湖南省常德市2017届高三一模数学试题（理）含答案

常德市 2016年度 上 学期高三检测考试 (一模 ) 数 学 （ 理 科试题卷 ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷 3至 6 页 ， 满分 150 分 ， 时量 120 分钟 注意事项： 1所有试题的 答案 请在答题卡的指定区域内作答 2考试结束后，只交答题卡 第卷（选择题，共 60 分） 一 、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 13M x x ， 2 6 8 0N x x x ，则. 1,3B. ,3C. 2,4D.1,2 复数 z 满足 13i z i (，则 z = 3已知各项均为正数的等比数列 n 项和为331 4, 8，则6a= 4已知双曲线2222: 1 ( 0 , 0)a 的渐近线 方程 为34，则双曲线 C 的离心率为 A. 知单位向量 , 13 ，则 a 与 b 的夹角为 A. 6如图所示，在 内随机选取一点 P，则 的面 积不超过 面积一半的概率是 把 函数 ( ) 3 c o s 2 s i n 2f x x x的图像 向右平移12个单位得到函数 y g x 的图像 , 则函数 y g x 在下列哪个区间上是 单调递 减的 B. ,44C.,02D. ,0 8执行如图所示程序框图，则输出的 S 的值为 C. 20 D. 4 9张邱建算经 是中国古代数学史上的杰作，该 书中有首古民谣记载了一数列问题： “ 南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈 . 头节高五寸 ， 头圈一尺三 ，逐圈少分三 . 一蚁往上爬， 遇圈则绕圈 . 爬到竹子顶，行程是 多远？ ” （注 释 ： 第一节的高度为 ； 第一圈的周长为 ； 每节比其下面的一节多 ； 每圈周长比其下面的一圈少 ） 问：此民谣提出的问题的答案是 A. B. C. D. 10 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的外接球的体积为 A 43B. 32 327C. 28 327D. 28 2127 11已知抛物线 C： 2 4的焦点为 F，过 l 交抛物线 、 弦 中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5，则 直线 l 的斜率为 A. 22B. 1 C. 63D. 62A B C P 第 6题图 1S 开始 结束 是 否 1i ?4输出 10S 第 8 题图 2 3正视图 侧视图 俯视图 12 12 第 10 题图 12 设 函数 2( ) 2 1f x x x ,若 1, 且 ( ) ( )f m f n ,则 值范围为 A. 3, 3 2 2 B. 3, 3 2 2 C. 1,3 D. 1,3 第 卷（ 非选择 题，共 90 分） 本 卷包括必考题 和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要 求作答 二 、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在 答题卡 中对应题号后的横线上 13已知 ()y f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， ( ) 2 1，则 ( 2)f . 14 6)12)(1( 3x 的系数是 .（用数字填写答案） 15已知 ),( 不等式组004示的平面区域M 内任意一点，若目标函数5 的最大值等于平面区域 M 的面积，则 m = . 16已知数列 10 , ( )31nn a n ，数列 ()na n N ，设n 项和，当 7n 时 1a 的取值范围是 . 三 、 解答题： 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分 ) 在 中，角 ,对边分别为 , c o s c o s 02a c. （ ）求角 B 的大小 ; （）若 1 3 , 4b a c ，求 的面积 . 18 (本小题满分 12 分 ) 某网络营销部门为了统计某市网友 2016年 12 月 12 日的网购情况 ,从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各 30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图： 若网购金额超过 2 千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过 2 千元的顾客称为“非网购达人” （）若抽取的“网购达人”中女性占 12人，请根据条件完成上面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“网购达人”与性别有关？ （ )该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购 达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定 12 人，若需从这 12人中随机选取 3 人进行问卷调查设 为选取的 3 人中“网购达人”的人数，求 的分布列和数学期望 （参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d ，其中 n a b c d ） P( 2) 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 19 (本小题满分 12 分 ) 如图，在四棱锥 中， 平面 平面 ， 是等边三角形， 82 54 （ ）证明：平面 平面 （）求二面角 的余弦值 20 (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 2222: 1 0xy a 的离心率为32，过左焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交，所得弦长为 1，斜率为 k (0)的 直线 l 过点 1,0 ，且 与椭圆 C 相交于不网购达人 非网购达人 合计 男性 30 女性 12 30 合计 60 第 19 题图 金额（千元） 频 率组 18 题图 同的两点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）在，使 得无论214B k为定值 ？若存在，求出点 不存在，请说明理由 21 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 的图像与直线 1y 相切 . （） 求 m 的值，并求 )(单调区间； （ ） 若 3()g x ，设 )()()( ，讨论函数 )(零点个数 . 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分 22 (本小题满分 10 分 )选修 4标系与参数方程 直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为 2 2 s i n ( )4，直线 l 的参数方程为21222 （ t 为参数） ，直线 l 与曲线1 （ ）求 长度 ; （）若曲线 2C 的参数方程为 3 2 c o s （ 为参数）， P 为曲线 2C 上的任意一点，求 的面积的最小值 . 23 (本小题满分 10 分 )选修 4等式选讲 已知函数 ( ) 1 ,f x x x R （ ）求不等 式 ( ) 3 4 的解集 ; （）若 2( ) ( 3 ) 2f x f x m m 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 常德市 2016年度上学期高三检测考试 数学（理科）参考答案 第卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C D C D A D B D C A 第 卷（ 非选择 题，共 90 分） 本 卷包括必考题 和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13 3 14 180 15 2 16 11,18 21三、解答题： 本大题共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 解： （ I） 由 c o s c o s 02a c知： ( 2 ) c o s c o s 0a c B b C 由 正弦定理知： ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o s 0A C B B C .即 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o s 0A B C B B C 2 s i n c o s s i n ( )A B B C 即 1 ,又 (0, )B . 23B .（ 由余弦定理知： 2 2 2 2 c o sb a c a c B 22( ) 2 2 c o sb a c a c a c B .又 21 3 , 4 ,3b a c B 1 3 1 6 2 ac 3 .1 3 3s i a c B . 18 （本小题满分 12 分） 解： (I) .3181227(60 22 K 所以有 99%的把握认为“网购达人”与性别有关 .(题可知 的可能取值 为： 0,1,2,3； 5521)0(31239 5527)1(3122913 2 2027)2(3121923 2201)3(31233 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 55215527220272201. 的期望 43220 132202725527155210)( E . 19 （本小题满分 12 分） 解： （ I ）证 明 ： 在 中，由于4, 8, 45, 2 2 2A D B D A B,故 D . 2分 又P A D A B C D平 面 平 面 ，P A D A B C D A D平 面 平 面， B D A B C D 平 面 ， B D P A D平 面 ， 4分 又 面 ， 故平面 面 5分 （ 1:如 图 建立 D 空 间 直角坐 标 系， 0,0,0D , 4,0,0A , 2, 0, 2 3 ,P 0,8,0 ,B )32,0,2( 4, 8, 0 . 7分 设 平面 法向量 ),( , 网购达人 非网购达人 合计 男性 3 27 30 女性 12 18 30 合计 15 45 60 由令 ,32x 则 2,3 则 )2,3,32(n . 9分 易得平面 一个法向量为 )0,1,0(m ， 则1957193|,c 11分 则所求余弦值为1957. 12分 法 2:由（ I）知 B D P A D平 面 ， 则过点 D 作 ，连接 则 E 为线段 中点，则 且 , 则 面 ，则 为二面角 的平面角， 9分 在直角三角形 ， 192)32(8,32,8 22 则195719232c B E D 。 12分 20 （本小题满分 12 分） 解： （ I） 由题意可知椭圆 C 过点 1( , )2c，则 2221 14， 又 2 2 23 ,2ce a b 解得 2 , 1, 3a b c ，则 椭圆方程 14 22 4 分 （ 在 x 轴上存在点 M（ t， 0）满足题意 , 直线1， 0）且斜率为 k，则直线 1y k x由 22 141x yy k x 可知： 24 1 4x k x 2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k 易知：0设 1 1 2 2, , ,A x y B x y 则：212 2212 28144414 1 1 2 2221 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 22 2 22,1114 8 1 414M A M B x t y x t yx t x t y y x x t x x t k x xk x x t k x x t kk t t 由题可设： 2214 M B m 为 常 数 2 2 2 24 8 4 4k t t t m m k 对任意实数 ( 0)恒成立； 224 8 44t t 解得： 2, 0 存在点 M（ 2， 0）满足题意，且常数为 0. 2 分 21 （本小题满分 12 分） 解： (I)设 )(图像与直线 1y 相切于点 00( , 1)( 0)， 1 ， ( 0)x 则1)(0)(00 xf 1解得： 1,10 . 由 0 1x ； 0 10 x ； 所以函数 )(单调减区间 为 )1,0( ；增区间为 ),1( . ()0)(1( l )()( 23 得由 0)( 2 1 即； 2l n 1( ) x y a y x 函 数 的 零 点 个 数 即 为 函 数 与 的 图 象 的 交 点 个 数. 记函数21 34( x xx 由 0)( 230 ； 0)( 23 )(在 ),0( 23e 上单调递增；在 ),( 23 e 上单调递减 . 323m a x 21)()( 又 ),( 23 ， 0)( ),0( 时， 0)( 且 0 ( )x r 于 时 趋 向 于 负 无 穷 大. 无零点的图像无交点，函数与时，当 )()(2 1 3 ； 310 ( ) ( ) ;2a a y a y r x h 当 或 时 ， 与 的 图 像 恰 有 一 个 交 点 ， 函 数 恰 有 一 个 零 点 恰有两个零点函数的图像恰有两个交点，与时，当 )()(2 10 3 . . 请考生在第 22、 23 两 题中任选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分 22 （本小题满分 10 分） 解： ( ) 2 2 s i n ( ) 2 s i n 2 c o ， 2 2 s i n 2 c o s 22 22x y x y ， 即曲线 1C 的直角坐标系方程为 22( 1 ) ( 1 ) 2 .直线 l 的直角坐标系方程为 10 .圆心 1C 到直线 l 的距离