2017年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|4x 0， B=x|x a，若 A B，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 4） C 4， + ） D（ 4， + ） 2欧拉公式 i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为 “数学中的天桥 ”根据欧拉公式可知 ， e 表示的复数的模为（ ） A B 1 C D 3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 100 B 82 C 96 D 112 4已知函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期为 B直线 x= 是函数 f（ x）图象的一条对称轴 C函数 f（ x）在区间 ， 上单调递增 D将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）=2对于四面体 A 以下命题： 若 C= 底面所成的角相等； 若 点 A 在底面 的射影是 内心； 四面体 A 四个面中最多有四个直角三角形； 若四面体 A 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 其中正确的命题是（ ） A B C D 6中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”人们把此类题目称为 “中国 剩余定理 ”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（ 例如 11=2（ 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 ） A 21 B 22 C 23 D 24 7若数列 正项数列，且 + + + =n2+n，则 + + 等于（ ） A 2n B n C 2n2+n D 2（ n） 8某城市关系要好的 A， B， C， D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 ），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A 18 种 B 24 种 C 36 种 D 48 种 9命题 p：已知数列 等比数列，且满足 a3；命题 q： “ x R， 1”的否定是 “ x R， ”则下列四个命题： p q、 p q、 p q、 p q 中，正确命题的个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 10已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），满足 f（ x+4） =f（ x），且 x 0， 2时，f（ x） =|则方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 11抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 =1（ a 0，b 0）的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D +1 12已知函数 f（ x） =x 2，射线 l： y=k（ x 1）若射线 l 恒在函数 y=f（ x）图象的下方，则整数 k 的最大值 为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题 （ x 1）（ 2x ） 6 的展开式中 x 的系数为 （用数字作答） 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则 的最小值为 15在 2， 2上随机抽取两个实数 a， b，则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 16在平面内，定点 A， B， C， |=| |=| |=2， = = =0，动点 P， M 满足 | |=1， = ，则 | |2 的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 3（ b2+3 （ ）若 ，求 大小； （ ）若 a=2， 面积 ，且 b c，求 b， c 18（ 12 分）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取 100桶 检 测 某 项 质 量 指 标 ， 由 检 测 结 果 得 到 如 图 的 频 率 分 布 直 方 图 ：（ I）写出频率分布直方图（甲）中 a 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差分别为 比较 大小（只要 求写出答案）； （ ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于 20 的概率； （ ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N（ ， 2）其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 X 表示从乙种食用油中随机抽取 ，其质量指标值位于（ 桶数，求 注： 同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 若 Z N（ ， 2），则 P（ Z +） =P（ 2 Z +2） = 19（ 12 分）如图，四边形 梯形四边形 矩形且平面 平面 0， D=M 是线段 的动点 （ ）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ ）在（ ）的条件下，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 20（ 12 分）已知 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且点 A（1， 0）， B（ 1， 0），动点 C 满足 =（ 为常数且 1），动点 C 的轨迹为曲线 E （ ）试求曲线 E 的方程； （ ）当 = 时，过定点 B（ 1， 0）的直线与曲线 E 交于 P， Q 两点， N 是曲线 E 上不同于 P， Q 的动点，试求 积的最大值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =g（ x） =中 e 是自然对数的底数 （ 1）判断函数 y=f（ x）在（ 0， ）内的零点的个数，并说明理由； （ 2） 0， ， 0， ，使得 f（ +g（ m 成立，试求实数 m 的取值范围； （ 3）若 x 1，求证： f（ x） g（ x） 0 请考生在 22、 23 两题 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系 ，曲线 （ 是参数）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 3=0点 1 上的动点 （ 1）求点 P 到曲线 距离的最大值； （ 2）若曲线 = 交曲线 A， B 两点，求 面积 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x a|，其中 a 1 （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 4 |x 4|的解集； （ 2）已知 关于 x 的不等式 |f（ 2x+a） 2f（ x） | 2 的解集 x|1 x 2，求 2017 年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|4x 0， B=x|x a，若 A B，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 4） C 4， + ） D（ 4， + ） 【考点】 18：集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用一元二次不等式可 化简集合 A，再利用 A B 即可得出 【解答】 解：对于集合 A=x|4x 0，由 4x 0，解得 0 x 4； 又 B=x|x a， A B， a 4 实数 a 的取值范围是 a 4 故选 C 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，属于基础题 2欧拉公式 i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为 “数学中的天桥 ”根据欧拉公式可知， e 表示的复数的模为（ ） A B 1 C D 【考点】 数求模 【分析】 直接由题意可得 =再由复数模的计算公式得答案 【解答】 解：由题意， = e 表示的复数的模为 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 100 B 82 C 96 D 112 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体， 分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体， 长方体的体积为： 6 6 3=108， 棱锥的体积为： 4 3 4=8， 故组合体的体积 V=108 8=100， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档 4已知函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期为 B直线 x= 是函数 f（ x）图象的一条对称轴 C函数 f（ x）在区间 ， 上单调递增 D将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）=2考点】 弦函数的图象 【分析】 先求出函数的解析式，再进行判断，即可得出结论 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0，| ）的部分图象， 可得 A=2，图象的一条对称轴方程为 x= = ，一个对称中心为为（ ，0）， = = ， T= ， =2， 代入（ ， 2）可得 2=22 +）， | ， = ， f（ x） =22x ），将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，可得 g（ x） =2（ x+ ） =2 故选： D 【点评】 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键 5对于四面体 A 以下命题： 若 C= 底面所成的角相等； 若 点 A 在底面 的射影是 内心； 四面体 A 四个面中最 多有四个直角三角形； 若四面体 A 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 其中正确的命题是（ ） A B C D 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 对于 ，根据线面角的定义即可判断； 对于 ，根据三垂线定理的逆定理可知， O 是 垂心， 对于 在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数， 对于 作出正四面体的图形，球的球心位置，说明 内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积 【解答】 解：对于 ，因为 C= 点 A 在平面 的射影是 O，因为 ， ， ，所以 CO= 则 底面所成的角相等；故 正确； 对于 设点 A 在平面 的射影是 O，则 平面 的射影，因为 据三垂线定理的逆定理可知： 理可证 以 O 是 垂心，故 不正确； 对于 ：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是 4故 正确 对于 ，如图 O 为正四面体 内切球的球心，正四 面体的棱长为： 1； 所以 内切球的半径， F= ， ， 所以 = ， 因为 所以（ 2 ） 2， 所以 ， 所以球的表面积为： 4，故 正确 故选 D 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力，是中档题 6中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”人们把此类题目称为 “中国剩余定理 ”，若正 整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（ 例如 11=2（ 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 ） A 21 B 22 C 23 D 24 【考点】 序框图 【分析】 该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 2 的数，根据所给的选项，得出结论 【解答】 解：该程序框图的作用是求被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3的数， 在所给的选项中，满足被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3 的数只有 23， 故选： C 【点评】 本题主要考查程序框图的应用，属 于基础题 7若数列 正项数列，且 + + + =n2+n，则 + + 等于（ ） A 2n B n C 2n2+n D 2（ n） 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 利用数列递推关系可得 利用等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解： + + + =n2+n， n=1 时， =2，解得 n 2 时， + + + =（ n 1） 2+n 1， 相减可得： =2n， n=1 时也成立 =4n 则 + + =4（ 1+2+ +n） =4 =2n 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8某城市关系要好的 A， B， C， D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A 18 种 B 24 种 C 36 种 D 48 种 【考点】 列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 2 种情况讨论： 、 A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 、 A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 、 A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有 2 种乘坐方式； 、 A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个小孩 都在甲车上， 对于剩余的 2 个家庭，从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有 2 种乘坐方式； 则共有 12+12=24 种乘坐方式； 故选： B 【点评】 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是依据题意，分析 “乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭 ”的可能情况 9命题 p：已知数列 等比数列，且满足 a3；命题 q： “ x R， 1”的否定是 “ x R， ”则下列四个命题： p q、 p q、 p q、 p q 中，正确命题的个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 2E：复合命题的真假 【分析】 利用微积分基本定理与等比数列的性质即可判断出命题 p 的真假；利用复合命题真假的判定方法即可判断出命题 q 的真假再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假 【解答】 解：命题 p：已知数列 等比数列，且满足 a3 22=，则 = ，因此是假命题； 命题 q： “ x R， 1”的否定是 “ x R， ”，是真命题 则下列四个命题： p q、 p q、 p q、 p q 中，只有 p q、 pq 是真命题 正确命题的个数是 2 故选： C 【点评】 本题考查了微积分基本定理、等比数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），满足 f（ x+4） =f（ x），且 x 0， 2时，f（ x） =|则方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 由已知写出分段函数，然后画出图象，数形结合得答案 【解答】 解： f（ x） =| ， 由 f（ x+4） =f（ x），可知 f（ x）是以 4 为周期的周期函数， 方程 f（ x） |0 即 f（ x） =|方程的根即为两函数 y=f（ x）与 y=|象交点的横坐标， 作出函数图象如图： 由图可知，方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是 19 故选： C 【点评】 本题考查根的存在性与根的个 数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题 11抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 =1（ a 0，b 0）的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D +1 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 确定抛物线 p 0）的焦点与准线方程，利用点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，求出 M 的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦 点为 F（ ， 0），其准线方程为 x= ， 准线经过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点， c= ； 点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p， M 的横坐标为 ， 代入抛物线方程，可得 M 的纵坐标为 p， 将 M 的坐标代入双曲线方程，可得 =1， a= p， e=1+ 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定 M 的坐标是关键 12已知函数 f（ x） =x 2，射线 l： y=k（ x 1）若射线 l 恒在函数 y=f（ x）图象的下方 ，则整数 k 的最大值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 由题意得问题等价于 k 对任意 x 1 恒成立，令 g（ x）= ，利用导数求得函数的最小值即可得出结论 【解答】 解：由题意，问题等价于 k 对任意 x 1 恒成立 令 g（ x） = ， g（ x） = ， 令 h（ x） =x 2 h（ x）在（ 1， + ）上是增函数， 由于 h（ 3） =1 0， h（ 4） =2 0 所以存在 （ 3， 4），使得 h（ =2 则 x （ 1， ， h（ x） 0； x （ + ）时， h（ x） 0， 即 x （ 1， ， g（ x） 0； x （ + ）时， g（ x） 0 知 g（ x）在（ 1， 减，（ + ）递增， 又 g（ g（ 3） = g（ 4） =4+2以 故选 B 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题 二、填空题 （ 2017广元模拟）（ x 1）（ 2x ） 6 的展开式中 x 的系数为 80 （用数字作答） 【考点】 项式系数的性质 【分析】 求出（ 2x ） 6 展开式的常数项和含 x 的项，再求（ x 1）（ 2x ）6 的展开式中 x 的系数 【解答】 解：（ 2x ） 6 展开式的通项公式为： = （ 2x） 6 r =（ 1） r26 r 2r， 令 6 2r=0，解得 r=3， （ 2x ） 6 展开式的常数项为（ 1） 323 = 160； 令 6 2r=1，解得 r= ， （ 2x ） 6 展开式中不含 x 的项； （ x 1）（ 2x ） 6 的展开式中 x 的系数为 （ 160） = 80 故答案为： 80 【点 评】 本题考查了利用二项式的通项公式求展开式特定项的应用问题，是基础题 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则 的最小值为 3 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 的几何意义是区域内的点到定点 D（ 0， 1）的斜率， 由图象知 斜率最小， 由 得 ，即 B（ 1， 2）， 此时 斜率 k= =3， 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决本 题的关键 15在 2， 2上随机抽取两个实数 a， b，则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 【考点】 何概型 【分析】 根据直线和圆相交的条件求出 a， b 的关系，利用线性规划求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：根据题意，得 ， 又直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交， d r， 即 ， 得 |a+b 1| 2， 所以 1 a+b 3； 画出图形，如图所示； 则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 P= = = 故答案为： 【点评】 本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆相交的位置关系求出 a，b 的关系是解决本题的关键注意利用数形结合以及线性规划的知识 16在平面内，定点 A， B， C， |=| |=| |=2， = = =0，动点 P， M 满足 | |=1， = ，则 | |2 的最大值为 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意可设 D（ 0， 0）， A（ 2， 0）， B（ 1， ）， C（ 1， ），P（ 2+ M（ ， ），利用坐标运算求出 以及的最大值即可 【解答】 解：平面内， | |=| |=| |=2， = = =0， ， ， ， 可设 D（ 0， 0）， A（ 2， 0）， B（ 1， ）， C（ 1， ）， 动点 P， M 满足 | |=1， = ， 可设 P（ 2+ M（ ， ）， =（ ， ）， = + = ， 当且仅当 ） =1 时取等号， | |2 的最大值为 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量坐标运算性质、模的计算公式、数量 积运算性质以及三角函数求值问题，是综合题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分）（ 2017广元模拟）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 3（ b2+=3 （ ）若 ，求 大小； （ ）若 a=2， 面积 ，且 b c，求 b， c 【考点】 弦定理的应用 【分析】 （ ）由 3（ b2+=3用余弦定理，可得 据 ，即可求 大小； （ ）利用面积及余弦定理 ，可得 b、 c 的两个方程，即可求得结论 【解答】 解：（ ） 3（ b2+=3 = ， ， ； （ ） 面积 ， ， a=2， 由余弦定理可得 4=b2+2 b2+ b c， 联立 可得 b= ， c= 【点评】 本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017广元模拟）质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机 抽取 100 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图： （ I）写出频率分布直方图（甲）中 a 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差分别为 比较 大小（只要求写出答案）； （ ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于 20 的概率； （ ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 Z 服从正态分布 N（ ， 2）其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 X 表示从乙种食用油中随机抽取 ，其质量指标 值位于（ 桶数，求 注： 同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 若 Z N（ ， 2），则 P（ Z +） =P（ 2 Z +2） = 【考点】 差、方差与标准差； 率分布直方图 【分析】 （ ）按照题目要求想结果即可 （ ）设事件 A，事件 B，事件 C，求出 P（ A）， P（ B）， P（ C）即可； （ ）求出从乙种食用油中随机抽取 ，其质量指标值位于（ 概率是 到 X B（ 10， 求出 可 【解答】 解：（ ） a= （ ）设事件 A：在甲种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20， 事件 B：在乙种食用油中随机抽取 1 捅，其质量指标不大于 20， 事件 C：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一个桶的质量指标大于 20，且另一个不大于 20， 则 P（ A） =P（ B） = P（ C） =P（ ） P（ B） +P（ A） P（ ） = （ ）计算得： =条件得 Z N（ 从而 P（ Z = 从乙种食用油中随机抽取 ，其质量指标值位于（ 依题意得 X B（ 10， 0 【点评】 本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力 19（ 12 分）（ 2017广元模拟）如图，四边形 梯形四边形 矩形且平面 平面 0， D= 是线段 的动点 （ ）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ ）在（ ）的条件下，求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【考点】 面角的平面角及求法； 线与平面平行的判定 【分析】 （ ）当 M 是线段 中点时， 平面 结 ，连结 用三角形中位线定理能够证明 平面 （ ）过点 D 作平面 平面 交线 l，过点 M 作 G，过 G 作 l 于 H，连结 已知条件推导出 平面 平面成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值 【解答】 解：（ ）当 M 是线段 中点时， 平面 证明如下： 连结 N，连结 由于 M、 N 分别是 中点，所以 由于 平面 包含于平面 平面 4 分） （ ）过点 D 作平面 平面 交线 l， 平面 l， 过点 M 作 G， 平面 平面 平面 平面 平面 平面 过 G 作 l 于 H，连结 直线 l 平面 l 平面 平面 成锐二面角的平面角（ 8 分） 设 ，则 ， = ， =1（ 11 分） = ， 所求二面角的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线与平面平行的判定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20（ 12 分）（ 2017广元模 拟）已知 ，角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c，且点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），动点 C 满足 =（ 为常数且 1），动点 C 的轨迹为曲线 E （ ）试求曲线 E 的方程； （ ）当 = 时，过定点 B（ 1， 0）的直线与曲线 E 交于 P， Q 两点， N 是曲线 E 上不同于 P， Q 的动点，试求 积的最大值 【考点】 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题意可知丨 +丨 =2 2，则动点 C 的轨迹 P 为椭圆（除去 A、 B 与共线的两个点）即可求得求曲线 E 的方程； （ ）当 = 时，求得椭圆方程，分类 讨论，设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用导数求得函数单调性区间，即可求得 积的最大值 【解答】 解：（ ）在 ，由丨 =2，则丨 +丨 =2（定值），且 2 2， 动点 C 的轨迹 P 为椭圆（除去 A、 B 与共线的两个点） 设其标准方程为 （ a b 0），则 22=1， 求曲线的轨迹方程为 （ x ）， （ ）当 = 时，椭圆方程为 （ x ）， 过定点 B 的直线与 x 轴重合时， 积无最大值， 过定点 B 的直线不 与 x 轴重合时， 设 l 方程为： x=， P（ Q（ 若 m=0，由 x ，故此时 积无最大值 根据椭圆的几何性质，不妨设 m 0， 联立方程组 ，消去 x 整理得：（ 3+24=0， y1+ ， ，则丨 丨 因为当直线 l 与平行且与椭圆相切时，切点 N 到直线 l 的距离最大， 设切线 l： x=my+n（ n ）， 联立 ，消去 x 整理得（ 3+26=0， 由 =（ 42 4（ 3+2 26） =0，解得： 23+2， n 又点 N 到直线 l 的距离 d= ， 积 S= 丨 d= = ， 将 +2入得： （ 1 ） 2（ 1（ ） 2）， 令 t= （ ， 0），设函数 f（ t） =6（ 1 t） 2（ 1 则 f（ t） = 12（ t 1） 2（ 2t+1）， 由当 t （ ， ）时， f（ t） 0，当 t （ ， 0）时， f（ t） 0， f（ t）在（ ， ）上是增函数，在（ ， 0）上是减函数， t） =f（ ） = 故 时， 积最大值是 当 l 的方程为 x= y+1 时， 面积最大，最大值为 【点评】 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017广元模拟）已知函数 f（ x） =g（ x） =中 e 是自然对数的底数 （ 1）判断函数 y=f（ x）在（ 0， ）内的零点的个数，并说明理由； （ 2） 0， ， 0， ，使得 f（ +g（ m 成立，试求实数 m 的取值范围； （ 3）若 x 1，求证： f（ x） g（ x） 0 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性； 52：函数零点的判定定理； 63：导数的运算 【分析】 （ 1）利用导数得到函数 y=f（ x）在（ 0， ）上单调递增， f（ 0） =1 0， f（ ） 0，根据函数零点存在性定理得函数 y=f（ x）在（ 0， ）内的零点的个数为 1； （ 2）确定函数 f（ x）在 0， 上单调递增，可得 f（ x） f（ 0） = 1；函数g（ x）在 0， 上单调递减，可得 g（ x） g（ 0） = ，即可求出实数 （ 3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证 ，令 h（ x）= ， x 1，利用导数求出 h（ x） h（ 0） =1，再令 k= ，其可看作点 A（ 点 B（ ， 0）连线的斜率，根据其几何意义求出 可证明 【解答】 解：（ 1）函数 y=f（ x）在（ 0， ）内的零点的个数为 1， 理由如下： f（ x） = f（ x） =+ x （ 0， ）， f（ x） 0， 函数 y=f（ x）在（ 0， ）上单调递增， f（ 0） = 1 0， f（ ） 0， 根据函数零点存在性定理得函数 y=f（ x）在（ 0， ）内的零点的个数为 1 （ 2） f（ +g（ m， f（ m g（ f（ m g（ f（ m g（ 当 x 0， 时， f（ x） 0，函数 f（ x）在 0， 上单调递增， f（ x） f（ 0） = 1， g（ x） = g（ x） = x 0， ， 0 1， 0， ， g（ x） 0， 函数 g（ x）在 0， 上单调递减， g（ x） g（ 0） = ， 1 m+ ， m 1 ， 实数 m 的取值范围为（ ， 1 ； （ 3） x 1，要证： f（ x） g（ x） 0， 只要证 f（ x） g（ x）， 只要证 只要证 ） （ x+1） 由于 0， x+1 0， 只要证 ， 下面证明 x 1 时，不等式 成立， 令 h（ x） = ， x 1， h（ x） = ， x 1， 当 x （ 1， 0）时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 当 x （ 0， + ）时， h（ x） 0， h（ x）单调递增， h（ x） h（ 0） =1 令 k= ，其可看作点 A（