（山东专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第二章课件（打包12套）
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12
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第 10课时 变化率与导数、导数的计算 教材回扣夯实双基 基础梳理 1函数 y f(x)在 x (1)定义 称函数 y f ( x ) 在 x m x 0 y x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为函数 y f ( x ) 在 x 作 f ( y | x f ( li m x 0 y x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . i m x 0 f x 0 x f x 0 x li m x 0 f x 0 x f x 0 x (2)几何意义 函数 f(x)在点 f (几何意义是在曲线 y f(x)上点 _处的 _ (瞬时速度就是位移函数s(t)在时间 相应地，切线方程为 _ (f( 切线的斜率 y f(x 思考探究 f (x)与 f (何区别与联系 ？ 提示： f (x)是一个函数， f (一个常数，是函数 f (x)在点 2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x) C( f (x) _ f(x) Q*) f (x) _ f(x) f (x) _ f(x) f (x) _ f(x) ax(a0且 a 1) f (x) _ f(x) ex f (x) _ 0 1 函数 导函数 f(x) a0，且a 1) f (x) _ f(x) f (x) _ 1x 3 导数的运算法则 ( 1 ) f ( x ) g ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) f ( x ) g ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 3 ) f x g x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( g ( x ) 0) f (x) g (x) f (x)g(x) f(x)g (x) f x g x f x g x g x 2 4 复合函数的导数 复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为 y x _，即 y对 _的导数与 _ 的导数的乘积 yuux y对 u u对 x 课前热身 1 (2011高考重庆卷 )曲线 y 3 ) A y 3x 1 B y 3x 5 C y 3x 5 D y 2x 解析：选 A. y 36x， y |x 1 3.曲线 y 31， 2)处的切线方程为 y2 3(x 1)，即 y 3x 1. 2 函数 y ) A B D 析：选 x x( ( 3 f ( x ) 是 f ( x ) 13x 3 2 x 1 的导函数，则f ( 1) 的值是 _ _ _ _ _ _ _ _ 解析： f (x) 2， f ( 1) 3. 答案： 3 4 已知曲线 y 3 l n x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 _ _ _ _ _ _ _ _ 解析： 令 y 12x 3x12，解得 x 3 或 2( 舍去 ) ，故 x 3. 答案： 3 考点探究讲练互动 考点突破 导数的基本概念 例 1 用导数的定义求函数 f ( x ) 1x 2的导数 【解】 y xf x x f x x1x 2 x1x 2 x x 2 x 2 x x x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x ， f ( x ) li m x 0 y x li m x 0 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2. 【题后感悟】 根据导数的定义，求函数 y f ( x ) 在 x x 0 处导数的方法是： ( 1 ) 求函数值的增量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ； ( 2 ) 求平均变化率 y xf x 0 x f x 0 x； ( 3 ) 计算导数 f ( x 0 ) li m x 0 y x. 备选例题 例 用导数定义求函数 y f ( x ) x 在 x 1 处的导数 【解】 y f (1 x ) f ( 1 ) 1 x 1 ， y x1 x 1 x11 x 1， li m x 011 x 112. f ( 1 ) 12. 变式训练 1 若函数 y f ( x ) 在 x a 处的导数为 A ，则 li m x 0f a x f a x ) A A B 2 A 0 解析： 选 B. 由于 y f ( a x ) f ( a x ) ， 其改变量对应 2 x ， li m x 0f a x f a x x 2 li m x 0f a x f a x 2 x 2 f ( a ) 2 A ，故选 B. 导数的运算 例 2 求下列函数的导数： ( 1 ) y (3 4 x ) ( 2 x 1) ； ( 2 ) y i n x ； ( 3 ) y 32x e ； ( 4 ) y ln 1； ( 5 ) y l n ( 3 x 2) e2 x 1. 【 解 】 (1) y (34x)(2x 1) 6384x 654x， y 1810x 4. (2)y ( x2( 2(3)y (3 (2x) e (3x) 3x( (2x) 332 (1)(3e)x 2( 4 ) y ln x 1 ln x 1 1 21x 1 2 x ln x 1 21 2 1 2. ( 5 ) y 3 x 2) e2 x 1 3 x 2 ) (e2 x 1) 13 x 2( 3 x 2) e2 x 1(2 x 1) 33 x 2 2e2 x 1. 【 题后感悟 】 求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函 数，如果直接套用求导法则，会使求导过程烦琐冗 长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误 备选例题 例 求下列函数的导数： ( 1 ) y ( 2 ) y co s xs i n x； ( 3 ) y x ； ( 4 ) y i n 2 x . 【解】 ( 1 ) y 1 1n x ) ( 2 ) y s i co i 1s i ( 3 ) y x x 1x ln x . ( 4 ) y 2 x s i n 2 x 2 s 2 x . 变式训练 2 求下列函数的导数： ( 1 ) y (2 x 1) n ( n N * ) ； ( 2 ) y 解： ( 1 ) y n (2 x 1)n 1( 2 x 1) 2 n (2 x 1)n 1. ( 2 ) y 5 x 5 x x 1 x 2 5 1 x 6 . 导数的几何意义 例 3 (1)(2011高考山东卷 )曲线 y 11在点P(1， 12)处的切线与 ) A 9 B 3 C 9 D 15 (2)(2010高考大纲全国卷 )若曲线 y x20， b)处的切线方程是 x y 1 0，则 ( ) A a 1， b 1 B a 1， b 1 C a 1， b 1 D a 1， b 1 【 解析 】 (1) y 11， y 3 y |x 1 3， 曲线 y 11在点 P(1,12)处的切线方程为y 12 3(x 1) 令 x 0， 得 y 9. (2) 点 (0， b)在直线 x y 1 0上 ， b 1. 又 y 2x a， 在点 (0， b)处的切线的斜率为 y |x 0 a 1. 【 答案 】 (1)C (2)A 【 题后感悟 】 求曲线的切线方程有两种情 况 ， 一是求曲线 y f(x)在点 P(的切线方程 ， 其方法如下： (1)求出函数 y f(x)在点 x 即曲线 y f(x)在点 P(f(处切线的斜率 (2)写出切线方程 y f (x 二是求曲线 y f(x)过点 P(切线方程，其方法如下： (1)设出切点坐标 P(f( (2)写出在 P(f(处的切线方程 y f( f(x (3)将点 (4)将 y f( f(x 得过点 P(切线方程 备选例题 例 已知曲线 y 133. ( 1 ) 求曲线在点 P ( 2 , 4 ) 处的切线方程； ( 2 ) 求曲线过点 P ( 2 , 4 ) 的切线方程 【解】 ( 1 ) y 在点 P ( 2 , 4 ) 处的切线的斜率 k y |x 2 4. 曲线在点 P ( 2 , 4 ) 处的切线方程为 y 4 4( x 2) ， 即 4 x y 4 0. ( 2 ) 设曲线 y 133与过点 P ( 2 , 4 ) 的切线相切于点 A33，则切线的斜率 k y | x 切线方程为 y 133 x ， 即 y x 233. 点 P ( 2 , 4 ) 在切线上， 4 2 33， 即 3 4 0. 4 4 0. 1) 4( 1 ) ( 1 ) 0. ( 1 ) ( 2)2 0 ， 解得 1 或 2. 故所求的切线方程为 4 x y 4 0 或 x y 2 0. 变式训练 3已知抛物线 y (1,1)，且在点 Q(2， 1)处与直线 y x 3相切，求实数 a、 b、 解： y 2b， 抛物线在 Q(2， 1)处的切线斜率为 k y |x 2 4a b. 4a b 1. 又 P ( 1 , 1 ) 、 Q (2 ， 1) 在抛物线上， a b c 1 ， 4 a 2 b c 1. 联立 解方程组，得a 3 ，b 11 ，c 9. 实数 a 、 b 、 c 的值分别为 3 、 11 、 9. 方法技巧 1在对导数的概念进行理解时，特别要注意f( (f(是不一样的， f(表函数 f(x)在x 一定为 0；而 (f(是函数值 f(导数，而函数值 f(一个常量，其导数一定为 0，即 (f( 0. 方法感悟 2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 失误防范 1利用导数定义求导数时，要注意到 里的 如例 1) 2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 3求曲线的切线时，要分清点 点的切线，前者只有一条，而后者包括了前者 4曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 考向瞭望把脉高考 命题预测 从近几年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识 预测 2013年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点重点考查运算及数形结合能力 典例透析 例 ( 2 0 1 1 高考湖北卷 ) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 1 3 7 的衰变过程中，其含量 M ( 单位：太贝克 ) 与时间 t ( 单位：年 ) 满足函数关系： M ( )t 中 t 0时铯 1 3 7 的含量已知 t 30 时，铯 1 37 含量的 变化率 是 1 0 2 ( )太贝克 /年 ，则 M ( )60 ( ) A 5太贝克 B 75太贝克 C 150太贝克 D 150太贝克 【解析】 M ( )t 130M 0 2l n 2 ， M ( )30 13012M 0 l n 2 1 0 l n 2 ， M 0 6 0 0 . 130 M ( )t 6 0 0 2， M ( )60 6 0 0 2 2 1 5 0 ( )太贝克 . 【答案】 D 130 【 得分技巧 】 此题为应用题，但抓住题眼是函数 M(t)，研究函数的变化率，就知道此题的入手点，其次是求复合函数的导数 【失分溯源】 求 M ( t ) 出错，漏写 “ 130” 的很多，其原因对复合函数求导不熟 把本题中的 M 0 误认为 M 0 1 3 7 ，求的是M ( 6 0 ) ，是题意理解错 第 11课时 导数与函数的单调性、极值 教材回扣夯实双基 基础梳理 1 函数的导数与单调性 在某个区间内，若 f (x) 0，则函数 y f(x)在 这个区间内 _；若 f (x) 0， 则函数 y f(x)在这个区间内 _ 单调递增 单调递减 2 函数的导数与极值 (1)极大值：如果在 f(x)_0， 右侧 f(x)_0， 且 f(_0， 那么 f(是极大值； (2)极小值：如果在 f(x)_ 0， 右侧 f(x)_ 0，且 f(_0，那么 f(极小值 思考探究 若 f ( 0，则 f(x)的极值点吗？ 提示： 不一定可导函数在一点的导数值为 0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条 件，如函数 f(x) x 0时，有 f (x) 0，但x 0不是函数 f(x) 课前热身 1 函数 f(x) 3x 9， 已知 f(x)在 x3时取得极值 ， 则实数 ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案： D 2 函数 f(x) 2 ) A (0,1) B (1， ) C ( ， 1) D ( 1,1) 解析： 选 A. f ( x ) 2 x 2x2 x 1 x 1 x( x 0) 当 x ( 0 , 1 ) 时 f ( x ) 0 ， f ( x ) 为减函数； 当 x (1 ， ) 时 f ( x ) 0 ， f ( x ) 为增函数 3 已知 a 0， 函数 f(x) 1， )上是单调递增函数 ， 则 解析： f (x) 3a， f(x)在 1， )上是单调增函数 ， f (x) 0， a 3 a 3.又 a 0， 可知 0 a 3. 答案： (0,3 4 函数 f(x) 31在 x _处取得极小值 解析：由 f(x) 31得 f (x) 36x3x(x 2)， 当 x (0,2)时 ， f (x) 0， f(x)为减函数 ， 当 x ( ， 0) (2， )时 ， f (x) 0， f(x)为增函 数 ， 故当 x 2时 ， 函数 f(x)取得极小值 答案： 2 考点探究讲练互动 考点突破 函数的单调性与导数 例 1 (2011高考天津卷节选 )已知函数 f(x) 436t 1， x R，其中 t R. (1)当 t 1时，求曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)当 t0时，求 f(x)的单调区间 【解】 ( 1 ) 当 t 1 时， f ( x ) 4 3 6 x ，f ( 0 ) 0 ， f ( x ) 12 6 x 6 ， f ( 0 ) 6. 所以曲线 y f ( x ) 在点 (0 ， f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y 6 x . ( 2 ) f ( x ) 12 6 6 令 f ( x ) 0 ，解得 x t 或 x 因为 t 0 ，所以分两种情况讨论： 若 t 0 ，则 t 0 ，得 x 1 ，令 y 0 ，得 x 12；令 y 0恒成立 ， 即 f(x)在 若 a0， a0exax f(x)的单调递增区间为 ( ) (2) f(x)在 f (x) 0在 a 0， 即 a 上恒成立 a (ex) ， a 0. 【 题后感悟 】 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知 f(x)在区间 递减 )，等价于不等式 f (x) 0(f (x) 0)在区间 后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 备选例题 已知函数 f(x) ,4)，曲线在点 x 9y 0垂直 (1)求实数 a， (2)若函数 f(x)在区间 m， m 1上单调递增，求 例 【解】 ( 1 ) f ( x ) 1 , 4 ) ， a b 4. 又 f ( x ) 3 2 则 f ( 1 ) 3 a 2 b . 由条件知 f ( 1 ) ( 19) 1 ，即 3 a 2 b 9. 联立a b 4 ，3 a 2 b 9 ，解得a 1 ，b 3.(2)f(x) 3f (x) 36x， 令 f (x) 36x 0， 解得 x 0或 x 2. 函数 f(x)在区间 m， m 1上单调递增 ， m， m 1( ， 2 0， ) m 0或 m 1 2， m 0或 m 3. 求已知函数的极值 例 3 已知函数 f ( x ) 1x ln x f ( x ) 的极值和单调区间 【解】 因为 f ( x ) 11xx 1 令 f ( x ) 0 ，得 x 1 ， 又 f ( x ) 的定义域为 (0 ， ) ， f (x)， f(x)随 所以 x 1时 ， f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为 (1， )，单调递减区间为 (0,1) x (0,1) 1 (1， ) f (x) 0 f(x) 极小 值 【 题后感悟 】 求可导函数 f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数 f (x)； (3)求方程 f (x) 0的根； (4)检验 f(x)在方程 f(x) 0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近 f(x) 0，右侧附近 f(x) 0，那么函数 y f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近 f(x) 0，右侧附近 f(x) 0，那么函数 y f(x)在这个根处取得极小值 备选例题 设函数 f(x) 3b(a0) (1)若曲线 y f(x)在点 (2， f(x)处与直线 y 8相切，求 a， (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点 例 【解】 ( 1 ) 由题知 f ( x ) 3 3 a ( a 0) 曲线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( x ) 处与直线 y 8 相切， f 2 0f 2 8，即3 4 a 08 6 a b 8， a 4b 24. ( 2 ) f ( x ) 3( a )( a 0) ， 当 a 0 时， f ( x ) 0 ，函数 f ( x ) 在 ( ， ) 上单调递增，此时函数 f ( x ) 没有极值点 当 a 0 时，由 f ( x ) 0 可得 x a ， a 当 x ( ， a ) 时， f ( x ) 0 ，函数f ( x ) 单调递增； b 当 x ( a ， a ) 时， f ( x ) 0 ，函数f ( x ) 单调递减； c 当 x ( a ， ) 时， f ( x ) 0 ，函数 f ( x )单调递增 综上可知， x a 是 f ( x ) 的极大值点， x a 是 f ( x ) 的极小值点 变式训练 2 ( 2 0 1 1 高考重庆卷 ) 设 f ( )x 2 1 的导数为 f ( )x ，若函数 y f ( )x 的图象关于直线 x 12对称，且 f ( )1 0. ( )1 求实数 a ， b 的值； ( )2 求函数 f ( )x 的极值 . 解： ( )1 因为 f ( )x 2 1 ，故f ( )x 6 2 b f ( )x 6x b y f ( x ) 关于直线 x 而由题设条件知12，解得 a 3. 又由于 f ( )1 0 ，即 6 2 a b 0 ，解得 b 12. ( )2 由 ( )1 知 f ( )x 2 3 12 x 1 ， f ( )x 6 6 x 12 6 ( )x 1 ( )x 2 . 令 f ( )x 0 ，即 6 ( )x 1 ( )x 2 0 ，解得 2 ， 1. 当 x ( ) ， 2 时， f ( )x 0 ， 故 f ( )x 在 ( ) ， 2 上为增函数； 当 x ( ) 2 ， 1 时， f ( )x 0 ，故 f ( )x 在 ( )1 ， 上为增函数 从而函数 f ( )x 在 2 处取得极大值 f ( ) 2 21 ，在 1 处取得极小值 f ( )1 6. 方法技巧 1注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值 (范围 )时，隐含恒成立思想 2求极值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小 方法感悟 失误防范 1 注意定义域优先的原则 ， 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 “ f (x) 0(或 f (x) 0)” 是 “ 函数 f(x)在某一区间上为增函数 (或减函数 )” 的充分不必要条 件； “ f ( 0” 是 “ 函数 f(x)在 x 的必要不充分条件 3函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定 考向瞭望把脉高考 命题预测 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用 (各套都从不同角度进行考查 ) 预测 2013年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向 典例透析 例 ( 本题满分 12 分 ) ( 2 0 1 1 高考安徽卷 ) 设 f ( x ) 其中 a 为正实数 ( 1 ) 当 a 43时，求 f ( x ) 的极值点； ( 2 ) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 【解】 对 f ( x ) 求导得 f ( x ) 2 1 2 分 ( 1 ) 当 a 43时，若 f ( x ) 0 ，则 4 8 x 3 0 ， 解得 2， 结合 ，可知 x ，121212，323232， f (x ) 0 0 f ( x ) 极大值 极小值 6 分 所以 x 1 32是极小值点， x 2 12是极大值点分 ( 2 ) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，则 f ( x ) 在 结合 与条件 a 0 ，知 1 2 0 在 R 上恒成立，即 4 4 a 4 a ( a 1) ，由此并结合 a 0 ，知0 a 1 . 1 1 分 所以 a 的取值范围为 a | 0 a 1 . 1 2 分 名师点拨 层层剖析 1. 根据f x g x 法则求导，这是解题关键，务必保证正确 2. 这是 ( 1 ) 的中心得分点 3 极值点，而不是极值 4. 另一种写法是 f ( x ) 0 在 R 上恒成立 5. 利用抛物线开口向上且 0. 第 12课时 导数的应用与定积分 教材回扣夯实双基 基础梳理 1 函数的最值 假设函数 y f(x)在闭区间 a， b上的图象是一 条 _的曲线，则该函数在 a， b 上一定能够取得 _与 _若函数 在 (a， b)内是 _的，该函数的最值必在 _处取得 连续不间断 最大值 最小值 可导 极值点或区间端点 2解决优化问题的基本思路 3定积分的几何意义 如果函数 f ( x ) 在区间 a ， b 上连续且恒有f ( x ) 0 ，那么定积分f ( x ) d x 表示由直线x a ， x b ， y 0 和曲线 y f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积 ( 如图阴影部分 ) ，这就是定积分f ( x ) d x 的几何意义 4定积分的性质 5 微积分基本定理 一般地 ， 如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数 ，并且 F(x) f(x)， 那么 f(x)_ 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式 F(b) F(a) 课前热身 1 ( 2 0 1 1 高考福建卷 ) 01 ( 2 x ) d x 等于( ) A 1 B e 1 C e D e 1 解 析： 选 C . 01 ( e x 2 x ) d x ( e x x 2 )| 10 ( e 1 1 2 ) ( e 0 0 2 ) e . 2 已知某生产厂家的年利润 y ( 单位：万元 )与年产量 x ( 单位：万件 ) 的函数关系式为 y1381 x 2 3 4 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析：选 81，令 y 0解得 x 9( 9舍去 )当 0 x 9时， y 0；当 x 9时， y 0，则当 x 9时， 选 C. 3 函数 f(x) x 0,1上的最小值为_ 解析： f (x) 1 函数 f(x)在区间 0,1单调递减 ， 最小值为 f(1) 1 e. 答案： 1 e 4函数 f(x) 2312x 5在 0,3上的最大值是 _，最小值是 _ 答案： 5 15 考点探究讲练互动 考点突破 函数的最大 (小 )值与导数 例 1 已知函数 f(x) 3x.若 x 3是f(x)的极值点，求 f(x)在 x 1， a上的最小值和最大值 . 【解】 f ( x ) 3 2 3 ，由题意得f ( 3 ) 0 ， 即 27 6 a 3 0 ， a 4. 此时，方程 3 8 x 3 0 的两根为13，3. 又 x 1,4， x 3. 当 f (x)， f(x)的变化情况为： x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f (x) 0 f(x) 6 单调递 减 18 单调递 增 12 当 x 1时 ， 函数取得最大值 6； 当 x 3时 ， 函数取得最小值 18. f(x)在 x 1， a上的最大值为 6，最小值为 18. 【 题后感悟 】 函数的最大 (小 )值是在函数极大 (小 )值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数 y f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大 (小 )值 备选例题 已知函数 f(x) (1)求函数 f(x)的极值点； (2)设函数 g(x) f(x) a(x 1)，其中 a R，求函数 g(x)在区间 1， e上的最小值 (其中 例 【解】 ( 1 ) f ( x ) ln x 1 ， x 0 ， 由 f ( x ) 0 得 x 1e， 所以 f ( x ) 在区间0 ，1区间1e， 上单调递增 所以， x 1f ( x ) 的极小值点，极大值点不存在 (2)g(x) a(x 1)， 则 g (x) 1 a， 由 g (x) 0， 得 x 1， 所以 ， 在区间 (0， 1)上 ， g(x)为递减函数 ， 在区间 (1， )上 ， g(x)为递增函数 当 1 1， 即 a 1时 ， 在区间 1， e上 ， g(x)为递增函数 ， 所以 g(x)的最小值为 g(1) 0. 当 1 1 e， 即 1 a 2时 ， g(x)的最小值为 g(1) a 1. 当 1 e， 即 a 2时 ， 在区间 1， e上 ，g(x)为递减函数 ， 所以 g(x)的最小值为 g(e) a e 综上，当 a 1时， g(x)的最小值为 0；当 1 a 2时， g(x)的最小值 a 1；当 a 2时，g(x)的最小值为 a e 变式训练 1 已知函数 f ( x ) 3 l n x . 若 a 2 ，求f ( x ) 的最小值 解： a 2 ， f ( x ) 2 x 2x 3 l n x ， f ( x ) 2 23x2 3 x 2 令 f ( x ) 0 得 x 2 或 x 12( 舍去 ) ， 列表： 函数 f(x)的最小值为 5 3x (0,2) 2 (2， ) f (x) 0 f(x) 5 3 导数与方程、不等式 例 2 设函数 f ( x ) 定义在 (0 ， ) 上， f ( 1 ) 0 ，导函数 f ( x ) 1x， g ( x ) f ( x ) f ( x ) ( 1 ) 讨论 g ( x ) 与 g1 ( 2 ) 求 a 的取值范围，使得 g ( a ) g ( x ) 1x 0 成立 【解】 ( 1 ) 由题设易知 f ( x ) x ， g ( x ) x 1x， g1x x x ， 设 h ( x ) g ( x ) g1x 2 x x 1x， 则 h ( x ) x 1 2 当 x 1 时， h ( 1 ) 0 ，即 g ( x ) g1x， 当 x ( 0 , 1 ) (1 ， ) 时， h ( x ) 0 ， h ( 1 ) 0 ， h ( x ) 在 (0 ， ) 内单调递减， 当 0 x 1 时， h ( x ) h ( 1 ) 0 ，即 g ( x ) g1x； 当 x 1 时， h ( x ) h ( 1 ) 0 ，即 g ( x ) g1x. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 g ( x ) 的最小值为 1 ， 所以 g ( a ) g ( x ) 1x 0 成立 g ( a ) 1 1a， 即 ln a 1 ，从而得 0 a e. 【 题后感悟 】 对于类似本题中不等式证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 备选例题 (2010高考安徽卷 )设 数 f(x) 2x 2a， x R. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 a 1且 x0时， ex21. 例 【 解 】 (1)由 f(x) 2x 2a， x R知 f (x)2， x R. 令 f (x) 0，得 x f (x)，f(x)的变化情况如下表： x ( ， ) (， ) f (x) 0 f(x) 单调递减 2(1 a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是 ( ， )， 单调递增区间是 (， )， f(x)在 x 处取得极小值 ， 极小值为 f() 2 2a 2(1 a) (2)证明：设 g(x) 21， x R， 于是 g (x) 2x 2a， x R. 由 (1)知当 a 1时 ， g (x)取最小值为g () 2(1 a)0. 于是对任意 x R， 都有 g (x)0， 所以 g(x)在 于是当 a 1时 ， 对任意 x (0， )，都有 g(x)g(0) 而 g(0) 0， 从而对任意 x (0， )， 都有g(x)0. 即 210， 故 ex21. 变式训练 2 若 a 3， 则方程 1 0在 (0,2)上的实根个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 B.设 f(x) 1，则 f (x) 32x(3x 2a)， 由于 a 3， 则 在 (0,2)上 f(x) 0， y f(x)为减 函 数 ， 而 f(0) 1 0， f(2) 9 4a 0，则 方 程 1 0在 (0,2)上恰 有1个 实 根 ， 故 选 B. 导数在实际生活中的应用 例 3 (2011高考江苏卷 )请你设计一个包装盒，如图所示， 0 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B， C， ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E， 被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 FBx( (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(大，试问 (2)某厂商要求包装盒的容积 V(大，试问 求出此时包装盒的高与底面边长的比值 【解】 设包装盒的高为 h 底面边长为 a c m . 由已知得 a 2 x ， h 60 2 2 ( 3 0 x ) ，00 ； 当 x ( 2 0 , 3 0 ) 时， V 0 . 故 x 5 是 f ( x ) 的最小值点， 对应的最小值为 f ( 5 ) 6 5 80015 5 7 0. 当隔热层修建 5 c m 厚时，总费用达到最小值 70 万元 变式训练 3 某电视生产厂家有 A 、 B 两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放 A 、 p 、 q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元已知厂家把总价值为 10 万元的 A 、 且 A、 万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值 (精确到 考数据： 解：设 1 x 9)，农民得到的补贴为 10 x)万元， 由题意得： y 110( 1 0 x ) 25ln x 25ln x 110x 1. y 25 x110， 由 y 0 ，得 x 4. 当 x 1 , 4 ) 时， y 0 ， 当 x ( 4 , 9 时， y 0 ， 所以当 x 4 时， y 取最大值， y m a x 25l n 4 0 . 4 1 1 . 2 . 即厂家分别投放 A 、 B 两型号电视机价值为6 万元和 4 万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约为 1 . 2 万元 定积分 例 4 ( 1 ) 计算下列定积分： 12( 2 x 1) 0( s in x co s x ) ( 2 ) 由曲线 y x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积 【解】 ( 1 ) 12( 2 x 1) d x 12x 122 x d x 121 d x 1 1 x|21193. 0( s in x co s x) d x 0s in x d x 0c o s x d x ( c o s x )|0 s in x |0 2. ( 2 ) 由y x ，y x 2得其交点坐标为 ( )4 ， 2 . 因此 y x 与 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 04 x ( )x 2 04( )x x 2 d x 2322 x |40 23 8 12 16 2 4 163. 【 题后感悟 】 (1)利用微积分基本定理求定积分 ， 其关键是求出被积函数的原函数 ， 求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算 ， 因此应注意掌握一些常见函数的导 数 (2)求由不同曲线围成的图形的面积时，若被积函数的原函数难以找到，但被积函数具有明显的几何意义，可利用几何法求其面积 备选例题 02 s i n2 x2 d x - 11 1 x 2 d x _ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】02s x 412. 可利用面积求得- 111 x 2， 因此原式3 24. 【答案】 3 24 变式训练 4 先画出函数 y 2 x 0 x 0 x 1 1 1 x 3 的图象，再求这个函数在区间 2 , 3 上的定积分 解： 函数 y 2 x
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