2017年成都市九校联考高考数学四模试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省成都市九校联考高考数学四模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A x| 1 x 3 B x| 1 x 2 C x| 3 x 2 D x|1 x 2 2已知 ，则复数 z+5 的实部与虚部的和为（ ） A 10 B 10 C 0 D 5 3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入 a 的值 为 16， b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 4广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）： 广告费 x 2 3 4 5 6 销售额 y 29 41 50 59 71 由表可得到回归方程为 =，据此模型，预测广告费为 10 万元时的销售额约为（ ） A 设 a=b=c= x 1），则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C c b a D b c a 6哈市某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（ ） A 40 B 60 C 120 D 240 7如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A B 27 C 27 D 8设等差数列 足 3 ， 其前 n 项和，则数列 最大项为（ ） A B 已知变量 x， y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最小值为 2，则 + 的最小值为（ ） A 2+ B 5+2 C 8+ D 2 10已知函数 f（ x） =2x+） （ A 0， 0 ）的图象在 y 轴上的截距为 1，且关于直线 x= 对称，若对于任意的 x 0， ，都有 3m f（ x），则实数 m 的取值范围为（ ） A 1， B 1， 2 C ， 2 D ， 11如图所示点 F 是抛物线 x 的焦点，点 A、 B 分别在抛物线 x 及圆 x2+4x 12=0 的实线部分上运动，且 是平行于 x 轴，则 周长的取值范围是（ ） A（ 6， 10） B（ 8， 12） C 6， 8 D 8， 12 12若关于 x 的方程（ x 2） 2ex+x=2a|x 2|（ e 为自然对数的底数）有且仅有 6 个不等的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B（ e， + ） C（ 1， e） D（ 1， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 n= （ 2x+1） （ n 的展开式中 系数为 14设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B 两点， | C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 15在直角三角形 ， ， ，对平面内的任意一点 M，平面内有一点 D 使得 ，则 = 16设 数列 前 n 项和，已知 ，对任意 p、 q N*，都有 ap+q=ap+ f（ n） = （ n N*）的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，前 5 题每题 12 分，选考题 10 分，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17如图，在 ，点 P 在 上， 0， ， C=4 （ ） 求 （ ） 若 面积是 ，求 18学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3 小时的学生称为 “古文迷 ”，否则为 “非古文迷 ”，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 （ ）根据表中数据能否判断有 60%的把握认为 “古文迷 ”与性别有关？ （ ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行调查，求所抽取的 5人中 “古文迷 ”和 “非古文迷 ”的人数； （ ）现从（ ）中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行调查，记这 3 人中 “古文迷 ”的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 9如图 1，在直角梯形 ， E 是 起，使平面 平面 接 E，得到如图 2 所示的几何体 （ ）求证： 平面 （ ）若 ， ，求二面角 B E 的大小 20在平面直角坐标系中，直线 不过原点，且与椭圆 有两个不同的公共点 A， B （ ）求实数 m 取值所组成的集合 M； （ ）是否存在定点 P 使得任意的 m M，都有直线 倾斜角互补若存在，求出所有 定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） = （ ） 若函数 f（ x）有零点，求实数 a 的取值范围； （ ） 证明：当 a ， b 1 时， f（ 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，已知曲线 C： （ a 为参数），在以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （ 1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）过点 M（ 1， 0）且与直线 l 平行的直线 C 于 A， B 两点，求点 M 到A， B 两点的距离之积 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a 1|+|x 2a| （ ） 若 f（ 1） 3，求实数 a 的取值范围； （ ） 若 a 1， x R，求证： f（ x） 2 2017 年四川省成都市九校联考高考数学四模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A x| 1 x 3 B x| 1 x 2 C x| 3 x 2 D x|1 x 2 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 A，求函数定义域得出 B，再根据定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=2 x） =x|2 x 0=x|x 2， 则 A B=x| 1 x 2 故选： B 2已知 ，则复数 z+5 的实部与虚部的和为（ ） A 10 B 10 C 0 D 5 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： ， =（ 1+2i）（ 2+i） =5i，可得 z= 5i 则复数 z+5=5 5i 的实部与虚部的和为： 5 5=0 故选： C 3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入 a 的值为 16， b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出 a， b 的值，可得 当 a=b=8时，不满足条件 a b，输出 a 的值为 8，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=16， b=24 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=24 16=8， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=16 8=8， 不满足条件 a b，输出 a 的值为 8 故选： C 4广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）： 广告费 x 2 3 4 5 6 销售额 y 29 41 50 59 71 由表可得到回归方程为 =，据此模型，预测广告费为 10 万元时的销售额约为（ ） A 考点】 性回归方程 【分析】 求出数据中心，代入回归方程求出 ，再将 x=10 代入回归方程得出答案 【解答】 解：由题意， =4， =50 50=4 ，解得 = 回归方程为 = 当 x=10 时， =10+ 故选： C 5设 a=b=c= x 1） ，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C c b a D b c a 【考点】 4C：指数函数单调性的应用 【分析】 利用指数函数 y=对数函数的单调性，比较大小 【解答】 解： a=21=2 且 a=20=1， 1 a 2， 又 b=， x 1， c= ， c a b 故选 B 6哈市某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不 同的安排方案种数为（ ） A 40 B 60 C 120 D 240 【考点】 列、组合的实际应用 【分析】 本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有 种，然后再排到 5 个部门的两个部门中，排列方法有 算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项 【解答】 解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为 2， 2，考虑到重复一半，故分组方案应为 种， 第二步将此两组大学生分到 5 个部门中的两个部门中，不同的安排方式有 故不同的安 排方案有 0 种， 故选： B 7如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A B 27 C 27 D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球，从而求得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥， 其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3， 其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球， 所以外接球半径 R 满足： 2R= = ， 所以外接球 的表面积为 S=47 故选： B 8设等差数列 足 3 ， 其前 n 项和，则数列 最大项为（ ） A B 考点】 85：等差数列的前 n 项和 【分析】 设等差数列 公差为 d，由 3用通项公式化为 29d=0，由 ，可得 d 0， Sn=d= （ n 25） 2 d利用二次函数的单调性即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， 3 3（ d） =5（ 4d），化为 29d=0， ， d 0， 等差数列 调递减， Sn=d= + d= （ n 25） 2 d 当 n=25 时，数列 得最大值， 故选： C 9已知变量 x， y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最小值为 2，则 + 的最小值为（ ） A 2+ B 5+2 C 8+ D 2 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 画出可行域，利用目标函数去最小值得到 a， b 的等式，利用基本不等式求解 + 的最小值 【解答】 解：约束条件对应的 区域如图：目标函数 z=ax+a 0， b 0）经过 C 时取最小值为 2， 所以 a+b=2， 则 + = （ + ）（ a+b） = （ 4+ ） 2+ =2+ ； 当且仅当 a=b，并且 a+b=2 时等号成立； 故选 A 10已知函数 f（ x） =2x+） （ A 0， 0 ）的图象在 y 轴上的截距为 1，且关于直线 x= 对称，若对于任意的 x 0， ，都有 3m f（ x），则实数 m 的取值范围为（ ） A 1， B 1， 2 C ， 2 D ， 【考点】 弦函数 的图象 【分析】 利用函数 y=x+） +B 的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数 m 的取值范围 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+） （ A 0， 0 ）的图象在 ， =1，即 函数 f（ x） =2x+） 的图象关于直线 x= 对称， 2 +=，k Z， = ， A ， A= ， f（ x） = 2x+ ） 对于任意的 x 0， ，都有 3m f（ x）， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， 2x+ ） ， f（ x） 2， 1， 3m 2，求得 1 m 2， 故选： B 11如图所示点 F 是抛物线 x 的焦点，点 A、 B 分别在抛物线 x 及圆 x2+4x 12=0 的实线部分上运动，且 是平行于 x 轴，则 周长的取值范围是（ ） A（ 6， 10） B（ 8， 12） C 6， 8 D 8， 12 【考点】 物线的简单性质 【分析】 由 抛 物 线 定 义 可 得 | ，从而 周 长=|+（ +4=6+定 B 点横坐标的范围，即可得到结论 【解答】 解：抛物线的准线 l： x= 2，焦点 F（ 2， 0）， 由抛物线定义可得 |， 圆（ x 2） 2+6 的圆心为（ 2， 0），半径为 4， 周长 =|+（ +4=6+ 由抛物线 x 及圆（ x 2） 2+6 可得交点的横坐标为 2， （ 2， 6） 6+（ 8， 12） 故选 B 12若关于 x 的方程（ x 2） 2ex+x=2a|x 2|（ e 为自然对数的底数）有且仅有 6 个不等的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B（ e， + ） C（ 1， e） D（ 1， ） 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 令 g（ x） =|x 2|方程有 6 解等价于 x） 2x） +a=0 有6 解，判断 g（ x）的单调性得出 g（ x） =t 的根的分布情况，得出方程 2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出 a 的范围 【解答】 解： （ x 2） 2ex+x=2a|x 2|， （ x 2） 22a|x 2|ex+a=0， 令 g（ x） =|x 2|，则 g（ x） = ， 当 x 2 或 x 1 时， g（ x） 0，当 1 x 2 时， g（ x） 0， g（ x）在（ ， 1）上单调递增，在（ 1， 2）上单调递减，在（ 2， + ）上单调递增， 当 x=1 时， g（ x）取得极大值 t（ 1） =e， 又 x 时， g（ x） 0 ， g（ 2） =0， x + 时， g（ x） + ， 作出 g（ x）的函数图象如图所示： 令 g（ x） =t， 由图象可知：当 0 t e 时，方程 g（ x） =t 有 3 解；当 t=0 或 t e 时，方程 g（ x） =t 有 1 解； 当 t=e 时，方程 g（ x） =t 有 2 解；当 t 0 时，方程 g（ x） =t 无解 方程（ x 2） 22a|x 2|ex+a=0 有 6 解， 即 x） 2x） +a=0 有 6 解， 关于 t 的方程 2at+a=0 在（ 0， e）上有 2 解， ，解得 1 a 故选 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 n= （ 2x+1） （ n 的展开式中 系数为 18 【考点】 项式系数的 性质 【分析】 利用定积分先求出 n=6 ，再利用二项式定理通项公式求出= ，由此能求出（ n 的展开式中 系数 【解答】 解： n= （ 2x+1） x2+x） | =6， （ n=（ 6， = =（ 36 r）（ 1） r ， 令 =2，得 r=5， （ n 的展开式中 系数为：（ 36 5）（ 1） 5 = 18 故答案为： 18 14设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B 两点， | C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 【 考点】 曲线的简单性质 【分析】 设双曲线方程，由题意可得丨 = =2 2a，求得 据双曲线的离心率公式 e= = ，即可求得 C 的离心率 【解答】 解：设双曲线方程： （ a 0， b 0）， 由题意可知，将 x=c 代入，解得： y= ， 则丨 = ， 由丨 =2 2a， 则 双曲线离心率 e= = = ， 故答案为： 15在直角三角形 ， ， ，对平面内的任意一点 M，平面内有一点 D 使得 ，则 = 6 【考点】 9V：向量在几何中的应用 【分析】 据 题意，可分别以边 在直线为 x 轴， y 轴，建立一平面直角坐标系，得到 A（ 0， 3），并设 M（ x， y）， D（ x， y）， B（ b， 0），这样根据条件 即可得到 ，即得到 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值 【解答】 解：根据题意，分别以 x， y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： A（ 0， 3），设 M（ x， y）， B（ b， 0）， D（ x， y）； 由 得： 3（ x x， y y） =（ b x， y） +2（ x， 3 y）； ； ； 故答案为： 6 16设 数列 前 n 项和，已知 ，对任意 p、 q N*，都有 ap+q=ap+ f（ n） = （ n N*）的最小值为 【考点】 8E：数列的求和 【分析】 对任意 p、 q N*，都有 ap+q=ap+ p=n， q=1，可得 =an+ ，利用等差数列的求和公式可得 f（ n） = = =n+1+ 1，令 g（ x） =x+ （ x 1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】 解： 对任意 p、 q N*，都有 ap+q=ap+ p=n， q=1，可得 =an+ ， 数列 等差数列，公差为 2 n+ =n+ 则 f（ n） = = =n+1+ 1， 令 g（ x） =x+ （ x 1），则 g（ x） =1 = ，可得 x 1， 时，函数 g（ x）单调递减； x 时，函数 g（ x）单调递增 又 f（ 7） =14+ ， f（ 8） =14+ f（ 7） f（ 8） f（ n） = （ n N*）的最小值为 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，前 5 题每题 12 分，选考题 10 分，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17如图，在 ，点 P 在 上， 0， ， C=4 （ ） 求 （ ） 若 面积是 ，求 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】 （ ） 在 ，由余弦定理得 4=0，解得 ，可得 等边三角形，即可得解 （ ） 法 1：由已知可求 20利用三角形面积公式可求 进而利用余弦定理可求 ，由正弦定理可求 的值 法 2：作 足为 D，可求： ，利用三 角形面积公式可求 进而可求 利用三角函数的定义可求， 利用两角差的正弦函数公式可求 30）的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 在 ，因为 0， ， C=4， 由余弦定理得 2C 所以 22= 4 2 2 4 整理得 4=0， 解得 所以 所以 等边三角形 所以 0 （ ） 法 1：由于 外角，所以 20 因为 面积是 ，所以 所以 在 ， 2B2+32 2 2 3 19， 所以 在 ，由正弦定理得 ， 所以 = 法 2：作 足为 D， 因为 边长为 2 的等边三角形， 所以 因为 面积是 ，所以 所以 所以 在 ， ， 所以 ， 所以 30） = = = 18学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3 小时的学生称为 “古文迷 ”，否则为 “非古文迷 ”，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 （ ）根据表中数据能否判断有 60%的把握认为 “古 文迷 ”与性别有关？ （ ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行调查，求所抽取的 5人中 “古文迷 ”和 “非古文迷 ”的人数； （ ）现从（ ）中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行调查，记这 3 人中 “古文迷 ”的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 考点】 性回归方程 【分析】 （ ）求出 临界值比较，即可得出结论； （ ）调查的 50 名女生中 “古文迷 ”有 30 人， “非古文迷 ”有 20 人，按分层抽样的方法抽出 5 人，即可得出结论； （ ） 的所有取值为 1， 2， 3求出相应的概率，即可求随机变量 的分布列与数学期望 【解答】 解：（ ）由列联表得 所以没有 60%的把握认为 “古文迷 ”与性别有关 （ ）调查的 50 名女生中 “古文迷 ”有 30 人， “非古文迷 ”有 20 人，按分层抽样的方法抽出 5 人，则 “古文迷 ”的人数为 =3 人， “非古文迷 ”有 =2 人 即抽取的 5 人 中 “古文迷 ”和 “非古文迷 ”的人数分别为 3 人和 2 人 （ ）因为 为所抽取的 3 人中 “古文迷 ”的人数，所以 的所有取值为 1， 2， 3 P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = 所以随机变量 的分布列为 1 2 3 P 于是 +2 +3 = 19如图 1，在直角梯形 ， E 是 起，使平面 平面 接 E，得到如图 2 所示的几何体 （ ）求证： 平面 （ ）若 ， ，求二面角 B E 的大小 【考点】 面角的平面角及求法； 线与平面垂直的判定 【分析】 （ ） 只需证明 ，得 平面（ ） 易得 ，建立空间直角坐标 D D（ 0， 0， 0）， B（ ，0， 0）， C（ 0， ， 0）， E（ ， ， 0）， A（ ）， 求出平面 法向量，平面 法向量，由 求得二面角B E 的大小为 600 【解答】 解：（ ）证明：因为平面 平面 平面 平面 D， 又 以 平面 因为 面 以 又 ，所以 平面 （ ） ， 依题意 所以 ，即 如图所示，建立空间直角坐标 D D（ 0， 0， 0）， B（ ， 0， 0）， C（ 0， 0）， E（ ， ， 0）， A（ ）， ， ） 由（ ）知平面 法向量 设平面 法向量 由 ，令 x= ，可取 ） 所以 由图可知二面角 B E 的平面角为锐角， 所以二面角 B E 的大小为 600 20在平面直角坐标系中，直线 不过原点，且与椭圆 有两个不同的公共点 A， B （ ）求实数 m 取值所组成的集合 M； （ ）是否存在定点 P 使得任意的 m M，都有直线 倾斜角互补若存在，求出所有定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由直线 不过原点，知 m 0，将 与联立，得： ，由此利用根的判别式，能求出实数 m 的范围组成的集合 M （ 2）假设存在定 点 P（ 得任意的 m M，都有直线 倾斜角互补，则 ，令 ，得：，由此利用韦达定理能求出所有定点 P 的坐标 【解答】 解：（ 1）因为直线 不过原点，所以 m 0， 将 与 联立，消去 y 得： ， 因为直线与椭圆有两个不同的公共点 A， B， 所以 =816（ 4） 0，解得 ， 所以实数 m 的范围组成的集合 M 是 ； （ 2）假设存在定点 P（ 得任意的 m M，都有直线 倾斜角互补， 即 ，令 ， 所以 ， 整理得： ， 由（ 1）知 的两个根， 所以 ， 代入（ *）化简得 ， 由题意 解得 或 所以定点 P 的坐标为 或 ， 经检验，满足题意， 所以存在定点 P 使得任意的 m M，都有直线 倾斜角互补， 坐标为 或 21已知函数 f（ x） = （ ） 若函数 f（ x）有零点，求实数 a 的取值范围； （ ） 证明：当 a ， b 1 时， f（ 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）法一：求出函数 f（ x）的导数，得到函数的单调区间，求出 f（ x）的最小值， 从而求出 a 的范围即可； 法二：求出 a= g（ x） = 据函数的单调性求出 g（ x）的最大值，从而求出 a 的范围即可； （ ）令 h（ x） =a，通过讨论 a 的范围，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ）法 1：函数 的定义域为（ 0， + ） 由 ，得 因为 a 0，则 x （ 0， a）时， f（ x） 0； x （ a， + ）时， f（ x） 0 所以函数 f（ x）在（ 0， a）上单调递减，在（ a， + ）上单调递增 当 x=a 时， f（ x） 当 0，即 0 a 时，又 f（ 1） =a=a 0，则函数 f（ x）有零点 所以实数 a 的取值范围为 法 2：函数 的定义域为（ 0， + ） 由 ，得 a= 令 g（ x） = g（ x） =（ ） 当 时， g（ x） 0； 当 时， g（ x） 0 所以函数 g（ x）在 上单调递增，在 上单调递减 故 时，函数 g（ x）取得最大值 因而函数 有零点，则 所以实数 a