七年级数学思维探究（14）不等式（组）的应用（含答案）

徐宝騄 （ 1910 ，浙江杭州人，中国著名的数理统计学家 1936 年徐宝騄 进入当时的数理统计研究中心伦敦大学学院学习数理统计， 1940 年回国任教 作为我国概率统计方面的学科带头人，在数理统计的许多领域，他都做出了杰出贡献， 版的专著介绍了对他的评价： “徐宝騄是 20 世纪中最渊博、富有创造性的统计学家之一 ” 14 不等式（组）的应用 解读课标 现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题是很难确定或不需确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的基本思想 不等式的应用主要表现在： （ 1） 求代数式的取值范围； （ 2） 作差或作商比较数的大小； （ 3） 求代数式的最值； （ 4） 列不等式（组）解决实际问题 问题解决 例 1 若 a 、 b 满足 23 5 7， 223s a b，则 s 的取值范围是 _ 试一试 用 s 的代数式表示 2a 、 b ，由 2 0a 、 0b 建立关于 s 的不等式组 例 2 1a 、 2a ， ， 2004a 都是正数，如果 1 2 2 0 0 3 2 3 2 0 0 4M a a a a a a ， 1 2 2 0 0 4 2 2 2 0 0 3N a a a a a a ， 那么 M 、 N 的大小关系是 （ ） A B C D 不确定的 试一试 作差比较 M 、 N 的大小，解题的关键是如何简化 M 、 N ，不妨换元 例 3 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了 “我当一次小交警 ”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序 若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后一个路口不足 8 人，但又不少于 4 人，这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？ 试一试 设共在 x 个交通路口安排值勤，则共派 4 78x 名学生值勤，解题的关键是，若每个路口安排 8人，则最后一个路口安排人数用怎样的不等式表示 例 4 某工厂生产 A 、 B 两种产品共 50 件，其生产成本与利润如下表： A 种产品 B 种产品 生产成本（万元 /件） 利润（万元 /件） 若 该厂计划投入资金不超过 40 万元，且希望获利超过 16万元，问：工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？ 试一试 设生产 A 种产品 x 件，建立 x 的不等式组，将问题转化为求 x 的整数解并讨论 例 5 已知 1a 、 2a 、 3a 、 4a 、 5a 、 6a 、 7a 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于 159，求其中最小数 1a 的最大值 分析与解 不妨设 1 2 3 7a a a a ，则 1 2 3 7 159a a a a ，解题 的 关键是怎样把多元等式转化为只含 1a 的不等式，这里要用到整数的如下性质：设 a 、 b 为整数，若 ，则 1 因 1a ， 2a ， 7a 为整数，故 121 ， 132 ， 143 ， 151 ， 165 ， 176 ，上 面不等武相加，得 17 21 159a ，1 5197a ，故 1a 的最大值是 19 放缩法 放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的 放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化 “相等 ”为不等 以 “不等 ”求 “相等 ”的策略和思想 例 6 将若干由 1 开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为 4537，问删去的那个数是多少？ 分析 设所写的数为 1 ， 2 ， ， n ，删去其中的 1a a n ，则余下的数的平均数为1 2 45317 ，由 1 ，建立 n 的不等式组 解 1 ， 1 2 3 1 2 3 11 2 31 1 1n n n n ，即 111 2 1422531 7 1n n n ，解得 111 0 5 1 0 777n ， 106n 或 107 当 106n 时， 46a ；当107n 时， a 为非正数，舍去 数学冲浪 1 在关于 1x ， 2x ， 3x 的方程组 1 2 12 3 23 1 3x x ax x ax x a 中，已知 1 2 3a a a，那么将 1x ， 2x ， 3x 从大到小排起来应该是 _ 2 若方程组 24 5 6 3x y mx y m 的解 x ， y 都是正数，则 m 的取值范围是 _ 3 一 辆公共汽车上有 54a 名乘客，到某一车站有 92a 名乘客下车，则车上原有 _名乘客 4 小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为 150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于 （ ） A 49 千克 B 50 千克 C 24 千克 D 25 千克 5 几位同学拍一张合影作留念，已知冲一张底片需要 ，洗一张相片需要 ，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 ，那么参加合影的同学人数 （ ） A 至多 6 人 B 至少 6 人 C 至多 5 人 D 至少 5 人 6 某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3 千米都需付 7 元车费），超过 3 千米以后，每增加 1 千米，加收 （不足 1 千米按 1 千米计） 某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是 x 千米，那么 x 的最大值是 （ ） A 11 B 8 C 7 D 5 7 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12个苹果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友未分到 8 个苹果 求这一箱苹果的个数与小朋友的人数 8 “节能环保，低碳生活 ”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用 元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40 台，三种家电的进价和售价如下表所示： 种类 价格 进价（元 /台） 售价（元 /台） 电视机 5000 5500 洗衣机 2000 2160 空调 2400 2700 （ 1） 在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的 3 倍，请问商场有哪几种进货方案？ （ 2） 在 “2012 年消费促进月 ”促销活动 期间，商家针对这三种节能型产品推出 “现金每购满 1000 元送 50元家电消费券一张、多买多送 ”的活动 在 （ 1） 的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？ 9 温州享有 “中国笔都 ”之称，其产品畅销全球，某制笔企 业欲将 n 件产品运往 A ， B ， C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍，各地的运费如图所示 设安排 x 件产品运往 A 地 B 地温州30 元 /件8 元 /件25 元 /件A 地C 地（ 1） 当 200n 时， 根据信息填表： A 地 B 地 C 地 合计 产品件数（件） x 2x 200 运费（元） 30x 若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元，则有哪几种运输方案？ （ 2）若总运费为 5800 元，求 n 的最小值 思维方法天地 10 100名少年运动员胸前的号码分别是 1 ， 2 ， 3 ， ， 99 ， 100 选出其中的 k 名运动员，使得他们的号码数之和等于 2008 ，那么 k 的最大值是 _ 11 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从 “输入一个值 x ”到 “结果是否 487 ”为一次操作，如果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是 _ 12 a 、 b 、 c 、 d 是正整数，且 20 ， 24 ， 22 ，设 a b c d 的 最大值为 M ，最小值为 N ，则 _ 13 为了保护环境，某企业决定购买 10台污水处理设备 现有 A 、 B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表 经计算，该企业购买设备的资金不高于 105万元，请你设计，该企业购买方案有 _种 A 型 B 型 价格（万元 /台） 12 10 处理污水量（吨 /月） 240 200 年消耗费（万元 /台） 1 1 14 要使方程组 322 3 2x y 的解是一对异号的数，则 a 的取值范围是 （ ） A 4 33 aB 43aC 3a D 43a或 3a 15 已知 a ， b ， c ， d 都是整数，且 2， 3， 4， 50d ，那么 a 的最大值是 （ ） A 1157 B 1167 C 1191 D 1199 16 甲从一个鱼摊上买了三条 鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼， 平均每条 6 元，后来他又以每条2的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 （ ） A B C D 与 a 和 b 的太小关系无关 17 若 2 ，且 2，则 （ ） A 2B C D 918 有五个数，每两个数的和分别为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 6 ， 5 ， 4 （未按顺序排列），求五个数中最大数的值 19 问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要 比较 两个数或代数式的大小，而解决 问题的策略一般要进行一定的转化， 其中 “作差法 ”就是常用方法之一 所谓 “作差法 ”就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式 M 、 N 的大小，只要作出它们 的差 ，若 0，则 ；若 0，则 ； 若 0，则 问题解决 如图 ，把边长为 a b a b的大正方形分割成两个边长分别是 a 、 b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和 M 与两个矩形面积之和 N 的大小 停否是 487：由图可知， 22M a b， 2N ， 22 22M N a b a b a b ， 2 0 0 ， 类比应用 （ 1） 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为2 /千克、 2 /千克（ a ， b 是正数，且 ），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低 （ 2） 试比较图 、图 两个矩形的周长 1M 、 1N 的大小 联系拓展 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子 “打包 ”，箱子的尺寸如图 所示 0 ，售货员分别可按图 、图 、图 三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由 应用探究乐园 20 已知 n ， k 皆为自然数，且 1 ，若 1 02 131 ，及 n k a ，求 a 的值 21 某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售） 商品房售价方案如下：第八层售价为 3000 元 /平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加 40 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少 20 元 已知商品房每套面积均为 2120m ，开发商为购买者制定了两种购房方案 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的 30% ），再办理分期付款（即贷款） 方案二：若购买者一次付清所有房款，则享受 8% 的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为 a 元） （ 1） 请写出每平方米售价 y （ 元 /平方米 ） 与楼层 x （ 2 23x ， x 是正整数）之间的关系式 （ 2） 小张已筹到 120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （ 3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为 此方案还不如不免收物业管理费而直接享受 9%的优惠划算 你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法 图 ba b+ca+3 图 图 14 不等式（组）的应用 问题解决 例 1 21 1453s 2 2 1 5 019 1 4 3 019 例 2 A 设 1 2 2 0 0 3a a a a ， 2 3 2 0 0 3a a a b ，则 20042 2004004 0M a a b a a bN a b a 例 3 由题意得 4 7 8 4 8 1 8 ， 19 5 ， 20x ，共有值勤学生 78 4 20 158 （人），共在 20 个交通路口值勤 例 4 x 正整数解为 17， 18， 19，即共有三种生产方案，具体方案略；最大利润为 元 数学冲浪 1 213x x x 2 5 72 m3 6 人或 11人或 16人 提示： 5 4 0a 且 9 2 0a 、 5 4 9 2 4 D 5 B 6 B 7 37 个或 42 个， 5 人或 6 人 8 （ 1）共有三种进货方案； （ 2）最多送出消费券 130张（ 130600 130100 ） 9 （ 1） 略 有三种运输方案； （ 2） n 的最小值为 221 10 选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由 1 n 的连续 n 个自然数之和不超过 2008 的n 组，因 11 2 3 2 0 0 82 ，得 1 4 0 1 6 ， 6 2 6 3 3 9 0 6 4 0 1 6 ，6 3 6 4 4 0 3 2 4 0 1 6 ，于是取 62n 即最多能选出 62 人 11 7 19x 前四次操作的结果分别为 32x ， 3 3 2 2 9 8 ， 3 9 8 2 2 7 2 6 ， 3 2 7 2 6 2 8 1 8 0 由已知，得 2 7 2 6 4 8 78 1 8 0 4 8 7 , ，解得 7 19x 容易验证，当 7 19x 时， 3 2 487x ， 9 8 487x 故 x 的取值范围是 7 19x 12 36 20， 24， 22，由 a ， b ， c ， d 为正整数得 1 19a ，原式 66 2a 13 3 设购买 x 台 A 种型号的设备， y 台 B 种型号的设备， 则 101 2 1 0 1 0 5 14 D 345， 625 ， 3 4 6 2 0 15 B 21 ， 31 ， 41 ， 50 1 49d 16 A 5 3 2 022ab ，得 17 C 0a ， 0b 或 0a ， 0b ，从而 12 12 2 18 设 a b c d e ，将和数从小到大重新排列为 2 ， 3 ， 4 ， 4 ， 5 ， 5 ， 6 ， 6 ， 7 ， 8 则2378, 又 1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 8 1 2 . 54a b c d e ，从而 19 （ 1） 22 022b a ba b a b ， 22a b ，即小丽所购商品的平均价格比小颖的高 （ 2）图 矩形的周长大于图 矩形的周长 联系拓展 图 的捆绑方法用绳最长，图 的最短