福建省三明市2017届高中毕业班5月质量检查文科数学试题含答案

2017 年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 13M x y x ， 集合 2 10N x x ， 则 （ ） A 113 B 13 C 13 D 11334（其中 i 是虚数单位 ）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 , 1 ) , ( , 1 )a b x ， 若 与 b 共线 ， 则 x 的值等于 （ ） A B 1 C 2 D 1 或 2 乙 、 丙三人随机选择 ， 每人必须且只能选其中一门 ， 则甲乙两人都选 A 选修课的概率是 （ ） A 14B 13C. 12D 束条件011 ， 则2最大值为 （ ） A 14B 12C. 1 D 2 :p 若 x ， 则 1s s x恒成立 ； 2 :0p x y的充要条件是1 则下列命题为真命题的是 （ ） A 12 B 12 C. 12() D 12() 7. 执行如图所示的程序框图，运行相应的 程序，若输入 x 的值为 2，则输出 S 的值为（ ） A 64 B 84 C 340 D 1364 ) s i n ( ) 3 c o s ( ) ( )2f x x x 的图 象 关于直线 x 对称 ， 则 （ ） A 32B 12C. 12D 右焦点与圆 224 1 0x x y 的圆心重合 ， 且渐近线与该圆相离 ， 则双曲线离心率的取值范围是 （ ） A 23(1, )3B (1,2) C. 23( , )3 D (2 ) 0 )1()1 ( ) ( 0 )1nx 的图 象 大致是 （ ） A. B. C. D 中 ， 的平分线交 于 D ， 若 2 , 1C， 则 面积的最大值为 （ ） A 12B 23C. 34D 1 的半径为 1， , 且 3， 若点 P 是球面上任意一点 ，则 B 的取值范围是 （ ） A 31 , 22B 13 , 22C. 10, 2D 30, 2第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 ， 且 (0, )2， 则 )4 ( 0 )y ax a上任意一点到 x 轴距离比到焦点的距离小 1，则实数 a 的值为 该几何体中最长棱所在的直线为 m ， 与直线 m 不相 交的其中一条棱所在直线为 n ， 则直线 m 与 n 所成的角为 2( ) l o g , ( )f x x g x x， 则函数 ( ( )y g f x x零点的个数为 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 前 n 项和为 且 22 （）求数列 通项公式 ； （）设 1n a ， 求数列 n 项和 理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过 12 吨，价格为 4 元 /吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过 12 吨，超过部分的价格为 8 元 /吨 过抽样获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 0 , 2 , ( 2 , 4 , , (1 4 , 1 6 分成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图 （）求频率分布直方图中字母 a 的值，并求该组的频率； （）通过频率分布直方图，估 计该市居民每月的用水量的中位数 m 的值（保留两位小数）； （）如图 2 是该市居民张某 2016 年 1 6 月份的月用水费 y （元）与月份 x 的散点图，其拟合的线性回归方程是 2 33若 张 某 2016 年 1 7 月份水费总支出为 312 元，试估计张某 7 月份的用水吨数 四棱锥 P 中，侧面 底面 底面 平行四边形，45， 2P， 22A B D P， E 为 中点，点 F 在线段 （）求证： C ； （）当三棱锥 B 的体积等于四棱锥 P 体积的 16时 ， 求 y x m 与抛物线 2 4相切 ， 且与 x 轴的交点为 M ， 点 ( 1,0)N 若动点 P 与两定点 , （）求动点 P 的轨迹 C 的方程 ； （）设斜率为 12的直线 l 交曲线 C 于 , 当 N 时 ， 证明 215()36f x x a x b x ( 0, )a b R， ()和 2处取得极值 ， 且12 5， 曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线与直线 20 垂直 （）求 () （）证明关于 x 的方程 21( 1 ) ( ) 0xk e k f x 至多只有两个实数根 （其中 ()是 () e 是自然对数的底数 ） 请考生在（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ， 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 2 04 ，曲线 C 的极坐标方程为 2s in c o s ，将曲线 C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一 个单位得到曲线 1C （）求曲线 1C 的直角坐标方程； （）已知直线 l 与曲线 1C 交于 , (2,0)P ，求 | | | |B 的值 23选修 4等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 2 1 |f x x a x ， （）当 3a 时，求关于 x 的不等式 ( ) 6的解集； （）当 时， 2( ) 1 3f x a a ，求实数 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： B、 B 二、填空题 、解答题 17. 解：（） 22， 当 1n 时 ， 1122， 则 1 2a ， 当 2n 时 ， 22， 1122， 两式相减，得 122n n na a a ， 所以 12 所以 以首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 2 （）因为 11( 1 ) ( )22nn ， 231 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 ， 2 3 4 11 1 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2 ， 两式相减，即得 1 2 3 11 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2 2 ， 1 1 21 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 311 1( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 ， 111 1 ( ) 1 1 122 ( 1 ) ( )12 2 212 ， 11 1 1 11 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 ， 所以 13 ( 3 ) )2 ） ( 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 8 0 . 1 3 0 . 0 8 0 . 0 3 0 . 0 2 ) 2 1a ， 第四组的频率为： （）因为 0 . 0 2 2 0 . 0 4 2 0 . 0 8 2 0 . 1 0 2 ( 8 ) 0 . 1 3 0 . 5m ， 所以 0 . 5 0 . 4 88 8 . 1 50 . 1 3m （） 17( 1 2 3 4 5 6 )62x ， 且 2 33， 72 3 3 4 02y 所以张某 7 月份的用水费为 3 1 2 6 4 0 7 2 设张某 7 月份的用水吨数 x 吨 ， 1 2 4 4 8 7 2 1 2 4 ( 1 2 ) 8 7 2x ， 15x 则张某 7 月份的用水吨数 15 吨 19. 解：（）证明：在平行四边形 ，连接 因为 22， 2，45， 由余弦定理得 2 8 4 2 2 2 2 c o s 4 5 4 ，得 2， 所以 90，即 C ，又 /C ， 所以 C ， 又 2P， 22，所以 D ， C A ， 所以 平面 所以 C （）因为 E 为 中点 ， 14 B C 四 边 形， 侧面 底面 侧面 面 D ， D ， 平面 设 F 到平面 距离为 h ， 16B E F C F B E C F A B C V ， 1 1 13 6 3B E C A B C DS h S P A ， 23h 所以 13 ）因为直线 y x m 与抛物线 2 4相切 ， 所以方程 2 4( )x x m有等根 ， 则 16 16 0m， 即 1m ， 所以 (1,0)M 又因为动点 P 与定点 (1, 0 ) , ( 1, 0 )所构成的三角形周长为 6，且 2， 所以 42P M P N M N ， 根据椭圆的定义，动点 P 在以 , 且不在 x 轴上 ， 所以 2 4, 2 2， 得 2, 1， 则 3b ， 即曲线 C 的方程为 22 1 ( 0 )43xy y （）设直线 l 方程 1 ( 1 )2y x t t ， 联立2212143y x ， 得 2230x tx t ， 23 1 2 0t ， 所以 22t ， 此时直线 l 与曲线 C 有两个交点 , 设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 则 12x x t ， 212 3x x t， N ， 不妨取 3(1, )2P， 要证明 恒成立 ， 即证明 0， 即证 121233220， 也就是要 证1 2 2 133( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 022y x y x ， 即证 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) 3 2 0x x t x x x x t ， 由韦达定理所得结论可得此式子显然成立 ， 所以 成立 ） 2( ) 2f x x a x b ， 因为 ()和 2处取得极值 ， 所以 1和 2是方 程 2 20x ax b 的两个根 ， 则 122x x a ， 12xx b ， 又12 5， 则 21 2 1 2( ) 4 5x x x x ， 所以 24 4 5 由已知曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线与直线 20 垂直 ， 所以可得 (1) 1f ， 即 2 1 1 ， 由此可得 24 4 520， 解得 121 所以 321 1 5()3 2 6f x x x x （）对于 21( 1 ) ( ) 0xk e k f x ， （ 1）当 0k 时 ， 得 1 0 ， 方程无实数根 ； （ 2）当 0k 时 ， 得 2111 ， 令 211()e ， 2 2 ( 1 ) ( 2 )()x x xg x e 当 ( , 1 ) ( 2 , )x 时 ， ( ) 0 ； 当 1x 或 2 时， ( ) 0 ； 当 ( 1, 2)x 时 ， ( ) 0 ()单调递减区间是 ( , 1) 和 (2, ) ， 单调递增区间是 ( 1,2) 函数 () 1x 和 2x 处分别取得极小值和极 大值 2( ( ) ) = ( 1 ) 0g x g e 极 小 ， 5( ( ) ) = g ( 2 ) = 0gx e 极 大， 对于 211()e ， 由于 1 0 恒成立 且 2 1y x x 是与 x 轴有两个交点 ， 开口向上的抛物线 ， 所以曲线 ()y g x 与 x 轴有且只有两 个交点 ， 从而 ()最大值 ，2m i n( ( ) ) ( ( ) )g x g x e 极 小 若 0k 时 1 2 ， 直线 1与曲线 ()y g x 至多有两个交点 ； 若 150 2 ( ( ) )k k g 极 大， 直线 1与曲线 ()y g x 只有一个交点 ； 综上所述，无论 k 取何实数 ， 方程 21( 1 ) ( ) 0xk e k f x 至多只有两实数根 22解：（）曲线 C 的直角坐标方程为 2， 所以曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2( 1) （）由直线 l 的极坐标方程 2 c o s ( ) 2 04 ，得 c o s s i n 2 0 ， 所以 直线 l 的直角坐标方程为 20 ，又点 (2,0)P 在直线 l 上， 所以 直线 l 的参数方程为：22222 （ t 为参数）， 代入 1C 的直角坐标方程得 2 2 2 4 0 ， 设 ,2, 则 8 16 0 ，12 22 ， 12 4 ， 所以 1 2 1 2| | | | | | | | | |P A P B t t t t 21 2 1 2( ) 4t t t t 8 1 6 2 6 23解：（）当 3a 时，不等式 ( ) 6为 | 2 3 | | 2 1 | 6 ， 若 12x时，不等式可化为 ( 2 3 ) ( 2 1 ) 4 4 6x x x ，解得 1122x ， 若 1322x时，不等式可化为 ( 2 3 ) ( 2 1 ) 2 6 ，解得 1322x， 若 32