江苏省扬州市2017届高三考前调研测试(5月)数学试卷含答案

扬州市 2017 届高三考前调研测试 题 （全卷满分 160分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1 已知 0 , 1 , 2 , 2 , 4，则 2 若复数 z 满足 (2 ) 1i z i ，则复数 z 在复平面上对应的点在第 象限 . 3 随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100 ，若该校的学生总人数为 3000，则成绩不超过 60 分的学生人数大约为 . 4 在区间 0,5 内任取一个实数 m , 则满足 34m的概率为 . 5 如 图是一个算法 流程图，则输出 S 的值 为 6 函数 1( ) ( ) 42 的定义域为 . 7 已知双曲线 222 1 ( 0 )20xy 的一条渐近线方程为 2，则该双曲线的焦距为 . s 1 S S k 开始 输出 S 结束 Y N k5 第 5 题 k 1 k k+1 第 3 题 8 已知 1s i n , ( 0 , )32，则 . 9 已知圆锥的侧面展开图是半径为 4，圆心角等于2的扇形，则这个圆锥的体积是 10 已知圆 22: 2 2 2 0 (C x y a x y a 为常数）与直线 相交于 ,3，则实数 a . 11、设等差数列 n 项和为5 3a ，10 40S ， 则 12 若动直线 (x t t R） 与函数 2( ) c o s ( )4f x x， ( ) 3 s i n ( ) c o s ( )44g x x x 的图象分别交于 ,线段 度的最大值为 . 13 在 中， D 、 E 分别是 中点， M 是直线 的动点 的面积为 2，则 2 的最小值为 . 14 已知函数 2 2 1 , ( 0 , 1 ()1 , ( 1 , )k x x x x 有两个不相等的零点12,1211的 最大值为 . 二、解答题 （ 本大题共 6小题， 共 90分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15（本小 题 满分 14 分） 在 中， 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 2 2 22a c a c b ， 10. 求 值； 若 2a ，求 的面积 . 16（本小题 满分 14 分） 如图，在四棱锥 ，底面 梯形， O， 锐角 在平面 底面 Q 在侧棱 ，且 求证： 平面 Q A B C D P O 17 （本小题 满分 14 分） 如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 曲线 别是顶点在路面 A 、 E 的抛物线的一部分，曲线 圆弧，已知它们在接点 B 、 D 处的切线相同，若桥的最高点 C 到水 平面的距离 6H 米，圆弧的弓高 1h 米，圆弧所对的弦长 10 . （ 1）求弧 在圆的半径； （ 2）求桥底 长 . 18（本小题 满分 16 分） 如图，已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左顶点 ( 2,0)A ，且点 3( 1, )2在椭圆上，1F、2焦点。过点 A 作斜率为 ( 0)的直线交椭圆 E 于另一点 B ，直线2 于点 C . （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）若12等腰三角形，求点 B 的坐标； 2 B x y A C O （ 3）若1B，求 k 的值 . 19（本小题 满分 16 分） 已知函数 2( ) l n ( 3 + 2 )f x x a x x ，其中 a 为参数 . （ 1）当 0a 时，求 函数 ()x 处的切线方程； （ 2）讨论函数 ()说明理由； （ 3）若对任意 1, )x ， ( ) 0恒 成立，求实数 a 的取值范围 . 20（本小题 满分 16 分） 已知各项不为零的数列 n 项和为1 1a ，1n n nS pa a ()n N， pR （ 1）若1 2 3,a a 实数 p 的值； （ 2）若1 2 3,a a 求数列 在插入 n 个正数，共同组成公比为不等式 ( 1 )( )n n 对任意的 n N 恒成立，求实数 a 的最大值 扬州市 2017 届高三考前调研测试 数学 （附加题 共 40 分） 21.选修 4阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知 矩阵 2201 A， 设曲线 C： 22( ) 1x y y 在 矩阵 A 对应的变换 下得到曲线 C ，求 C 的方程 . 22.选修 4标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在 极坐标系 中 ， 直线 l 和 圆 坐标 方程为 c o s ( )6 a(aR )和 4 l 与圆 C 有 且只有一个 公共点， 求 a 的 值 . 23.(本小题满分 10 分 ) 某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和 校园舞蹈赏析 两场讲座 、 B 两 学习小组 各有 5 位同学， 每位同学在两场讲座任意选听一场 组1 人选 听 生活趣味数学 ，其余 4 人选 听 校园舞蹈赏析 ； B 组 2 人选 听 生活趣味数学 ，其余 3 人选 听 校园舞蹈赏析 . 若从 此 10 人中任意选出 3 人， 求 选出的 3 人 中恰有 2 人 选 听 校园舞蹈赏析 的概率； 若 从 A、 B 两 组 中各任选 2 人 ， 设 X 为选出的 4 人中选 听 生活趣味数学 的人数 ， 求 ) 24. (本小题满分 10 分 ) 在数列 c o s 32n （ n N ） 试将1示为 若 数列 1!（ n N ），猜想并证明你的结论 . 扬州市 2017 届高三考前调研测试 数 学 试 题 参 考 答 案 2017 5 一、填空题 1 0,1,2,4 2 一 3 900 4 155 120 6 ,2 7 10 8 4 279 153 10 5 11 32 12 3213 23 14 9415. 【解析】 由 2 2 22a c a c b 得 2 2 2 2c o c bB ， 又 (0, )B ，所以 34B ， 3 分 因为 10， 且 B 为钝角， 所以 3 1 0co ， 6 分 所以 3 1 0 2 3 1 0 2 5s i n s i n ( ) ( )4 1 0 2 1 0 2 5 . 8 分 由正弦定理得 =以52s i n 5= 2 2s i n 1010， 11 分 所以 的面积 1 1 2= s i n 2 2 2 22 2 2a c B . 14 分 16. 【解析】 如图，连接 因为 2 所以 2 所以 3 分 又 平面 平面 所以 平面 6 分 在 平面 过 P 作 D 于 H， 因为 侧面 底面 面 面D， 平面 以 平面 9 分 又 平面 以 且 平面 的两条相交直线，所以 平面 12 分 又 平面 以 14分 17. 解：（ 1）设弧 在圆的半径为 0 ） ,由题意得 2 2 2= 5 ( 1), 即弧 在圆的半径为 13 米。 4 分 （ 2）以线段 在直线为 x 轴，线段 中垂线为 y 轴，建立如图的平面直角坐标系。 6H 米， 10米，弓高 1h 米， ( 5,5)B ， (5,5)D ， (0,6)C ，设 在圆的方程为 2 2 2( ) ( 0 )x y b r r 则 222 2 2( 6 )5 ( 5 ) 713 弧 方程为 22( 7 ) 1 6 9 ( 5 6 )x y y 6 分 设曲线 在抛物线的方程为： 2()y a x m， 8 分 点 ( 5,5)B 在曲线 25 (5 ) 10分 又弧 曲线段 接点 B 处的切线相同 ,且 弧 点 B 处的切线的斜率为 512， 由 2()y a x m得 2 ( )y a x m ， 52 ( 5 )12 ， 52 ( 5 ) 12 12 分 由 得 29m ， ( 29, 0)A ， (29,0)E 桥底 长为 58米 13 分 答：（ 1） 弧 在圆的半径为 13 米； （ 2）桥底 长 58米。 （答和单位各 1分） 14 分 18. 解：（ 1）由题意得2 2 22219144aa b ，解得231 椭圆 E 的标准方程： 22143 4 分 （ 2）12等腰三角形，且 0k 点 C 在 x 轴 下方 1 若12F C F C，则 (0, 3)C ； 2 若1 2 2F F 则2 2 (0, 3 )C； 3 若1 1 2F C F F，则1 2 (0, 3 )C (0, 3 )C 直线 方程 3 ( 1)，由 223 ( 1)143 得 03或85335 8 3 3( , )55B （不讨论扣 2 分） 9分 （ 3）设直线 方程 : ( 2 )y k x， 由 22( 2)143y k 得 2 2 2 2( 3 4 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k 221 6 1 22 34A B x x k 228634k 212( 2 ) 34BB ky k x k 2228 6 1 2,3 4 3 4 11 分 若 1=2k ，则 32B（ 1， ）， 3(1,- )2C，,1(0)F ， 1 34 ， 1 垂直； 12k， 2(1,0)F ，2 2414BF kk k ，11k ， 直线 2方程2 24: ( 1 )14BF kl y ，直线 1方程：11: ( 1 )y 由 24 ( 1 )141 ( 1 ) 解得 28182( 8 1, 8 )C k k 13 分 又点 C 在椭圆上得 2 2 2( 8 1 ) ( 8 ) 143，即 22( 2 4 1 ) ( 8 9 ) 0 ，即 2 124k 0k ， 612k 16分 19. 解析： （ 1） 1 3分 （ 2） 2( ) l n ( 3 + 2 )f x x a x x ，定义域为 (0, ) 21 2 3 1( ) ( 2 3 ) a x a xf x a ，设 2( ) 2 3 1g x a x a x ， 当 0a 时， ( ) 1，故 ( ) 0 ， 所以 ()0, ) 上 为增函数，所以无极值点 . 4分 当 0a 时， 298 ， 若 809a时 0 ， ( ) 0， 故 ( ) 0 ，故 ()0, ) 上递增，所以无极值点 . 若 89a时 0 ，设 ( ) 0的两个不相等的实数根为12,12 且1232，而 (0) 1 0g ，则1230 4 ， 所以当1( 0 , ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )x x g x f x f x 单调递增； 当12( , ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )x x x g x f x f x 单调递减； 当2( , ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )x x g x f x f x 单调递增 . 所以此时函数 () 7分 当 0a 时 0 ，设 ( ) 0的两个不相等的实数根为12,12 但 (0) 1 0g ，所以120， 所以当2( 0 , ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )x x g x f x f x 单调递増； 当2( , ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )x x g x f x f x 单调递减 . 所以此 时函数 () 综上得： 当 0a 时 () 当 809a时 () 当 89a时， () 9分 （ 3）方法一： 当 809a时，由（ 2）知 ()1, ) 上 递增， 所以 ( ) (1) 0f x f，符合题意； 10分 当 8 19 a时，2(1 ) 1 0 , 1g a x ， ()1, ) 上 递增， 所以 ( ) (1) 0f x f， 符合题意； 12 分 当 1a 时，2( 1 ) 1 0 , 1g a x ，所以函数 ()2(1, )， 所以( ) (1) 0f x f， 不符合题意； 14 分 当 0a 时，由（ 1）知 ， 于是 22( ) l n ( 3 + 2 ) 1 ( 3 + 2 )f x x a x x x a x x 当 12时， 21 ( 3 + 2 ) 0x a x x ，此时 ( )，不符合题意 . 综上所述， a 的取值范围是 01a. 16分 方法二： 2( ) 2 3 1g x a x a x ，注意到对称轴为 34x， (1) 1 ， 当 01a时，可得 ( ) 0， 故 ()1, ) 上 递增， 所以 ( ) (1) 0f x f，符合题意； 当 1a 时，2( 1 ) 1 0 , 1g a x ，所以函数 ()2(1, ) 此时( ) (1) 0f x f， 不符合题意； 当 0a 时，由（ 1）知 ， 于是 22( ) l n ( 3 + 2 ) 1 ( 3 + 2 )f x x a x x x a x x 当 12时， 21 ( 3 + 2 ) 0x a x x ，此时 ( )，不符合题意 . 综上所述， a 的取值范围是 01a. 16分 20. 解 ：（ 1）当 1n 时，1 1 2a pa a，2 1a p，当 2n 时，1 2 2 3a a pa a，123211p a p ， 由 22 1 3a 2111 ，即 2 10 ，解得： 152p 。 3分 （ 2）由2 1 32a a a得 12p， 故2 2a ，3 3a， 所以112n n nS a a ， 当 2n 时，1 1 11122n n n n n n S a a a a ， 因为 0，所以112 6分 故数列 为首项 2 为公差的等差数列， 其通项公式 11 ( 1 ) 22n ， 7分 同理，数列 为首项 2 为公差的等差数列， 其通项公式是 2 ( 1 ) 22n 8分 所以数列 9分 （ 3） 在 n 与 1n 间插入 n 个正数，组成公比为有 11 ， 即 111()nn nq n ， 10分 所以 ( 1 )( )n n ，即 1() ，两边取对数得 1( ) l n ( ) 1， 分离参数得 11 )恒成立 11分 令 1n ， (1,2x ，则 11a ， (1,2x ， 12分 令 11()fx ， (1,2x ，则2222( 1 )( l n )( ) ( l n ) ( 1 ) ， 下证 1ln ， (1,2x ， 令 1g ( ) 2 l n , ( 1 , )x x x ， 则 22( 1 )g ( ) 0xx x ，所以 g( ) 0x ， 即 12 ln ，用 x 替代 x 可得 1ln ， (1,2x ， 14分 所以2222( 1 )( l n )( ) 0( l n ) ( 1 )，所以 ()1,2 上递减， 所以 1( 2 ) 1l n 2 16分 扬州市 2017 届高三考前调研测试 数学 （附加题） 参考答案 21.【解析】 设00( , )P x 上任意一点 ，点 P 在 矩阵 A 对应的变换 下得到点 ( , )Q x y ，则 ： 002201 ，即 00022x x ， 解 得002， 5 分 (注 ：用逆矩阵的方式求解同样给分 ) 又 220 0 0( ) 4x y y ， 22( ) 12x y y y ， 即 2 2 14x y， 曲线 C 的方程为2214. 10 分 22. 【解析】 将 直线 l 的 极坐标 方程 化为直角坐标方程得 3 2 0x y a ； 2 分 将圆 C 的 极坐标 方程 化为直角坐标方程得 2224 (). 4 分 因为 直线与圆有 且只有一个 公共点 ，所以 ，即 22 =22 |8 分 解得 =3a 或=1a . 10 分 23.【解析】 设“ 选出的 3 人 中恰 2 人 选 听 校园舞蹈赏析 ”为事件 M ， 则 217331021()40， 答： 选出的 3 人 中恰 2 人 选 听 校园舞蹈赏析 的概率 为 2140. 3 分 X 可能的取值为 0,