2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

2017 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 1 x 2， ，则 A B=（ ） A（ 0， + ） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D（ 2， + ） 2欧拉，瑞士数学家， 18 世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为 “欧拉时代 ” 1735 年，他提出了欧拉公式：后人称为 “最引人注目的数学公式 ”若 ，则 复数 z= ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽为（ ） A 80m B 100m C 40m D 50m 4设等差数列 前 n 项和为 4，则 a1+a5+ ） A 9 B 15 C 18 D 36 5已知 =（ 3， 1）， =（ 1， 2） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 6抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，连接 . 于点 Q，若 | |则 |（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7已知如图所示的程序框图的输入值 x 1， 4，则输出 y 值的取值范围是（ ） A 0， 2 B 1， 2 C 1， 15 D 2， 15 8设 a=（ ） ， b=（ ） ， c=则 a， b， c 的大小顺序是（ ） A b a c B c b a C c a b D b c a 9某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A B C D 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均与圆 C： x2+6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ） A B C D 11给出下列四个命题： 回归直线 恒过样本中心点 ； “x=6”是 “5x 6=0”的必要不充分条件； “ R，使得 0”的否定是 “对 x R，均有 x+3 0”； “命题 p q”为真命题 ，则 “命题 p q”也是真命题 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 12设 f（ x）是函数 y=f（ x）的导数， f（ x）是 f（ x）的导数，若方程 f（ x）=0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的 “拐点 ”已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心设 f （ x ）= x+1，数列 通项公式为 n 7，则 f（ +f（ + +f（ =（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将 答案填在答题纸上） 13已知正项等比数列 ， ，其前 n 项和为 n N*），且 ，则 14将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 2 个单位所得图象对应函数的解析式是 15已知函数 f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1，则 2a b 的取值范围是 16学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖 ”； 乙说： “； 丙 说： “A， D 两项作品未获得一等奖 ”； 丁说： “是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ， ， （ ）求角 B 的大小； （ ）设 +=B（ 0， 0），求 取值范围 18根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 年平均浓度不得超过 35 微克 /立方米， 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 30 天 24 小时平均浓度（单位：微克 /立方米）的监测数据，将这 30 天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图 （ ）求图中 a 的值； （ ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由 19如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，B=2， E 为 中点， 0 （ ）求证： 平面 （ ） 求三棱锥 P 体积 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左右焦点分别为 心率为 ，点 A 在椭圆 C 上， |2， 0，过 坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点， N 为 P， Q 的中点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知点 ，且 直线 在的直线方程 21已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点 P（ 2， ）处的切线方程； （ ）证明： f（ x） 2（ x 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分 .选修 4标系与参数方程 22已知曲线 参数方程为 （ t 为参数）以坐标原点为极点， 线 极坐标方程为 =2 （ ）把 参数方程化为极坐标方程； （ ）求 点的极坐标（ 0， 0 2） 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 4m|+|x+ |（ m 0） （ ）证明： f（ x） 4； （ ）若 k 为 f（ x）的最小值，且 a+b=k（ a 0， b 0），求 的最小值 2017 年陕西省咸阳市高考 数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 1 x 2， ，则 A B=（ ） A（ 0， + ） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D（ 2， + ） 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 先求出集合 B，再根据交集的定义计算即可 【解答】 解：集合 A=x| 1 x 2=（ 1， 2）， =（ 0， + ）， 则 A B=（ 0， 2）， 故选： C 2欧拉，瑞士数学家， 18 世纪数 学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为 “欧拉时代 ” 1735 年，他提出了欧拉公式：后人称为 “最引人注目的数学公式 ”若 ，则复数 z= ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 数代数形式的混合运算 【分析】 由新定义，可得 z=i= ，即可复数位置 【解答】 解：由题意 z=i= ，对应的点为（ ）； 所以在第二象限； 故选： B 3某人从甲地去乙地共走 了 500m，途经一条宽为 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽为（ ） A 80m B 100m C 40m D 50m 【考点】 何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解 【解答】 解：由已知易得： l 从甲地到乙 =500 l 途中涉水 =x， 故物品遗落在河里的概率 P= =1 = x=100（ m） 故选 B 4设等差数列 前 n 项和为 4，则 a1+a5+ ） A 9 B 15 C 18 D 36 【考点】 85：等差数列的前 n 项和 【分析】 先由等差数列的求和公式，可得 a1+6，再等差数列的性质， a1+后代入可得结论 【解答】 解：由等差数列的求和公式可得， （ a1+=54， a1+2， 由等差数列的性质可知， a1+ ， a1+a5+8 故选： C 5已知 =（ 3， 1）， =（ 1， 2），则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量夹角公式即可得出 【解答】 解： =3+2=5， = = ， = = = = = ， 与 的夹角为 ， 故选： B 6抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，连接 . 于点 Q，若 | |则 |（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 物线的简单性质 【分析】 运用抛物线的定义，设 Q 到 l 的 距离为 d，求出斜率，求得直线 方程，与 x 联立可得 x=3，利用 |d 可求 【解答】 解：设 Q 到 l 的距离为 d，则由抛物线的定义可得， |d， | | ， 直线 斜率为 F（ 2， 0）， 直线 方程为 y= 2 （ x 2）， 与 x 联立可得 x=3，（由于 Q 的横坐标大于 2） |d=3+2=5， 故选： C 7已知如图所示的程序框图的输入值 x 1， 4，则输出 y 值的取值范围是（ ） A 0， 2 B 1， 2 C 1， 15 D 2， 15 【考点】 序框图 【分析】 算法的功能是求 y= 的值，分段求出输出值 x 1， 4时y 的范围，再求并集 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求 y= 的值， 当 4 x 1 时，可得： 0 y=2， 当 1 x 1 时，可得： 1 y=1 0，可得： 1 x 0 故输出值 y 的取值范围为： 1， 2 故选： B 8设 a=（ ） ， b=（ ） ， c=则 a， b， c 的大小顺序是（ ） A b a c B c b a C c a b D b c a 【考点】 4M：对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=（ ） = b=（ ） 1， c= 0， a b c 故选： B 9某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥；结合图中数据，计算它的体积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图知， 该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥； 画 出图形如图所示， 结合图中数据，计算该几何体的体积为： V=V 四棱柱 V 圆锥 =22 4 124 =16 故选： C 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均与圆 C： x2+6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ） A B C D 【考点】 与圆锥曲线的综合 【分析】 先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系 ，从而可求双曲线离心率 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= ，即 圆 C： x2+6x+5=0 化为标准方程（ x 3） 2+ C（ 3， 0），半径为 2 双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切 9 5 b2= 5（ =4 9 = 双曲线离心率等于 故选： D 11给出下列四个命题： 回归直线 恒过样本中心点 ； “x=6”是 “5x 6=0”的必要不充分条件； “ R，使得 0”的否定是 “对 x R，均有 x+3 0”； “命题 p q”为真命题，则 “命题 p q”也是真命题 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 根据回归直线的定义判断即可； 根据概念判断； 存在命题的否定是把存在改为任意，再否定结论； 得出 p， q 至少有一个为真，得出 p ， q 则至少一个为假，得出结论 【解答】 解： 回归直线 恒过样本中心点 ，由回归直线方程定义可知，正确； “x=6”能推出 “5x 6=0”，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误； “ R，使得 0”的否定是对 x R，均有 x+3 0，故错误； “命题 p q”为真命题，则 p， q 至少有一个为真，则 p ， q 则至少一个为假，故 “命题 p q”也是假命题，故错误 故选 B 12设 f（ x）是函数 y=f（ x）的导数， f（ x）是 f（ x）的导数，若方程 f（ x）=0 有实数解 称点（ f（ 为函数 y=f（ x）的 “拐点 ”已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心设 f （ x ）= x+1，数列 通项公式为 n 7，则 f（ +f（ + +f（ =（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 63：导数的运算 【分析】 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（ 2， 1）对称，即 f（ x）+f（ 4 x） =2，即可得到结论 【解答】 解： f（ x） = x+1， f（ x） =4x+ ， f（ x） =2x 4， 令 f（ x） =0，解得： x=2， 而 f（ 2） = 8+ 2+1=1， 故函数 f（ x）关于点（ 2， 1）对称， f（ x） +f（ 4 x） =2， n 7， 5， ， f（ +f（ =2， 同理可得 f（ +f（ =2， f（ +f（ =2， f（ +f（ =2， f（ +f（ + +f（ =2 4=8， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知正项等比数列 ， ，其前 n 项和为 n N*），且 ，则 15 【考点】 89：等比数 列的前 n 项和 【分析】 由题意先求出公比，再根据前 n 项和公式计算即可 【解答】 解：正项等比数列 ， ，且 ， 1 = ， 即 q 2=0， 解得 q=2 或 q= 1（舍去）， =15， 故答案为： 15 14将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 2 个单位所得图象对应函数的解析式是 y= 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据函数图象平移变换 “左加右减，上加下减 ”的原则，结合平移前函数的解析式及函数平移方式，可得答案 【解答 】 解：将函数 =（ x+ ） 的图象向右平移 个单位， 可得函数 y=（ x+ ） +2= 的图象， 再向下平移 2 个单位可得函数 y=图象 故答案为： y= 15已知函数 f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1，则 2a b 的取值范围是 【考点】 等式的基本性质 【分析】 由题意可得 0 a+b 2， 1 a+b 1，作出可行域如图，设 z=2a b，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解 【 解答】 解： f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1， 0 a+b 2， 1 a+b 1， 作出可行域如图 设 z=2a b，得 b=2a z，则平移直线 b=2a z， 则由图象可知当直线经过点 B 时，直线 b=2a z 得截距最小， 由 可得 a= ， b= 此时 z 最大为 z=2 = ， 当直线经过点 A 时，直线 b=2a z 得截距最大， 由 可得 a= ， b= ， 此时 z 最小为 z=2 （ ） = ， 2a b 的取值范围是 ， 故答案为： ， 16学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖 ”； 乙说： “； 丙说： “A， D 两项作品未获得一等奖 ”； 丁说： “是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B 【考点】 行简单的合情推理 【分析】 根据学校艺术节对同一类的 A， B， C， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设 A， B， C， D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断 【解答】 解：若 A 为 一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意， 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B 故答案为： B 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ， ， （ ）求角 B 的大小； （ ）设 +=B（ 0， 0），求 取值范围 【考点】 角和与差的正切函数 【分析】 （ ）由已知利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可求 合范围 0 B ，可求 B 的值 （ ）由（ ）知 ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 ），结合范围 ，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围 【解答】 解：（ ） A+B+C=， B=（ A+C）， 又 ， ， 则 ， B 为 内角， （ ） +=B（ 0， 0）， =， 又 +=B（ 0， 0）， 则 ， ， ，即 的范围是 18根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 年平均浓度不得超过 35 微克 /立方米， 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 30 天 24 小时平均浓度（单位：微克 /立方米）的监测数据，将这 30 天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图 （ ）求图中 a 的值； （ ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是 否需要改善？并说明理由 【考点】 率分布直方图 【分析】 （ ）由频率和为 1，列方程求出 a 的值； （ ）利用频率分布直方图计算平均数，比较即可 【解答】 解：（ ）由题意知（ a） 25=1， 解得 a= （ ）计算平均数为： =25 （ =克 /立方米）， 因为 35，所以该居民区的环境质量需要改善 19如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，B=2， E 为 中点， 0 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 P 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 交于点 O，连接 三角形中位线定理可得由线面平行的判定可得 平面 （ ）由 E 为 中点，可求 面积，证出 三棱锥 D 高并求得 ，然后利用等积法求得三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明：连接 交于点 O，连接 由题意知，底面 菱形，则 O 为 中点， 又 E 为 中点， 平面 面 平面 （ ）解： E 为 中点， ， 四边形 菱形， 又 平面 又 ， 平面 即 三棱锥 D 高， ， 则 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左右焦点分别为 心率为 ，点 A 在椭圆 C 上， |2， 0，过 坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点， N 为 P， Q 的中点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知点 ，且 直线 在的直线方程 【考点】 线与椭圆的位置关系； 圆的标准方程 【分析】 （ ）通过离心率以及由余弦定理，转化求解椭圆 C 的方程 （ ）因为直线 斜率存在，设直线方程为 y=k（ x 1）， P（ Q（ x2，联立 ，由韦达定理求解 N， M 的坐标， 化求解即可 【解答】 解：（ ）由 ，得 a=2c， 因为 |2， |2a 2， 由余弦定理得 ， 解得 c=1， a=2， b2=， 椭圆 C 的方程为 （ ）因为直线 斜率存在，设直线方程为 y=k（ x 1）， P（ Q（ x2， 联立 整理得（ 3+4812=0， 由韦达定理知 ， ， 此时 ，又 ，则 ， ，得到 或 则 2 或 ， 直线方程为 16x+8y 1=0 或 16x+24y 3=0 21已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点 P（ 2， ）处的切线方程； （ ）证明： f（ x） 2（ x 【考点】 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）通过导函数求解切线的斜率，得到切点坐标，然后求解切线方程 （ ）设函数 ， ， x（ 0， + ）， 设 h（ x） =2x， x （ 0， + ），求出导函数，通过导函数的符号，求解 g（ x）g（ 1） =e 2 0，从而证明结果 【解答】 解：（ ） ， ， ，又切点为， 所以切线方程为 ，即