中不含有元素 2,4，集合 M 中含有元素 2,4，故 N1,3,5 答案 B 3 (湖北高考 )已知 U 1,2,3,4,5,6,7,8， A 1,3,5,7， B 2,4,5，则 U(A B) ( ) A 6,8 B 5,7 C 4,6,7 D 1,3,5,6,8 解析 A B 1,2,3,4,5,7， U(A B) 6,8 答案 A 考点三 集合之间的关系 4 (广州模拟 )设集合 A 0,1， B y|1， x A，则 A 与 B 的关系是 ( ) A A B B A B C A B D AB 分析 由于集合 B 中的 x 是 A 中的元素，根据此条件求出集合 B，再判断集合 A、 B 的关系 解析 由已知， A 0,1， B y|1， x A 1,0,1所以 A B. 答案 B 点评 解决本题，首先要读懂符号代表的含义由于集合 B 中的元素 x 属于集合 A，故x 可为 0 或 1；再将 x 的值代入集合 B，解得集合 B；最后判断集合 A、 B 的关系 考点四 集合创新问题 5 (日照调研 )已知集合 P 3,4,5，集合 Q 4,5,6,7，定义 P*Q (a， b)|a P，b Q，则 P*Q 中的元素的个数是 _ 分析 根据新定义将 a、 b 依次代入，即可得到新集合 P*Q，从而得解 解析 新定义集合 P*Q 的特征是平面上的点集，横坐标为集合 P 中的元素，而纵坐标为集合 Q 中的元素，故 P*Q (3,4)， (3,5)， (3,6)， (3,7)， (4,4)， (4,5)， (4,6)， (4,7)，(5,4)， (5,5)， (5,6)， (5,7)，从而可知 P*Q 中元素的个数为 12. 答案 12 点评 本题是一个运算创新型问题，解答此类问题的关键是理解新运算，并找到新运算与已学运算的结合点，如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集 6若集合 1 A，则称 (集合 A 的一种分拆，并规定：当且仅当 ( (集合 A 的同一种分拆，则集合 A 1,2,3的不同分拆种数是 ( ) A 27 B 26 C 9 D 8 分析 所谓 “ 分拆 ” 不过是并集的另一种说法，关键是要分类准确 解析 时， 1,2,3，只有 1 种分拆； 有 3 种可能 )，则 可能包含 3 个元素，有两类情况 (如 1时， 2,3或 1,2,3)，这样 种； 有 3 种可能 )，则 可能包含 个或 2 个元素 (如 1,2时， 3或 1,3或 2,3或 1,2,3)，这样 2 种； 8 只有 1 种 )，则 ,1,2 或 3 个元素 (即 1,2,3时， 1,2,3的任意一个子集 )，这样 1,2,3时的分拆有 23 8 种 所以集合 A 1,2,3的不同分拆的种数是 1 6 12 8 27. 答案 A 7定义集合运算： A B z|z xy(x y)， x A， y B设集合 A 0,1， B 2,3，则集合 A B 的所有元素之和为 _ 解析 (1)当 x 0 时，无论 y 为何值，都有 z 0； (2)当 x 1， y 2 时，由题意 z 6； (3)当 x 1， y 3 时，由题意 z 12， 故集合 A B 0,6,12， 元素之和为 0 6 12 18. 答案 18 点评 本题给出的新运算 “ ” ，是同学们从未见过的集合运算，要求同学们能按其给出的新运算作答，考查同学们的观察能力及应用新信息分析问题、解决问题的能力 8定义集合 A 和 B 的运算 A B x|x A，且 写出含有运算符号 “ ” ，“” ， “ ” ，且对集 合 A， B 都成立的一个等式： _. 解析 如下图， 中阴影部分可表示为： A (A B)； 再结合新定义及并集概念，阴影部分也可表示为： (A B) B. 显然可填： A (A B) (A B) B. 另外也可填： B (A B) (A B) A 等 答案 A (A B) (A B) B B (A B) (A B) A 点评 这是一道开放题，并且定义了新运算，对同学们来说有一定的难度，但是同学们只要认真审题，灵活运用题目所给的信息，选 择恰当的方法，解答此题就显得轻而易举了 学习建议 (1)集合是学习高中数学的开始，若想学好、应用好这部分知识，就要花大力气理解基本概念、基本性质，掌握基本表示方法 (2)学习时同学们要理解集合运算的定义，掌握集合运算的方法，还要善于借助图形工具解答问题 (3)学习时同学们要搞清两个集合有几种关系，各种关系的定义要牢记另外，还要明确集合的关系是通过元素来反映的，所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯 (4)数学中的创新题是数学试题中的一支奇葩，它们往往以同学们现有的知识为出发点，创新概念和运算，其 特点是 “ 新面目、老方法 ” ，考查更接近知识本质基于此，在学习时，对有关的概念一定要理解透彻，才能以不变应万变 1 集合的含义与表示（一） 1体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力 2掌握 “ 属于 ” 关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性 1元素与集合的概念 (1)把 研究对象 统称为元素，通常用 小写拉丁字母 表示 (2)把 一些元素组成的总体 叫做集合 (简称为 集 )，通常用 大写拉丁 字母 表示 2集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 3集合相等：只有构成两个集合的元素是 一样 的，才说这两个集合是相等的 4元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A. 5实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母 R、 Q、 Z、 N、 N*或N 来表示 对点讲练 集合的概念 【 例 1】 考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家； (2)某校 2007 年在校的所有高个子同学； (3)不超过 20 的非负数； (4)方程 9 0 在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6) 3的近似值的全体 解 (1)“ 著名的数学家 ” 无明确的标准，对于某个人是否 “ 著名 ” 无法客观地判断，因此 “ 著名的数学家 ” 不能构成一个集合；类似地， (2)也不能构成集合； (3)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是 “ 不超过 20 的非负数 ” ，即 “0 x20” 与 “ x20 或x0” ，两者必居其一，且仅居其一，故 “ 不超过 20 的非负数 ” 能构成集合；类似地，(4)也能构成集合； (5)“ 一些点 ” 无明确的标准，对于某个点是否在 “ 一些点 ” 中无法确定，因此 “ 直角坐标平面内第一象限的一些点 ” 不能构成集合； (6)“ 3的近似值 ” 2 不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如 “2” 是不是它的近似值，所以 (6)不能构成集合 规律方法 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性 变式 迁移 1 下列给出的对象中，能构成集合的是 ( ) A高个子的人 B很大的数 C聪明的人 D小于 3 的实数 答案 D 集合中元素的特性 【例 2】 已知集合 A 是由 a 2,25a,12 三个元素组成的，且 3 A，求 a. 分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用 解 3 A，则 3 a 2 或 3 25a， a 1 或 a a 1 时， a 2 3,25a 3，不符合集合中元素的互异性，故 a 1 应舍去 当 a 32时， a 2 72， 25a 3， a 32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握 变式迁移 2 已知集合 A 是由 0， m， 3m 2 三个元素组成的集合，且 2 A，求实数 解 2 A， m 2 或 3m 2 2. 若 m 2，则 3m 2 0， 不符合集合中元素的互异性，舍去 若 3m 2 2，求得 m 0 或 3. m 0 不合题意，舍去经验证 m 3 符合题意， m 只能取 3. 元素与集合的关系 3 【例 3】 若所有形如 3a 2b(a Z， b Z)的数组成集合 A，判断 6 2 2是不是集合A 中的元素 分析 解答本题首先要理解 与 D/ 的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的， 6 2 2能否化成此形式，进而去判断 6 2 2是不是集合 A 中的元素 解 因为在 3a 2b(a Z， b Z)中， 令 a 2， b 2， 即可得到 6 2 2， 所以 6 2 2是集合 A 中的元素 规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式 变式迁移 3 集合 A 是由形如 m 3n(m Z， n Z)的数构成 的，判断 12 3是不是集合A 中的元素 解 12 3 2 3 2 31 ，而 2,1 Z， 2 3 A，即 12 3 A. 1充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础 2两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关 3解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤 特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视 课时作业 一、选择题 1下列几组对象可以构成集合的是 ( ) A充分接近 的实数的全体 B善良的人 C某校高一所有聪明的同学 D某单位所有身高在 1.7 m 以上的人 答案 D 2下列四个说法中正确的个数是 ( ) 4 集合 N 中最小数为 1； 若 a N，则 a N； 若 a N， b N，则 a b 的最小值为 2； 所有小的正数组成一个集合 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 A 3由 2 a,4 组成一个集合 A， A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是 ( ) A 1 B 2 C 6 D 2 答案 C 解析 验证，看每个选项是否符合元素的互异性 4已知集合 S 的三个元素 a、 b、 c 是 三边长，那么 定不是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 答案 D 解析 由元素的互异性知 a， b， c 均不相等 5已知 x、 y、 z 为非零实数，代数式 x|x| y|y| z|z| |值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是 ( ) A 0 M B 2 M C 4 M D 4 M 答案 D 解析 分类讨论： x、 y、 z 中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别 为 4,0,0， 4， 4 M. 二、填空题 6用 “ ” 或 “ ” 填空 (1) 3_N； (2)(3)13_Z； (4) 12_R； (5)1_N*；(6)0_N. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 7集合 A 1,2,3,5，当 x A 时，若 x 1 A， x 1 A，则称 x 为 A 的一个 “ 孤立元素 ” ，则 A 中孤立元素的个数为 _ 答案 1 解析 当 x 1 时， x 1 0 A， x 1 2 A； 当 x 2 时， x 1 1 A， x 1 3 A； 当 x 3 时， x 1 2 A， x 1 4 A； 当 x 5 时， x 1 4 A， x 1 6 A； 综上可知， A 中只有一个孤立元素 5. 8由下列对象组成的集体属于集合的是 _(填序号 ) 不超过 的正整数； 高一数学课本中所有的难题； 中国的大城市； 5 平方后等于自身的数； 某校高一 (2)班中考试成绩在 500 分以上的学生 答案 三、解答题 9已知集合 M 2,33x 4， x 4，若 2 M，求 x. 解 当 33x 4 2 时，即 x 2 0， 则 x 2 或 x 1. 经检验， x 2， x 1 均不合题意 当 x 4 2 时，即 x 6 0，则 x 3 或 2. 经检验， x 3 或 x 2 均合题意 x 3 或 x 2. 10设 P、 Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有 1,2,6 三个元素，定义集合 P Q 中的元素是 a b，其中 a P， b Q，则 P Q 中元素的个数是多少？ 解 当 a 0 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6； 当 a 2 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 3,4,8； 当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 6,7,11. 由集合元素的互异性知 P Q 中元素为 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个 【探究驿站】 11设 A 为实数集，且满足条件：若 a A，则 11 a A (a1) 求证： (1)若 2 A，则 A 中必还有另外两个元素； (2)集合 A 不可能是单元素集 证明 (1)若 a A，则 11 a A. 又 2 A， 11 2 1 A. 1 A， 11 12 A. 12 A， 11 12 2 A. A 中另外两个元素为 1， 12. (2)若 A 为单元素集，则 a 11 a， 即 a 1 0，方程无解 a 11 a， A 不可能为单元素集 1 集合的含义与表示 (二 ) 自主学习 1掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合 2通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力 1把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “ ” 括起来表示集合的方法叫做 列举法 2用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 描述法 3不等式 x 70 且 b0， a0 且 解集 解 (1)(x， y)|y c， x R， a0 (2) x， y y x 3y 2x 6 x， y x 1y 4 . (3)x R|x 32 列举法和描述法的灵活运用 【例 3】 用适当的方法表示下列 集合： (1)比 5 大 3 的数； (2)方程 4x 6y 13 0 的解集； (3)二次函数 y 10 图象上的所有点组成的集合 分析 对于 (1)，比 5 大 3 的数就是 8，宜用列举法；对于 (2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于 (3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法 解 (1)比 5 大 3 的数显然是 8，故可表示为 8 (2)方程 4x 6y 13 0 可化为 (x 2)2 (y 3)2 0， x 2y 3 ， 方程的解集为 (2， 3) (3)“ 二次函数 y 10 的图象上的点 ” 用描述法表示为 (x， y)|y 10 规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合 变式迁移 3 用适当的方法表示下列集合： (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)由所有周长等于 10 三角形组成的集合； (3)从 1,2,3 这三个数字中抽出一部分或全部数字 (没有重复 )所组 成的自然数的集合； (4)二元二次方程组 y 解集 解 (1)列举法： 3,5,7 (2)描述法： 周长为 10 三角形 (3)列举法： 1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321 4 (4)列举法： (0,0)， (1,1) 1在用列举法表示集合时应注意以下四点： (1)元素间用 “ ， ” 分隔； (2)元素不重复； (3)不考虑元素顺序； (4)对于含有较 多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法 但是须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号 2使用描述法时应注意以下四点： (1)写清楚该集合中元素的代号 (字母或用字母表示的元素符号 )； (2)说明该集合中元素的特征； (3)不能出现未被说明的字母； (4)用于描述的语句力求简明、确切 课时作业 一、选择题 1集合 1,3,5,7,9用描述法表示应是 ( ) A x|x 是不大于 9 的非负奇数 B x|x9 ， x N C x|1 x9 ， x N D x|0 x9 ， x Z 答案 A 2在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为 ( ) A (x， y)|x 0， y0 B (x， y)|x0 ， y 0 C (x， y)|0 D (x， y)|x 0， y 0 答案 C 3下列语句： 0 与 0表示同一个集合； 由 1,2,3 组成的集合可表示为 1,2,3或 3,2,1； 方程 (x 1)2(x 2)2 0 的所有解的集合可表示为 1,1,2； 集合 x|43， 1a2 ，又 a Z， a 的取值为 0,1,2. 8已知集合 M x N|8 x N，则 M 中的元素最多有 _个 答案 9 三、解答题 9用另一种方法表示下列集合 (1)绝对值不大于 2 的整数 ； (2)能被 3 整除，且小于 10 的正数 ； (3)x|x |x|， x5 且 x Z； (4)(x， y)|x y 6， x N*， y N*； (5) 3， 1,1,3,5 解 (1) 2， 1,0,1,2 (2)3,6,9 (3) x |x|， x0 ，又 x Z 且 x5， x 0 或 1 或 2 或 3 或 4. 集合可以表示为 0,1,2,3,4 (4)(1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2)， (5,1) 6 (5)x|x 2k 1， 1 k3 ， k Z 10用描述法表示图中阴影部分 (含边界 )的点的坐标的集合 解 用描述法表示为 (即用符号语言表示 )： x， y 1 x 32， 12 y1 ，且 . 【探究驿站】 11对于 a， b N ，现规定： a*b a b a与 b a与 集合 M (a， b)|a*b 36， a， b N (1)用列举法表示 a， b 奇偶性不同时的集合 M； (2)当 a 与 b 的奇 偶性相同时集合 M 中共有多少个元素？ 解 (1)当 a， b 奇偶性不同时， a*b a b 36， 则满足条件的 (a， b)有 (1,36)， (3,12)， (4,9)， (9,4)， (12,3)， (36,1)，故集合 M (1,36)， (3,12)， (4,9)， (9,4)， (12,3)， (36,1) (2)当 a 与 b 的奇偶性相同时 a*b a b 36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故 36 1 35 2 34 3 33 17 19 18 18 19 17 35 1， 所以当 a， b 奇偶性相 同时这样的元素共有 35 个 1 合间的基本关系 自主学习 了解子集、真子集、空集的概念，掌握用 表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义 1一般地，对于两个集合 A、 B，如果集合 A 中 任意一个 元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 AB(或 BA)，读作“ A 含于 B”( 或 “ B 包含 A”) 2如果集合 A 是集合 B 的子集 (AB)，且 集合 B 是集合 A 的子集 (BA)，此时，集合A 与集合 B 中的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 A B. 3如果集合 AB，但存在元素 x B，且 x A，我们称集合 A 是集合 B 的 真子集 ，记作 A B(或 B A) 4不含任何元素的集合叫做 空集 ，记作 . 5 空集 是任何集合的子集， 空集 是任何非空集合的真子集 对点讲练 写出给定集合的子集 【例 1】 (1)写出集合 0,1,2的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； (2)填写下表，并回答问题 . 原集合 子集 子集的个数 a a， b a， b， c 由此猜想：含 n 个元素的集合 ， 所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解 (1)不含任何元素的集合： ； 含有一个元素的集合： 0， 1， 2； 2 含有两个元素的集合： 0,1， 0,2， 1,2； 含有三个元素的集合： 0,1,2 故集合 0,1,2的所有子集为 ， 0， 1， 2， 0,1， 0,2， 1,2， 0,1,2 其中除去集合 0,1,2，剩下的都是 0,1,2的真子集 (2) 原集合 子集 子集的个数 1 a ， a 2 a， b ， a， b， a， b 4 a， b， c ， a， b， c， a， b， a， c， b， c， a， b， c 8 这样，含 n 个元素的集合 ， 所有子集的个数是 2n，真子集的个数是 2n 1，非空真子集的个数是 2n 2. 规律方法 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵 循由少到多的原则，做到不重不漏 (2)集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 有 2 (2n 1)个真子集， (2n 1)个非空子集， (2n 2)个非空真子集 变式迁移 1 已知集合 M 满足 1,2M1,2,3,4,5，写出集合 M. 解 由已知条件知所求 M 为： 1,2， 1,2,3， 1,2,4， 1,2,5， 1,2,3,4， 1,2,3,5，1,2,4,5， 1,2,3,4
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