华中科大疲劳断裂课后习题答案全解全析.pdf

习题习题习题习题和答案和答案和答案和答案 第一章第一章第一章第一章 1-1 答：答：答：答：根据 ASTM E20672 中所作的定义有：在某点或者某些点承受扰动应力，且在足够多的循 环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部的、永久结构变化的发展过程，称 为疲劳。 根据上述定义，疲劳具有下述特征： 1) 只有在承受扰动应力作用的条件下，疲劳才会发生。 2) 疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。静载下的破坏，取决于结构整体；疲劳破坏 则由应力或应变较高的局部开始，形成损伤并逐渐积累，导致破坏发生。 3) 疲劳破坏是在足够多次的扰动载荷作用之后，形成裂纹或者完全断裂。 4) 疲劳是一个发展过程。疲劳裂纹萌生和扩展，是这一发展过程中不断形成的损伤积累的 结果。最后的断裂，标志着疲劳过程的终结。 1-2 答：答：答：答：典型的疲劳破坏断口的特征：有裂纹源、疲劳裂纹扩展区和最后断裂区三部分；裂纹扩展 区断面较光滑，通常有“海带条带”和/或腐蚀痕迹；裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处； 无明显的塑性变形。但是静载破坏的断口是：粗糙、新鲜、无表面磨蚀及腐蚀痕迹。 疲劳破坏断口，即使是延性材料，也没有明显的塑性变形。但是静载破坏表面的塑性变形 很明显。 1-3 答：答：答：答：在失效分析过程中，疲劳断口可以提供很多的信息：例如，首先观察断口的宏观形貌，由 是否存在着裂纹源、裂纹扩展区及瞬断区等三个特征区域，判断是否为疲劳破坏；若为疲劳破 坏，则可由裂纹扩展区的大小，判断破坏时的裂纹最大尺寸；进而可利用断裂力学方法，由构 件几何及最大裂纹尺寸估计破坏载荷，判断破坏是否在正常工作载荷状态下发生；还可以观察 裂纹起源的位置在何处。 再利用金相显微镜或低倍电子显微镜，可对裂纹源进行进一步观察和确认，并且判断是否 因为材料缺陷所引起，缺陷的类型和大小若何。 由宏观“海滩条带”和微观“疲劳条纹”数据，结合构件使用载荷谱分析，还可能估计裂纹扩 展速率。 疲劳与断裂课后习题全解 -1- 1-4 答：答：答：答：根据疲劳问题的特点，疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。提高表面的光洁度，即 可以减少结构整体的应力集中的可能性。这样就可以减少高应力和高应变的区域。 在循环应力过程中引入残余压应力，可以降低实际的循环应力水平，从而降低 m s，这样可 以达到提高疲劳寿命的目的。 1-5 解： maxmin 20050150SSS= MPa， 75 2 a S S = MPa， maxmin 20050 125 22 m SS S + = MPa， min max 50 0.25 200 S R S =。 1-6 解：2200 a SS= MPa， maxmin 200SSS= = MPa（a） minmax /0.2RSS=（b） 结合(a)、(b)两式，计算得到： max 250S= MPa， min 50S= MPa， 则： maxmin ()/2(25050)/2150 m SSS=+=+= MPa。 疲劳与断裂课后习题全解 -2- 第二章第二章第二章第二章 2-1 解：解：解：解：由题意可知：20fHZ=，要施加 6 10次循环需要： 6 10 13.889 20 3600 t = 小时。 2-2 解：由图中可以得到： a） max 380S= MPa， min 80S= MPa， 160 a S = MPa，230 m S = MPa。 b） max 340S= MPa， min 130S= MPa， 230 a S = MPa，100 m S = Mpa。 2-3 解：解：解：解：由7075T6铝合金的等疲劳寿命图为： 根据图形可以得到R=0的时候（Sa，lgN）的四个坐标（133.3，7） ， （167，6） ， （200，5） ， （255.5，4） ；在R=1有（Sa，lgN）为（133，7） ， （166，6） ， （233.3，5） ， （355，4）四个点。 根据最小二乘法得到的拟合曲线如下图。 R R R R -.6-.4-..81.0 600 400 200 -400-2000200400600 200 400 600 200 400 S /MPa mS /MPa a S /MPa min S /MPa max S /MPa max 6 0 0 4 0 0 2 0 0 N = 1 0 5 N = 1 0 6 N = 1 0 4 N = 1 0 7 图2.9 7075-T6 铝合金等寿命疲劳图 疲劳与断裂课后习题全解 -3- 23456789 100 150 200 250 300 350 400 LgN Sa(MPa) Sa(R=0)= -39.96LgN+408.73 Sa(R=-1)= -73.24LgN+624.72 R=0原 原 原 原 R=-1原 原 原 原 R=0拟 拟 R=-1拟 拟 2-4 解：计算出各lgS和lgN，列于下表： A 430 u S = MPa B 715 u S = MPa C 1260 u S = MPa lg a S lg f N lg a S lg f N lg a S lg f N 2.35 4.65 2.76 4.64 2.89 4.38 2.33 5.38 2.72 4.93 2.87 4.49 2.29 5.90 2.70 5.15 2.85 4.65 2.26 6.18 2.66 5.80 2.84 4.94 2.25 6.43 2.64 6.28 2.82 5.18 2.23 6.89 2.62 6.46 2.81 8 2.22 7.41 2.61 6.87 假设： 3 10 0.9 u SS=， 6 10 0.5 u SS=， SN曲线表达式为： m SNC=i （1） 对（1）式两边取对数有： 11 lglglgSCN mm = （2） 结合上面的式子，可以得到： 3/lg(0.9/0.5)11.8m= 疲劳与断裂课后习题全解 -4- 11.83 (0.9)10 u CS= 或者： 11.86 (0.5)10 u CS= （3） 对于A组情况：430 u S = MPa 则有： 11.8311.8333 (0.9)10(0.9 430)103.4276 10 u CS= 代入（2）式，得： lg2.840.08lgSN= （a） 对于B组情况：715 u S = MPa 则有： 11.8311.8336 (0.9)10(0.9 715)101.383 10 u CS= 代入（2）式，得： lg3.060.08lgSN= （b） 对于C组情况：1260 u S = MPa 则有： 11.8311.8339 (0.9)10(0.9 1260)101.108 10 u CS= 代入（2）式，得： lg3.31 0.08lgSN= （c） 将a、b、c三式在坐标纸上标出，见下图。 2-5 解：由上表得： 1 420S= MPa 已知： 疲劳与断裂课后习题全解 -5- maxmin 2 m SS S + =， maxmin 2 a SS S = 对上表进行数据处理，求得各自得 1 / a SS以及/ mu SS得： 1 / a SS 1 1.02 0.94 0.97 0.80 0.59 0.42 / mu SS 0 0.06 0.10 0.20 0.39 0.52 0.62 将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出Goodman曲线。 2-6 解：解：解：解： Miner理论：构件在应力水平Si下作用ni次循环下的损伤为Di=ni/Ni。若在k个应力水平 Si作用下，各经受ni次循环，则可定义其总损伤总损伤总损伤总损伤为： DDnN i k ii = 1 （i=1,2,k，) 破坏准则为： DnN ii = 1 这就是Miner 线性累积损伤理论。其中，ni是在Si作用下的循环次数，由载荷谱给出；Ni是在 Si作用下循环到破坏的寿命，由SN曲线确定。 相对Miner 线性累积损伤理论：根据过去的使用经验或试验，已知某构件在其使用载荷谱 下的寿命，在要预测另一类似构件在相似谱作用下的疲劳寿命时，不再假定其损伤和为1，而是 将 Miner累积损伤式作为一种传递函数。 相对Miner理论的实质是取消损伤和 D=1的假定， 由实验或过去的经验确定 Q， 并由此估 算寿命。 Miner 线性累积损伤理论主要解决在不同的实际载荷谱条件下判断构件寿命的问题。 疲劳与断裂课后习题全解 -6- 2-7 解：解：解：解：简化雨流计数方法如下： a) 由随机载荷谱中选取适于雨流计数的、最大峰或谷处起止的典型段，作为计数典型段 b) 将谱历程曲线旋转90度放置。将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或谷处开始 往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴反向，继续流至端点，得到一个雨流的路径。 c) 记下雨滴流过的最大峰、谷值，作为一个循环。确定循环参量、载荷变程和平均载荷。 d) 从载荷历程中删除雨滴流过的部分，对各剩余历程段，重复上述雨流计数，直至再无剩余 历程为止。 将上述雨流计数的结果列入一个包含循环、变程和均值的表中，确定循环参数。载荷如果 是应力，则表中所给出的变程是S，应力幅则为Sa=S/2，平均应力Sm即表中均值。雨流计数 是二参数计数。有了上述二个参数，循环就完全确定了。与其他计数法相比，简化雨流计数法 的另一优点是，计数的结果均为全循环。典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可。 雨流计数法得到的是一个载荷谱，这和现实之中的载荷很相近，并且最后可以用Miner 线 性累积损伤理论来分析计算。 2-8 解：解：解：解：1)由题目条件知工作的循环应力幅和平均应力： maxmin ()(52535) 280MPa 22 a SS S + = maxmin ()(52535) 245MPa 22 m SS S + = 2)估计对称循环下的基本SN曲线： 由(2-7)式，弯曲循环应力作用时，可估计疲劳极限为： () 0.5350MPa f tensionu SS= 若基本SN曲线用幂函数式 SmN=C 表达，利用 6 10 0.9 u SS= 和 3 10 0.5 u SS= 式之假设，则由 下式有： 3 11.752 0.9 lg() 0.5 m = ； 611.752635 (0.5)10(0.5 700)107.905 10 m u CS= 3)循环应力水平等寿命转换 为了利用基本SN曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力水平等寿命等寿命等寿命等寿命地转换转换转换转换为对 称循环 m (1,0)RS= =下的应力水平 (1)a R S = ，由Goodman方程有： 疲劳与断裂课后习题全解 -7- m (1) 1 a a Ru SS SS = += 可解出： (1) 430.77MPa a R S = = 4)估计构件寿命 对称循环 (1)m (430.77MPa,0) a R SS = =条件下的寿命，可由基本SN曲线得到，即 35 11.752 7.905 10 87146 430.77 m C N S =次 由于工作循环应力水平(Sa=280，Sm=245)与转换后的对称循环(Sa=430.77，Sm=0)是等寿命 的，故可估计构件寿命为N=87146 次循环。 2-9 解：根据已知得SN曲线得到不同 max S下的寿命，见下表： maxi S/MPa 500 400 300 200 工作循环 i N/ 6 10次 0.232 0.453 1.074 3.625 则： a）根据： i i n D N = 得：/ i i n D N = 0.010.030.10.5 1/()2.94 0.2320.4531.0743.625 =+= b）由相对Miner理论可得： () 2.94 5 () i B i i i n N n N = 又因为 313 max 2.9 10ConstSN = 上式可写成： 3 max 3 max 2.94 5 S S = 得： maxmax 0.838419SS=MPa 疲劳与断裂课后习题全解 -8- 2-10 解：计数结果如下。 循环 变程 均值 ANA 10 0 BCB 2 3 DGD 5 1.5 HKH 5 0.5 LML 3 -2.5 EFE 1 1.5 IJI 2 1 疲劳与断裂课后习题全解 -9- 第三章第三章第三章第三章 3-1 解：解：解：解：制作正态概率坐标纸，由书上提示的方法可以作出，如图： 3-2 解：解：解：解：制作威布尔概率纸： 3-3 解：解：解：解：答： （1）由于事物间的联系，在数学上通常以变量之间的关系来描述。这种关系一般可分 为二类： 确定性关系对于变量X的每一确定的值，变量Y都有可以预测的一个或几个确定的值 与之对应，则称变量Y与X间有确定性关系。这类关系常常可用确定性函数关系表达。 相关关系变量X取某定值时，变量Y并无确定的值与之对应，与之对应的是某唯一确 定的概率分布及其特征数，则称变量 Y与X之间有相关关系。 x u 0 3 2 1 -1 -2 -3 p 100 0.01 0.1 1 50 10 30 70 90 99 99.9 图3.5 正态概率纸的制作 .1.512510 0.9 0.5 0.1 F(N)lglg1-F(N)-1 0 -0.5 -1.0 -1.5 图3.6 威布尔概率纸及其应用 -2.0 0.05 0.02 N-N0 (10 ) 6 0.632 例A例B A B B B B BBBB 疲劳与断裂课后习题全解 -10- （2）线性相关的关系，可以通过线性相关系数 r来描述和检验。相关系数r定义为： rBxXy Y ii = () /() _ /22 1 2 若令： LxX xxn xxii = ( )() / _ 222 LyY yyn yyii = ( )() / _ 222 LxXy Yx yxyn xyiiii = ( )()/ _ 因此： BLL xyxx =/ ，rLL LB LL xyxxyyxxyy =/ / 1 2 注意到Q、Lyy均为正数，故相关系数 r 1。 3-4 解：解：解：解： （1）随机变量X、Y间的回归方程中的待定回归系数，可由最小二乘法确定。 令由回归方程给出的估计量y i与样本实际观测值yi之偏差平方和 Qyy ABxy iiii i n =+ = ()() 22 1 为最小，由此确定回归系数的方法，称为最小二乘法。偏差平方和Q是回归系数A、B的函数， Q最小的条件为： Q A = 0 Q B = 0 对于二元线性回归方程，上述二个条件给出确定回归系数的正规方程组为： 2 ii iiii nABxy AxBxx y += += 求解上述线性方程组，得到： 222 2 22 ()() ()() () iiiiii iii iiiii ii nx yxyxXyY B nxxxX xyxx y AYBX nxx = = 式中，n为样本数据点数，X _ 、Y _ 分别为变量X、Y的样本均值，且 X _ =xi/n ; Y _ =yi/n 上式给出了确定回归系数A、B的表达式，且指出均值点（X _ 、Y _ ）落在回归直线上。上述的这 疲劳与断裂课后习题全解 -11- 种方法即叫做最小二乘法。 （2） 由 r Q Lyy 2 1= / 注意到Q、Lyy均为正数，故相关系数 r 1。 （3）相关系数的意义是：相关系数 r之绝对值的大小，反映了变量X、Y间相关关系的密 切程度。换言之，只有 r 足够大，才能用回归方程描述变量间的相关关系；若 r 很小，变量 间完全不相关，则回归方程就毫无意义了。 3-5 解： i N 4 (10 ) ( ) 1 i F N = n+ 1 6.4 0.111 2 6.7 0.222 3 6.8 0.333 4 9.2 0.444 5 9.3 0.556 6 10.3 0.667 7 12.1 0.778 8 13.5 0.889 将数据标示于坐标纸上，可见基本服从Weibull分布。分布参数估计： 0 50N =千周 由图中查出于破坏概率63.2对应的 4 0 5 10 a NN= 周， 所以，特征寿命参数为： 4 10 10 a N =周=100千周 F N( )=90%时，有：0F N= -1 90 lglg1- ()，则： 90009000 lglg0.3622 lg()lg()lg()lg() aa F Ne b NNNNNNNN = -1 90 lglg1- () = （1） 由图中直线可查得： 4 900 8.6 10NN=， 4 0 5 10 a NN= 代入（1）式，得：b1.54 由 0 0 ()1 exp1 () b a NN F N NN = 可得： 95 57N=千周 疲劳与断裂课后习题全解 -12- 即存活概率为95的寿命 95 57N=千周。 3-6 解：SN曲线为 m S NC=，取对数之后有： 11 lglglgScN mm = 令 ylgS，xlgN，回归方程可写成：yABx 其中： 1 lgAc m =； 1 B m = 列表计算得： a SMPa N lg ii xN= lg iai yS= 2 i x 2 i y ii x y 60 12300 4.0899 1.7782 16.7273 3.1620 7.2727 50 20000 4.3010 1.6990 18.4986 2.8866 7.3074 40 39600 4.5977 1.6020 21.1388 2.5664 7.3655 30 146100 5.1646 1.4771 26.6731 2.1818 7.6286 25 340600 5.5322 1.3979 30.6052 1.9541 7.7335 23.6854 7.9542 113.6430 12.7509 37.3077 根据上表： 23.6854 4.73708 5 i x x n = 7.9542 1.59084 5 i y y n = 又： 2 22 23.6854 () /113.64301.44336 5 xxii Lxxn= 2 22 7.9542 () /12.75090.09704 5 yyii Lyyn= 23.6854 7.9542 /37.30770.37198 5 xyiiii Lx yx yn = 回归系数为： 0.37198 0.2577 1.44336 xy xx L B L = = 2.8116AYBX= 故有： 疲劳与断裂课后习题全解 -13- 1 3.88m B = = 3.88 2.811610 10108.11 10 mA C = 相关系数为： 0.37198 0.9939 1.44336 0.09704 xy xxyy L L L = = 显著性水平取为0.01=，本题中n23，查表得0.959 =，故有 ，则回归方程 能反映随即变量间的相关关系。 SN曲线表达式为： 3.887 8.11 10 (,)SNMPa=千次 回归方程lglg a SN的直线表达式为： lg2.81160.2577lg a SN= 疲劳与断裂课后习题全解 -14- 第四章第四章第四章第四章 4-1 答：载荷水平低（低于屈服应力） ，寿命比较长（N104） ，称为应力疲劳或高周应变疲劳。载荷 水平高（超过屈服应力） ，寿命比较短（N104） ，称为应变疲劳或低周应变疲劳。 对于循环应力水平较低（SmaxSy） ，寿命短的情况，所经历的载荷循环次数却并不 多。设计应力或应变水平可以高一些，以充分发挥材料的潜力。这样，就可能使构件中某些高 应力处 （尤其是缺口根部）进入塑性。屈服后应变的变化大，应力的变化小。这样，用应变作 为疲劳性能的控制参量比应力要好一些。 4-2 答：滞后环反映了循环载荷作用下，应力、应变的连续变化情况。循环应力应变曲线将各稳 态滞后环顶点的连线，反映了不同应变幅 a循环下的应力幅 a响应。材料的循环性能即是由循 环应力应变曲线和滞后环描述的。应变疲劳性能，讨论的是应变与寿命之间的关系，由-N 曲线描述。 4-3 解：工程应力为： 0 P S A = 真实应力为： 0 (1) o PPl Se AA l =+ 则： S e S = 所以：e分别为0.2，0.5，1，2，5时，真实应力比工程应力大0.2，0.5，1 ，2，5。 真实应变为： 2 ln(1) 2 e ee=+=+ 忽略三阶小量，可知二者之间的相对误差为： 2 ee e = 则e分别为0.2，0.5，1，2，5时，真实应变比工程应变分别小0.1，0.25， 0.5，1，2.5 疲劳与断裂课后习题全解 -15- 4-5 4-6 由实验记录可知应变幅a，应力幅a, 和破坏循环数2Nf，将总应变幅a，写成弹性应变 幅ea和塑性应变幅pa二部分，有： ea=a/E, 和 pa=a-ea。 分别画出lgea-lg(2Nf)，lgpa-lg(2Nf)之关系，如图中直线所示，呈对数线性关系。由此， 可分别有： ea f b E N= ()2 (4-15) paf c N= ()2 (4-16) (4-15)式反映了弹性应变幅ea与寿命2N间的关系，f称为疲劳强度系数，具有应力量纲； E 是弹性模量，b为疲劳强度指数。(4-16)式，反映塑性应变幅pa与寿命2N间的关系，f称为 疲劳延性系数，与应变一样，无量纲；c是疲劳延性指数。b、c分别为图中二直线的斜率。对 于大多数金属材料，疲劳强度指数b一般为 -0.06-0.14, 估计时可取 -0.1。疲劳延性指数c一 般为-0.5-0.7,常取-0.6作为其典型值。 因此， -N曲线可写为： aeapa f b f c E NN=+= + ()()22 (4-17) 在长寿命阶段，以弹性应变幅ea为主，塑性应变幅pa的影响可忽略，aea，且有： ea f b E N= ()2 或写为 eam1N=C1 此即反映应力疲劳性能的S-N曲线。 疲劳与断裂课后习题全解 -16- 在短寿命阶段，以塑性应变幅pa为主，弹性应变幅ea影响可忽略，apa，且有： paf c N= ()2 或写为 pam2N=C2 若ea=pa时，有： = f t b ft c E NN()()22 由此可求得到： 2 1 NE tff b c = () () (4-18) 若寿命大于2Nt，弹性应变为主，是应力疲劳；寿命小于2Nt，塑性应变为主，是低周应变 疲劳；因此，2Nt 即为过渡寿命。 由式 2 1 NE tff b c = () () ，即可求得各材料的过渡寿命。根据列表中的数据，可以分别求 出各材料的过渡寿命如下： 低强钢：2 t N988212；高强钢：2 t N27；RQC-100钢：2 t N1860；2024-T3铝：2 t N 288。 由式 2 a fm b f c E NN= + ()()22 即可求得各材料的总应变幅。 根据列表中的数据， 可以分别求出各材料的总应变幅如下： 低强钢： 2 3 2.01 10；高强钢： 2 0.02；RQC-100钢： 2 3 7.32 10；2024-T3 铝： 2 0.016。 4-7 解： 0-1 由循环应力应变曲线 1/ (/)(/) n EK=+ 得到： 疲劳与断裂课后习题全解 -17- 1 500=MPa 1/ 111 (/)(/)0.014 n EK=+= 1-2 卸载过程， 1 2 500 =MPa，按滞后环曲线 1/ (/)2(/2) n EK = + 得到： 1 2 0.003 = 故有： 2 0.011=， 2 0= 2-3 加载过程， 2 3 300 =MPa 按滞后环曲线求得： 2 3 0.001 = 故有： 3 0.012=， 3 300=MPa 3-4 卸载过程，其中2-3-2形成封闭环，故可直接按照1-4路径计算 1-4 卸载过程， 1 4 800 =MPa，根据滞后环曲线得： 1 4 0.011 = 故有： 4 0.003=， 4 300= MPa 4-5 加载过程， 4 5 700 =MPa，由滞后环曲线得： 4 5 0.007 = 故有： 5 0.010=， 5 400=MPa 5-6 卸载过程， 5 6 500 =MPa，由滞后环曲线得： 5 6 0.003 = 故有： 6 0.007=， 6 100= MPa 6-7 加载过程， 6 7 200 =MPa，由滞后环曲线得： 6 7 0.001 = 故有： 7 0.008=， 7 100=MPa 7-8 卸载过程，其中6-7-6形成封闭环，故卸载可以按5-8路径计算 5-8 卸载过程， 5 8 600 =MPa，由滞后环曲线得： 5 8 0.003 = 故有： 8 0.005=， 8 200= MPa 疲劳与断裂课后习题全解 -18- 8-1 加载过程，其中5-8-5形成封闭环，考虑路径4-1 4-1 加载过程，其中1-4-1形成封闭环 故有： 1 0.014=， 1 500=MPa 给出图，如图所示 4-8 解： a） 此为恒幅应变对称循环，且0.01 a =，0 m = 直接由N曲线有： (2)(2)0.01 fbc af NN E =+= 解得： N1072 b）此为恒幅应变，但不对称，0.01 a =，0.01 m = 0-1 1 1/ 111 /(/)0.02 n EK=+= 解得： 1 1136.6=MPa 1-2 1/ 1 21 21 2 2(/2)0.02 n K = += 解得： 1 2 2104 =MPa 故有： 2 0=， 2 967.4= MPa 2-3 1-2-3形成封闭环，有： 31 0.02=， 31 1136.6=MPa 疲劳与断裂课后习题全解 -19- 根据滞后环得到： 23 84.6 2 m + =MPa 估算寿命，有： (2)(2)0.01 fmbc af NN E =+= 代入各项数值，解得： N1008次 4-9 解：为缺口应力应变响应计算 0-1 已知 1max 500SS=MPa，由循环应力应变曲线计算有： 1/3 111 /(/)2.6 10 n eSESK =+= 将 1 e、 1 S代入Neuber双曲线，有： 2 1 11 1 11.7 t K S e =MPa （1） 结合循环应力应变曲线： 1/ 111 /(/) n EK=+ （2） 结合（1） 、 （2）式，解得： 1 885=MPa， 1 0.0132= 1-2 卸载过程， 1 2 450S =MPa，由滞后环曲线有： 1/3 1 21 2/ 2(/2)2.3 10 n eSESK = += 将 1 2 e ， 1 2 S 代入Neuber双曲线，得： 2 1 21 21 21 2 9.315 t KSe =MPa （3） 结合滞后环曲线： 1/ 1 21 21 2 (/)2(/2) n EK = + （4） 结合（3） 、 （4）式，解得： 1 2 1248 =MPa， 1 2 0.00734 = 故有： 2 363= MPa， 2 0.00586= 2-3 加载过程。同理可计算得到： 2 3 1248 =MPa， 2 3 0.00734 = 疲劳与断裂课后习题全解 -20- 故有： 3 885=MPa， 3 0.0132= 由上述数据得到滞后环曲线： 12 ()/20.00367 a = 12 ()/2261 m =+=MPa 利用N曲线寿命估算： (2)(2) fmbc af NN E =+ 得到：N5997次 疲劳与断裂课后习题全解 -21- 第五章第五章第五章第五章 5-1 解： 2 3 () 2 PLa Ka f BWw = 其中： 234 ()1.090 1.735()8.20()14.18()14.57() aaaaa f wwwww =+。 将各项数据代入上两式： ()1.525 a f w =，80.58MPa mK=。 5-2 解： 12 11122 ()() CCC aa Ka fa f ww = （1） 对于大尺寸板：/0a w，则f1， 故（1）式可写成： 1122CC aa= 解得： 1 21 2 480.7 CC a a =MPa 5-3 解：标准三点弯曲试样的应力强度因子为： 2 3 () 2 Q Q P L a Ka f BWw = （2） 其中： 234 ()1.090 1.735()8.20()14.18()14.57() aaaaa f wwwww =+ 已知：0.53 a w =，得：()1.5124 a f w =。 将各项数据代入（2）式，得：40.0MPa m Q K=。 对其进行有效性验证： 2 50mm2.5(/)32.6mm Qys BK=。 满足有效性条件，即得到： 1 40.0MPa m CQ KK=。 5-4 解：若采用标准紧凑拉伸试样，断裂时有： 疲劳与断裂课后习题全解 -22- 11 () C P aa KfK BWw = （1） 转换得到： 1 () C K BW P a a f w = （2） 其中： 234 ()29.6 185.5()655.7()1017.0()638.9() aaaaa f wwwww =+。 已知：0.53 a w =，计算得到：()14.4755 a f w =。 将各项数据代入（2）式，得到：60.0P=KN。 5-5 解：由疲劳的试件尺寸要求： 厚度：B2.5(K1C/ys)2=2.5(100/800)2=0.03906(m)=39.06(mm) 标准试件有：W=2B=78.125 (mm) 由图5.5可知，标准试件的设计尺寸为： 三点弯曲试样： B=39.06mm，W=78.125mm，L=4W=312.5mm； 紧凑拉伸试样： B=39.06mm，高H=1.2W=93.75mm，宽S=1.25W=96.66mm； 孔径 D=0.25W=19.53。 5-6 解：由题意知：裂纹长度为： a=52mm 又因为 a/W=52/100=0.52，且PQ=241kN，可得： KQ=155.9 MPam。 有效性检验： (1) Pmax/PQ=261/241=1.0831.1； (2) B=50mm，/0.061 2 t a=，故满足上式的使用范围。 几何修正函数为： 24 1231 ()() /2/2 ew aa FMMMg f f tt =+ 由于1 a c ，故有： 1 1M= 疲劳与断裂课后习题全解 -25- 2 3/2 0.05 0.1823 0.11 ( / ) M a c = + 3 3/2 0.29 0.7354 0.23( / ) M a c = + 4 1 ( /) cos 2 1 14( / ) t a g a c = + 1/4 222 ( / ) cossinfa c =+ 1 w f= 且有： 1/2 1.65 ( )1 1.464( / )1.0958E ka c=+= 短轴方向即/2=时的应力强度因子最大，此时： 1 1g=，1f= 则：1.0071 e F= 6-4 解：半椭圆表面裂纹得应力强度因子为： (, ) ( ) s a a ca KF c twE k = 且：00.42 a c =，0.050.5 c w =，/1/61a t=，满足上式的应用范围。 表面裂纹的几何修正系数为： 24 1231 ( )( ) sw aa FMMMg f f tt =+ 本题中，1 a c ，故有： 1 1.130.091.094 a M c = 2 0.540.89/0.2/ 0.943Ma c= += 24 3 1 0.514(1)0.452 0.65 a M a c c =+= + 1/2 sec1 2 w ca f Wt = 2221/4 ( ) cossin a f c =+ 疲劳与断裂课后习题全解 -26- 22 1 1 0.1 0.35( ) (1 sin ) a g t = + 且： 1.65 1/2 ( )1 1.464( / )1.15E ka c=+= 1） 裂纹表面处（0=） ：0.6234f=， 1 1.11g = 将各项数据代入可得： 0.786 s F =， (0) 32.5MPa mK= 2） 裂纹最深处（/2=） ：1f=， 1 1g= 将各项数据代入可得： 1.120 s F =， (/2) 46.3MPa mK = 6-5 解：半椭圆表面裂纹的应力强度因子可以表达为： )( ),( kE a W c t a c a FK t s = 由于0a/c=2/32，c/W=3/（3.14500）0.5，a/t=1/91，因此满足上式的适用范围。 表面裂纹的几何修正函数记作Fs为： Ws ffg t a M t a MMF 1 4 3 2 21 )()(+= 注意到本题a/c1，故有： )/(09. 013. 1 1 caM= =1.07 )/(2 . 0/89. 054. 0 2 caM+= =0.487 ； 24 3 )1 (14 )(65. 0 1 5 . 0 c a ca M+ + = =0.2595 在=90度的时候得到最大的应力： 22 1 )sin1()/(35. 01 . 01+=tag =1 且有： 4/1222 sincos)/( +=caf =1 1/21/2 51 sec()sec() 2100012 W ca f Wt = =1.000011 修正系数为： 24 11 1.070.487( )0.2595( ) 1 99 s F=+ =1.07 当a/c=0.21时，有： 疲劳与断裂课后习题全解 -27- 2/165. 1 )/(464. 11 )(cakE+= =1.3228 在承受内压圆筒形容器中的最大应力是环向应力，则： /240 500/(2 18)5000/9MPapDtMPa = 则可得到： 3 /2 5000 3.14 2 10 1.0735.59 9 1.3228 K = MPa m 故有容器的抗断裂工作安全系数: 1 /60/35.591.68 fIC nKK= 6-6 解：拉伸载荷作用下，双侧对称孔边角裂纹的应力强度因子为： (, ) ( ) t ch aa a R c KF c tw wE k = 且：0.20.52 c a =，/0.1 1a t=，0.50.61 2 Rd tt =， /2 0.40.5 Rcdc WW + = 满足上式的使用条件。几何修正系数为： 24 123123 ( )( ) chw aa FMMMg g g f f tt =+ 本题中：1 c a ，则： 1 1.130.091.085 a M c = 2 0.540.89/0.2/ 0.731Ma c= += 24 3 1 0.514(1)0.370 0.65 a M a c c =+= + /2=时的应力强度因子最大，有： 22 1 1 0.10.35( ) (1 sin )1 a g t = += 1 1cos(0.85 )0.928 c R =+= 2342 2 (1 0.3581.4251.5782.156)/(1 0.13)2.6055g=+= 21/4 3 (10.04)10.1(1 cos) 0.850.15( )1.048 2 aa g ct =+= 疲劳与断裂课后习题全解 -28- 2221/4 ( ) cossin1 22 a f c =+= 1/2 2 () sec()sec1.07 24()2 w n cdnca f Wwcnct = + = + 所以：3.1913 ch F=，且： 1.65 1/2 ( )1 1.464( / )1.211E ka c=+= 将各项数据代入： 1 103.4KPa m120KPa m C KK=，所以700= MPa时不会断裂。 6-7 解： 12 400800 600 22 t + = MPa 800600200 b = MPa 拉弯组合载荷作用下的应力强度因子为： 123 () 2 () () tb a KM MM E K =+ （2） 其中： 2 1 10.1211.0768 2 a M c = += 223 2 223 1 0.127( )0.079( )0.558( )0.175( )( )0.279( )1.44( ) 1.06( ) ( )0.609( ) ( )0.249( )1.002 aaaaaaa M tcttcct aaaaa tcctc = + += 22 3 3223 1.183 1.22( )0.286( )0.867( )0.00677( )( )0.23( ) 0.467( )1.92( ) ( )0.633( )( )0.182( )0.937 aaaaaa M tcttcc aaaaaa ttctcc =+ += 0.41 a c =，则： 1.65 1/2 ()1 1.464( )1.15 a E K c =+=。 将各项数据代入（2）式，即得 () 57.2MPa m a K =。 疲劳与断裂课后习题全解 -29- 第七章第七章第七章第七章 7-1 答：根据Irwin给出的塑性区尺寸可知三者之间的关系，如下公式所示： 2 1 1 2 * p ys K Rr = 其中1=（平面应力） ，2 2=（平面应变） 。上式指出，裂尖塑性区尺寸与 1 ys K 的平方成正 比，平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力情况下的1/3. 7-2 答：承受同样外载荷作用的厚板处于平面应变状态，薄板则处于平面应力状态，而平面应变时 的裂尖塑性区尺寸约为平面应力情况下的1/3。 7-3 解：承受内压薄壁壳体中的最大应力为环向应力，且： max /25.2 500/(2 10)130MPaPDt= 由于筒体直径大于其厚度，可视为承受环向应力的无限大中心裂纹板，且处于平面应力情 况，则： 1 Ka = 故发生断裂的临界状态： 1cC aK= 小范围屈服条件下： 22 1 0.2 Cc c ys Ka EE = 得到： 0.2 311.6MPa c c E a = 则： max 311.6 2.4 130 c f n = 7-4 解：1) 无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为： 1 1.1a K Q = 其中： 22 1/21.642 1/2 ( )0.212(/) 1 1.47( / )0.212(/) ysys QE ka c =+ 疲劳与断裂课后习题全解 -30- 在发生断裂的临界状态有： 1 1.1 c C a K Q = 对上式进行变换，得： 22 1 2 1.21 C c KQ a = 代入各项数据，得到： 2 1.01Q =，7.47 c a =mm 2) 断裂的临界状态有： 1 1.1 c C a K Q =，此时： 22 1.100.212(/900) c Q= 结合上述两式，得： 2 2 1 2 1 1.10 1.210.212(/) C c Cys K aK = + 代入各项数据，得到：713.4 c =Mpa。 7-5 解：根据题意可知，裂纹为无限大体中半椭圆表面裂纹，其最深处的应力强度因子由下式给出： 1 1.1a K Q = c 形状参数Q由 21.642 1 1.47( / )0.212(/) ys Qa c = +给出。 由上式可解得： 2 2 1 2 1.21 c Q K a = c 其中 11 /130 / 4Mpam32.5Mpam ccf KKn= 21.642 1 1.47(0.25)0.212(352/550) 1.0645Q = += 代入上式中： 2 2 1.0645(32.5) =0.0024m=2.4mm 1.21(352) a = c 所以，可容许的最大裂纹深度为2.4mm。 7-6