（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式（打包4套）
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（全国通用）2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式（打包4套）,全国,通用,高考,数学,复习,温习,考点,引领,技巧,技能,点拨,第六,打包
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1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式第 1 课时 一元二次不等式及其解法 考情分析 考点新知 掌握一元二次不等式解法 ， 理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 会解一元二次不等式 ， 对给定的一元二次不等式 ， 会设计求解程序 框图 . 1. (必修 5(2)改编 )不等式 3x 40 的解集是 _. 答案： 1， 43 解析：由 3x 40 ， 得 (3x 4)(x 1)0 ， 解得 1 x 43. 2. (必修 5(3)改编 )不等式 x 60 的解集为 _ 答案： 3， 2 解析：由 x 60 ， 得 3 x 2. 3. (必修 5(4)改编 )不等 式 1 210 的解集是 _ 答案： 1， 12 解析：不等式 1 210 等价于 (1 2x)(x 1)0，也就是 x 12 (x 1)0 对一切实数 x 恒成立 ， 则实数 k 的取值范围是 _ 答案： k2 或 ac c0(a 0) c 0(a 0) c0(a 0) 图 象 与 解 0 x x x2 a0)的求解的算法过程： 备课札记 4 题型 1 一元二次不等式的解法 例 1 已知 a 0， 解关于 x 的不等式 a 1a x 1 0. 解：原不等式可化为 (x a) x 1a 0.由 a 1a （ a 1）（ a 1）a ， 得 当 0 a 1时 ， a 1a， 解集为 x ， 解该不等式 解： (1) 当 a 1 时 ， 不等式化为 2x 3x 10 时 ， 由 （ a 1） x 3x 1 1 即 02 时 ， 解集为 x|2 (2) 当不等式 f(x)0 的解集为 ( 1， 3)时 ， 求实数 a、 b 的值 解： (1) f(1) 3 a(6 a) b 6a b 3， f(1)0， 6a 3 解集为 ； 当 b 6 时 ， 3 b 60 的解集为 a|3 b 60 的解集为 ( 1， 3)， f(x)0 与不等式 (x 1)(x 3)5， 假定该产品产销平衡 ， 那么根据上述统计规律求下列问题 (1) 要使工厂有赢 利，产量 x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时 ， 可使赢利最多？ 解：依题意 ， G(x) x 2， 设利润函数为 f(x)， 则 f(x) 0 x 5，x， x5. (1) 要使 工厂有赢利 ， 即解不等式 f(x)0， 当 0x5 时 ， 解不等式 ， 即 8x 75 时 ， 解不等式 x0， 得 ， f(x)12 ， 则 f(10x)0的解集为 _ 答案： x|解集为 ( 且 5， 则 a _ 答案： 52 解析： 4a ( 2a) 6a 15. 4. (2013 上海 )甲厂以 x 千克 /小时的速度运输生产某种产品 (生产条件要求1x10) ， 每小时可获得利润是 100(5x 1 3x)元 (1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元 ， 求 x 的取值范围； (2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大 ， 问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 解： (1) 根据题意 ， 200 5x 1 3x 3 000 5x 14 3x x10 ， 可解得3x10. (2) 设利润为 y 元 ， 则 y 900x 100 5x 1 3x 9 104 31x 162 6112， 故 x 6 时 ， 457 500 元 1. 解关于 x 的不 等式 (1 0， 即 x x 2a 0 时 ， 原不 等式转化为 x(2)0， 即原不等式的解集为 x00 时 ， 原不等式解集为 x00， 应讨论 a 与 b 的大小再确定不等式的解 ， 解一元二次不等式的一般过程是：一看 (看二次项系数的符号 )， 二算 (计算判别式 ， 判断方程的根的情况 )， 三写 (写出不等式的解集 ) 9 3. 应注意讨论 c0 的二 次项系数 a 是否为 0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想分类讨论要做到 “ 不重 ” 、 “ 不漏 ” 、“ 最简 ” 的三原则 请使用课时训练（ A）第 1课时（ 见活页） . 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式第 2 课时 二元一次不等式 (组 )与简单 页 ) 考情分析 考点新知 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义 ， 能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 ， 并能加以解决 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 . 了解二元一次不等式的几何意义 ， 能用平面 区域表示二元一次不等式组 . 会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问题 ， 并能加以解决 . 1. (必修 5 改编 )若点 P(a， 3)在 2x b 表示直线 y b 上方 的平面区域 ， y0，x y 40 ，x a(a 为常数 )， 表示的平面区域的面积为9， 那么实数 a 的值为 _ 答案： 1 解析：不等式组x y0，x y 40 ，x S 12| (a 2) 12(2a 4)(a 2) 9. 又 a 2， a 1. 5 题型 2 线性规划问题 例 2 设 z 2x y， 式中变量满足下列条件： x 4y 3，3x 5y25 ，x 1，求 z 的最大值和最小值 解：变量 x、 y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域 ，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 (如图 ) 作一组与 2x y 0 平行的直线 l： 2x y R 可知：当 l 在 直线 l 上的点 (x， y)满足 2x y 0， 即 t 0， 而且直线 l 往右平移时 ， t 随之增大 ， 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中 ， 以经过点 A(5， 2)的直线 t 最大 ， 以经过点 B(1， 1)的直线 t 最小所以 25 2 12， 21 1 3. 变式训练 已知实数 x， y 满足x y 60 ，x y0 ，x 3，若 z y 的最大值为 3a 9， 最小值为 3a 3，则实数 a 的取值范围为 _ 答案： 1， 1 解析：作出可行域如图中阴影部分所示 ，则 z 在点 A 处取得最大值 ， 在点 C 处取得最小值又 1， 1， 1 a1 ， 即 1a1. 题型 3 线性规划的实 际应用 例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 B 原料2 产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 B 原料 1 00 元 ， 每桶乙 6 产品的 利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中 ， 要求每天消耗 A、 B 原料都不超过12 从每天生产的甲、乙两种产品中 ， 公司共可获得的最大利润是多少？ 解：设公司每天生产甲种产品 x 桶 ， 乙种产品 y 桶 ， 公司共可获得利润为 z 元 /天 ， 则由已知 ， 得 z 300x 400y， 且x 2y12 ，2x y12 ，x 0，y 0，画可行域如图所示 ， 目标函数 z 300x 400y 可变形为 y 34x 这是随 z 变化的一簇平行直线 ， 解方程组2x y 12，x 2y 12， x 4，y 4， 即 A(4， 4)， 1 200 1 600 2 800(元 ) 故公司每天生产甲产品 4 桶、生产乙产品 4 桶时 ， 可获得最大利润为 2 800 元 备选变式（教师专享） 某公司计划 2013 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告 ， 广告总费用不超过 9 万元 ， 甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 /分钟和 200 元 /分钟 ， 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 元和 元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间 ， 才能使公司的收益最大 ， 最大收益是多少万元？ 解： 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟 ， 总收益为 题意 ， 得x y300 ，500x 200y90 000，x 0， y z 3000x 2000y. 二元一次不等式组等价于x y300 ，5x 2y900 ，x 0， y 即可行域 作直线 l： 3000x 2000y 0， 即 3x 2y 0. 联立x y 300，5x 2y 900， 解得 x 100， y 200. 7 记点 M 的坐标为 (100， 200) 平移直线 l， 易知 ， 当直线 l 过 M 点时 ， 目标函数取得最大值 3000x 2000y 700000(元 ) 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告 ， 在乙电视台做 200 分钟广告 ， 公司的收益最大 ，最大收益是 70 万元 1. (2013 南通模拟 )已知 0 a 1， x y 1) y x 2)， 且 x y，则 的最大值为 _ 答案： 2 解析： 2x y 10， 作出可行域 ， 则 z x y 经过点 ( 1， 1)时最小 ， 故 x y 2， 所以 的最大值为 2. 2. 若直线 y 2x 上存在点 (x， y)满足约束条件x y 30 ，x 2y 30 ，x m，则实数 m 的最大值为_ 答案： 1 解析：可行 域如下： 所以 ， 若直线 y 2x 上存在点 (x， y)满足约束条件x y 30 ，x 2y 30 ，x m，则 3 m2m ， 即 m1. 3. 设变量 x、 y 满足x y10 ，0 x y20 ，0 y 15，则 2x 3y 的最大值是 _ 答案： 55 解析：由x y 20，y 15 得 A(5， 15)， 且 A 为最大解 ， 2 5 315 55. 4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜 ， 种植面积不超过 50 亩 ， 投入资金不超过 54 万元 ， 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价 如下表： 年产量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价 黄瓜 4 t 元 元 8 韭菜 6 t 元 元 为使一年的种植的总利润最大 ， 那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为 _ 答案： 30 亩、 20 亩 解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x、 y， 则总利润 z (4 1.2)x (60.9)y x 此时 x、 y 满足条件x y50 ，4 ，x 0， y 0，画出可行域知 ， 最优解为 (30， 20) 5. 直线 2x y 10 0 与不等式组x0 ，y 0，x y 2，4x 3y20表示的平面区域的公共点有 _个 答案： 1 解析：画出不等式组x0 ，y 0，x y 2，4x 3y20表示的可行域 ， 如图阴影部分所示 (含边界 ) 因为直线 2x y 10 0 过点 A(5， 0)， 且其斜率为 2， 小于直线 4x 3y 20 的斜率 43， 故只有一个公共点 (5， 0) 1. 设不等式组x y 110 ，3x y 30 ，5x 3y 90表示的平面区域为 D， 若指数函 数 y 上的点 ， 则 a 的取值范围是 _ 答案： 10(b(0 时 ， 求目标函数 z c 的最值的求解步骤 作出可行域； 作出直线 0； 平移直线 0， 依可 行域判断取得最值的最优解的点； 解相关方程组 ， 求出最优解 ， 从而得出目标函数的最值 3. 常见的非线性目标函数的几何意义： x， y)与原点 (0， 0)的距离； （ x a） 2（ y b） 2表示点 (x， y)与点 (a， b)的距离； x， y)与原点 (0， 0)连线的斜率值； y x， y)与点 (a， b)连线的斜率值 请使用课时训练（ B）第 2课时（见活页） . 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式第 3 课时 基本不等式 考情分析 考点新知 掌握基本不等式 ， 能利用基本不等式推导不等式 ， 能利用基本不等式求最大 (小 )值 了解基本不等式的证明过程 . 会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 1. (必修 5 改编 )若 x0， 则 x 2_ 答 案： 2 2 解析： x0 ， x 2x 2 x 2x 2 2， 当且仅当 x 2时等号成立 2. (必修 5 改编 )设 x 3， 则 x 2x 3的最小值 为 _ 答案： 2 2 3 解析： x 30， x 2x 3 (x 3) 2x 3 3 2 （ x 3） 2x 3 3 2 23. 4. (必修 5 改编 )设 x， y R， 且 x y 5， 则 3x 3_ 答案： 18 3 解析： 3x 3y 2 3x 3y 2 3x y 2 35 18 3， 当且仅当 x y 52时等号成立 5. (必修 5 改编 )已知函数 f(x) x 2(x2)的图象过点 A(3， 7)，则此函数的最小值是 _ 答案： 6 解析： 函数 f(x) x 2(x2)的图象过点 A(3， 7)， 即 7 3 a， a 4. x 20， 2 f(x) (x 2) 4x 2 2 2 （ x 2） 4x 2 2 6， 当且仅当 x 4 时等号成立 ，故此函数的最小值是 6. 1. 算术平均数与几何平 均数 对于正数 a， b， 我们把 a 为 a、 b 的算术平均数 ， a、 b 的几何平均数 2. 基本不等式 a (1) 基本不等式成立的条件： a0， b0； (2) 等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号； (3) 结论：两个非负数 a， b 的算术平均数 不小于 其几何平均数 3. 拓展：若 a 0， b 0， 21a1b a 当且仅当 a b 时等号成立 备课札记 3 题型 1 利用基本不等式证明不等式 例 1 已知 x0， y0， 求证： 1x 1y 4x y. 证明：原不等式等价于 (x y)2 4即 (x y)2 0， 显然成立故原不等式得证 变式训练 (1) 若 abc， 求证： 1a b 1b c 4a c； (2) 若 abc， 求使得 1a b 1b c k 的最大值 证明： (1) 令 a b x， b c y， 则 a c x x 1y 4x y， 由作差法可证该不等式成立 ， 故原不等式成立 (2) 由 (1)可知 ， 1a b 1b c 4a 而 1a b 1b c c， k 的最大值为 4. 题型 2 利用基本不等式求最值 例 2 (1) 已知 y0 且 1x 9y 1， 求 x y 的最小值 解： (1) y0 且 1x 9y 1， x y (x y) 1x 9y 10 9 10 2 9 16， 即 x y 的最小值为 16. 备选变式（教师专享） 已知函数 f(x) 2x x 1， ) (1) 当 a 4 时 ， 求函数 f(x)的最小值； (2) 若对任意 x1 ， ) ， f(x)0 恒成立 ， 试求实数 a 的取值范围 解： (1) 由 a 4， f(x) 2x 4x x4x 26 ， 当 x 2 时 ， 取得等号即当 x2 时 ， f(x)6. (2) x1 ， ) ， 2x 0 恒成立 ， 即 x1 ， ) ， 2x a0 恒成立 4 等价于 a 2x， 当 x1 ， ) 时恒成立 ， 令 g(x) 2x， x 1， ) ， ag(x) 1 21 3， 即 a 3. a 的取值范围是 ( ) 3， . 题型 3 利用基本不等式解应用题 例 3 如图 ， 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间一面可利用原有的墙 ， 其他各面用钢筋网围成 (1) 现有可围成 36m 长的材料 ， 每间虎笼的长、宽各设计为多少时 ， 可使每间虎笼的面积最大？ (2) 若使每间虎笼的面积为 24则每间虎笼的长、宽各设计为多少时 ， 可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解： (1) 设每间虎笼长为 宽为 则4x 6y 36，x0，y0，面积 S 由于 2x 3y 2 2x3y 2 6所以 2 618， 得 272 ， 即 S 272 ， 当且仅当2x 3y 时取等号 则2x 33y 18 x 4.5，y 3， 所以每间虎笼长、宽分别为 3m 时 ， 可使面积最大 (2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为 则 l 4x 6y， 且 24， 所以 l 4x 6y 2(2x 3y)22 2x3y 4 64 624 48(m)， 当且仅当 2x 3y 时取等号 242x 3y x 6，y 4. 故每间虎笼长、宽分别为 6m、 4m 时 ， 可使钢筋网的总长最小为 48m. 备选变式（教师专享） 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 三级污水处理池 ， 池的深度一定(平面图如图所示 )， 如果池四周围墙建造单价为 400 元 /中间两道隔墙建造单价为 248元 /池底建造单价为 80 元 /水池所有墙的厚度忽略不计 (1) 试设计污水处理池的长和宽 ， 使总造价最低 ， 并求出最低总造价； (2) 若由于地形限制 ， 该池的长和宽都不能超过 16 m， 试设计污水池的长和宽 ， 使总造价最低 ， 并求出最低总造价 解： (1) 设污水处理池的宽为 x m， 则长为 162x m. 总造价为 f(x) 400 2x 2 162x 2482x 80162 1 296x 1 296100x 12 5 960 1 296 x 100x 1 2960 1 296 2 x 100x 12 960 38 880 元当且仅当 x 100x(x0)， 即 x 10 时取等号 当长为 16.2 m， 宽为 10 m 时总造价最低 ， 最 低总造价为 38 880 元 (2) 由限制条件知00， 若 9x a 1 对一切正实数 x 成立 ， 则 a 的取值范围为 _ 答案： 15， 解析： 9x 2 9x6a， 所以 6aa 1， 即 a15. 2. 已知正实数 x、 y、 z 满足 2x(x 1y 1z) 则 x 1y x 1z 的最小值为 _ 答案： 2 解析： 2x x 1y 1z 1y 1z x， x 1y x 1z x 1y 1z 1 12. 3. 已知 P 是 边 的任一点 ， 且满足 ， x、 y R， 则 1x 4_ 答案： 9 解析：因为 B、 C、 P 三点共线且 ， 故 x 0， y 0 且 x y 1， 所以 1x 4y1x4y (x y) 5 9. 4. 若不等式 492一切正数 x、 y 恒成立 ， 则整数 k 的最大值为 _ 答案： 3 解析：原不等式可化为 4 9 2 9 12， 2k 12， 则整数 k 的最大值为 3. 5. 设正项等差数列 前 2 011 项和等于 2 011， 则 1110的最小值为 _ 答案： 2 6 解析：由题意得 11 2 011（ 11）2 2 011， 11 2. 又 10 11 2， 1110 12 1110(10) 12(1010) 12. 1. 2立的条件是 a， b R， 而 a a0 ， b 0， 使用时要注意公式成立的前提条件 2. 在运用基本不等式时 ， 要特别注意 “ 拆、拼、凑 “ 等技巧 ， 使其满足基本不等式中的 ” 一正 “( 即条件中字母为正数 )，” 二定 “( 不等式的另一边必须为定值 )，” 三相等 “( 等号取得的条件 ) 3. 正确理解 定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小“ . 4. 连续使用公式两次或以上 ， 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 5. 函数 y bx(a0， b0)的单调性要掌握 ， 特别是运用基本不等式不能满足 “ 三相等 “ 时 请使用课时训练（ A）第 3课时（见活页） . 备课札记 1 最高考系列 高考总复习 2014 届高考数学总复习（考点引领 +技巧点拨）第六章 不 等 式第 4 课时 不等式的综合应用 考情分析 考点新知 掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用 应用性问题的基本思路：读题 (背景、结论 ) 条件 建模 解题 反思 作答 . 1. (必修 5 改编 )函数 y x 4x(x 0)的值域是 _ 答案： ( ， 44 ， ) 解析：当 x0 时 ， y x 4x 2 x 4x 4， 当 ， 上述三种方案中提价最多的是 _ 答案：方案丙 解析：设原来价 格为 A， 方案甲：经两次提价后价格为 A 1 1 A 1 p 方案乙：经两次提价后价格为 A 1 1 方案丙：经两次提价后价格为 A 1 p A1 p p 2 110 000 p 所以方案丙提价最多 3. (2013 海门联考 )设 x R， f(x) 12|x|， 若不等式 f(x) f(2x)k 对于任意的 x 则实数 k 的取值范围是 _ 答案： k2 解析：不等式化为 k 12|x| 12|2x|， 因为 12|x| (0， 1， 所以 k2. 2 4. (2013 苏州期中 )设变量 x， y 满足 |x| |y|1 ， 则 x 2y 的最大值为 _ 答案： 2 解析：作 出可 行域为正方形 ， 4 个顶点分别为 (1， 0)， (0， 1)， ( 1， 0)， (0， 1)，则 z x 2y 过点 (0， 1)时最大值为 2. 备课札记 题型 1 含参数的不等式问题 例 1 若不等式组x 2 0，2 5 2k） x 5k 0的解集中所含整数解只有 2， 求 k 的取值范围 解：由 x 20 有 x 1 或 x 2， 由 2(5 2k)x 5k 0 有 (2x 5)(x k) 0. 因为 2 是原不等式组的解 ， 所以 k 2. 由 (2x 5)(x k) 0 有 52 x k. 因为原不等式组的整数解只有 2， 所以 2 k3 ， 即 3k 2， 故 k 的取值范围是 3， 2) 变式训练 不等式 ( 1)3； 当 n 为偶数时 ， a 2 1n， 而 2 1n 2 12 32， 所以 a 32. 综上可得： 30， b0， 且 12a b 1b 1 1， 则 a 2b 的最小值为 _ 答案： 2 3 12 解 析 ： 2a 4b 3 (2a 4b 3) 12a b 1b 1 (2a b) 3(b 1) 12a b 1b 1 1 2a 1 3（ b 1）2a b 34 2 3， 所以 a 2b 2 3 12 . 4. (2013 天津 )设 a b 2， b0， 则当 a _时
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