2017年四川省广元市高考数学三诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省广元市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|4x 0， B=x|x a，若 A B，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 4） C 4， + ） D（ 4， + ） 2 “x 2”是 “3x+2 0”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3欧拉公式 i 为 虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为 “数学中的天桥 ”根据欧拉公式可知， e 表示的复数的模为（ ） A B 1 C D 4已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点在直线 x=6 上，其中一条渐近线方程为 y= x，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 100 B 82 C 96 D 112 6若数列 正项数列，且 + + + =n2+n，则 + + 等于（ ） A 2n B n C 2n2+n D 2（ n） 7已知函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期为 B直线 x= 是函数 f（ x）图象的一条对称轴 C函数 f（ x）在区间 ， 上单调递增 D将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）=2 中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”人们把此类题目称为 “中国剩余定理 ”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（ 例如 11=2（ 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 ） A 21 B 22 C 23 D 24 9对于四面体 A 以下命题： 若 C=点 A 在底面 外心； 若 点 A 在底面 的射影是 内心； 四面体 A 四个面中最多有四个直角三角形； 若四面体 A 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 其中正确的命题是（ ） A B C D 10对于 n 个向量 ， ， ， ， ，若存在 n 个不全为 0 的示数 k2， ， 得： + 成立；则称向量 ， ， ， ，是线性相关的，按此规定，能使向量 =（ 1， 0）， =（ 1， 1）， =（ 2，2）线性相关的实数 值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 11已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），满足 f（ x+4） =f（ x），且 x 0， 2时，f（ x） =|则方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 12抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 =1（ a 0，b 0）的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D +1 二 、填 空题 若等比数列 各项均 为正数，且 则 + 14若实数 x， y 满足不等式组 则 z=3x y 的最小值为 15在 2， 2上随机抽取两个实数 a， b，则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 16设函数 f（ x） = ，对任意 （ 0， + ），不等式恒成立，则正数 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分） 2017 年春节晚会与 1 月 27 日晚在 行直播某广告策划公司为了了解本单位员工对春节晚会的关注情况，春节后对本单位部分员工进行了调查其中有 75%的员工看春节晚会直播时间不超过 120 分钟，这一部分员工看春节晚会直播时间的茎叶图如图（单位：分钟），而其中观看春节晚会直播时间超过 120 分钟的员工中，女性员工占 若观看春节晚会直播时间不低于 60分钟视为 “喜爱春晚 ”，否则视为 “不喜爱春晚 ” 附：参考数据： P（ 考公式： ， n=a+b+c+d （ ）若从观看春节晚会直播时间为 120 分钟的员工中抽取 2 人，求 2 人中恰好有 1 名女性员工的概率； （ ）试完成下面的 2 2 列联表，并依此数据判断是否有 上的把握认为 “喜爱春晚 ”与性别相关？ 喜爱春晚 不喜爱春晚 合计 男性员工 女性员工 合计 18（ 12 分）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 3（ b2+3 （ ）若 ，求 大小； （ ）若 a=2， 面积 ，且 b c，求 b， c 19（ 12 分）如图，四边形 梯形四边形 矩形且平面 平面 0， M 是线段 的动点 （ ）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ ）在（ ）的条件下，且 5， ， 接 三棱锥 M 体积 20（ 12 分）已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右两个焦点 心率，短轴长为 2 （ ）求椭圆的方程； （ ）如图，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 延长线与椭圆交于 延长线与椭圆交于 C 点，求 积的最大值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ x）与 g（ x）在 x=1 处相切，试求 g（ x）的表达式； （ ）若 在 1， + ）上是减函数，求实数 m 的取值范围； （ ）证明不等式： 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系 ，曲线 （ 是参数） 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 3=0点 1 上的动点 （ 1）求点 P 到曲线 距离的最大值； （ 2）若曲线 = 交曲线 A， B 两点，求 面积 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x a|，其中 a 1 （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 4 |x 4|的解集； （ 2）已知关于 x 的不等式 |f（ 2x+a） 2f（ x） | 2 的解集 x|1 x 2，求 2017 年四川省广元市高考数学三诊试卷（文科） 参考答案 与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|4x 0， B=x|x a，若 A B，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 4 B（ ， 4） C 4， + ） D（ 4， + ） 【考点】 18：集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用一元二次不等式可化简集合 A，再利用 A B 即可得出 【解答】 解：对于集合 A=x|4x 0，由 4x 0，解得 0 x 4； 又 B=x|x a， A B， a 4 实数 a 的取值范围是 a 4 故选 C 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，属于基础题 2 “x 2”是 “3x+2 0”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义分别进行证明即可 【解答】 解： 3x+2 01 x 2， 1 x 2x 2 且 x 2 推不出 1 x 2， “x 2”是 “3x+2 0”成立的必要不 充分条件， 故选 B 【点评】 本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题 3欧拉公式 i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为 “数学中的天桥 ”根据欧拉公式可知， e 表示的复数的模为（ ） A B 1 C D 【考点】 数求模 【分析】 直接由题意可得 =再由复数模的计算公式得答案 【解答】 解：由题意， = e 表示的复数的 模为 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 4已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点在直线 x=6 上，其中一条渐近线方程为 y= x，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 曲线的标准方程 【分析】 根据题意得到 c=6，结合渐近线方程得到 b= a、 c2=a2+出方程组，求得 a、 b 的值即可 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点在直线 x=6 上， c=6， 即 62=a2+ 又双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= x， b= a 由 解得： ， 7 故选： C 【点评】 本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程的方法，以及双曲线的简单性质得应用 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 100 B 82 C 96 D 112 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体， 长方体的体积为： 6 6 3=108， 棱锥的体积为： 4 3 4=8， 故组合体的体积 V=108 8=100， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档 6若数列 正项数列，且 + + + =n2+n，则 + + 等于（ ） A 2n B n C 2n2+n D 2（ n） 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 利用数列递推关系可得 利用等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解： + + + =n2+n， n=1 时， =2，解得 n 2 时， + + + =（ n 1） 2+n 1， 相减可得： =2n， n=1 时也成立 =4n 则 + + =4（ 1+2+ +n） =4 =2n 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7已知函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期为 B直线 x= 是函数 f（ x）图象的一条对称轴 C函数 f（ x）在区间 ， 上单调递增 D将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）=2考点】 弦函数的图象 【分析】 先求出函数的解析式，再进行判断，即可得出结论 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ A， ， 为常数， A 0， 0，| ）的部分图象， 可得 A=2，图 象的一条对称轴方程为 x= = ，一个对称中心为为（ ，0）， = = ， T= ， =2， 代入（ ， 2）可得 2=22 +）， | ， = ， f（ x） =22x ），将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，可得 g（ x） =2（ x+ ） =2 故选： D 【点评】 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键 8中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”人们把此类题目称为 “中国剩余定理 ”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（ 例如 11=2（ 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 ） A 21 B 22 C 23 D 24 【考点】 序框图 【分析】 该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 2 的数，根据所给的选项，得出结论 【解答】 解：该程序框图的作用是求被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3的数， 在所给的选项中，满足被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3 的数只有 23， 故选： C 【点评】 本题主要考查程序框图的应用，属于基础题 9对于四面体 A 以下命题： 若 C=点 A 在底面 外心； 若 点 A 在底面 的射影是 内心； 四面体 A 四个面中最多有四个直角三角形； 若四面体 A 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 其中正确的命题是（ ） A B C D 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 对于 ，根据射影的定义即可判断； 对于 ，根据三 垂线定理的逆定理可知， O 是 垂心， 对于 在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数， 对于 作出正四面体的图形，球的球心位置，说明 内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积 【解答】 解：对于 ，设点 A 在平面 的射影是 O，因为 C=以 C= 则点 A 在底面 的射影是 外心，故 正确； 对于 设点 A 在平面 的射影是 O，则 平面 的射影，因为 据三垂线定理的逆定理可知： 理可证 以 O 是 垂心，故 不正确； 对于 ：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是 4故 正确 对于 ，如图 O 为正四面体 内切球的球心，正四面体的棱长为： 1； 所以 内切球的半径， F= ， ， 所以 = ， 因为 所以（ 2 ） 2， 所以 ， 所以球的表面积为： 4，故 正确 故选 D 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想 象能力，是中档题 10对于 n 个向量 ， ， ， ， ，若存在 n 个不全为 0 的示数 k2， ， 得： + 成立；则称向量 ， ， ， ，是线性相关的，按此规定，能使向量 =（ 1， 0）， =（ 1， 1）， =（ 2，2）线性相关的实数 值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 9F：向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 由线性相关的定义可得 ，从而可得 k1+，问题得以解决 【解答】 解：由于向量 =（ 1， 0）， =（ 1， 1）， =（ 2， 2）线性相关， 所以 ， 即 1， 0） +1， 1） +2， 2） = ， 即（ k1+ = ， 所以 k1+， ， 所以 ， 故选： B 【点评】 本题考查平面向量的坐标运算，属基础题 11已知定义在 R 上的偶函数 f（ x），满足 f（ x+4） =f（ x），且 x 0， 2时，f（ x） =|则方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 由已知写出分段函数，然后画出图象，数形结合得答案 【解答】 解： f（ x） =| ， 由 f（ x+4） =f（ x），可知 f（ x）是以 4 为周期的周期函数， 方程 f（ x） |0 即 f（ x） =|方程的根即为两函数 y=f（ x）与 y=|象交点的横坐标， 作出函数图象如图： 由图可知，方程 f（ x） |0 在区间 0， 10上根的个数是 19 故选： C 【点评】 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题 12抛物线 p 0）的焦点为 F，其准线经过双曲线 =1（ a 0，b 0）的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D +1 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 确定抛物线 p 0）的焦点与准线方程，利用点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p，求 出 M 的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为 F（ ， 0），其准线方程为 x= ， 准线经过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点， c= ； 点 M 为这两条曲线的一个交点，且 |p， M 的横坐标为 ， 代入抛物线方程，可得 M 的纵坐标为 p， 将 M 的坐标代入双曲线方程，可得 =1， a= p， e=1+ 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定 M 的坐标是关键 二、填空题 （ 2017广元 模拟）若等比数列 各项均为正数，且 +50 【考点】 8G：等比数列的性质 【分析】 直接由等比数列的性质结合已知得到 后利用对数的运算性质化简后得答案 【解答】 解： 数列 等比数列，且 0=a 20） =10 =10=0 故答案为： 50 【点评】 本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题 14若实数 x， y 满足不等式组 则 z=3x y 的最小值为 3 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x y 得 y=3x z， 平移直线 y=3x z 由图象可知当直线 y=3x z 经过点 C（ 0， 3）时，直线 y=3x z 的截距最大， 此时 z 最小 此时 z=0 3= 3， 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键 15在 2， 2上随机抽取两个实数 a， b，则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 【考点】 何概型 【分析】 根据直线和圆相交的条件求出 a， b 的关系，利用线性规划求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：根据题意，得 ， 又直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交， d r， 即 ， 得 |a+b 1| 2， 所以 1 a+b 3； 画出图形，如图所示； 则事件 “直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相交 ”发生的概率为 P= = = 故答案为： 【点评】 本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆相交的位置关系求出 a，b 的关系是解决本题的关键注意利用数形结合以及线性规划的知识 16设函数 f（ x） = ，对任意 （ 0， + ），不等式恒成立，则正数 k 的取值范围是 k 1 【考点】 3R：函数恒成立问题 【分析】 当 x 0 时， = ，利用基本不等式可求 f（ x）的最小值，对函数 g（ x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求 g（ x）的最大值，由 恒成立且 k 0，则 ，可求 【解答】 解： 当 x 0 时， = =2e （ 0， + ）时，函数 f（ 最小值 2e = 当 x 1 时， g（ x） 0，则函数 g（ x）在（ 0， 1）上单调递增 当 x 1 时， g（ x） 0，则函数在（ 1， + ）上单调递减 x=1 时，函数 g（ x）有最大值 g（ 1） =e 则有 （ 0， + ）， f（ e g（ e 恒成立且 k 0， k 1 故答案为 k 1 【点评】 本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 12 分）（ 2017广元模拟） 2017 年春节晚会与 1 月 27 日晚在 行直播某广告策划公司为了了解本单位员工对春节晚会的关注情况，春节后对本单位部分员工进行了调查其中有 75%的员工看春节晚会直播时间不超过 120分钟，这一部分员工看 春节晚会直播时间的茎叶图如图（单位：分钟），而其中观看春节晚会直播时间超过 120 分钟的员工中，女性员工占 若观看春节晚会直播时间不低于 60 分钟视为 “喜爱春晚 ”，否则视为 “不喜爱春晚 ” 附：参考数据： P（ 考公式： ， n=a+b+c+d （ ）若从观看春节晚会直播时间为 120 分钟的员工中抽取 2 人，求 2 人中恰 好有 1 名女性员工的概率； （ ）试完成下面的 2 2 列联表，并依此数据判断是否有 上的把握认为 “喜爱春晚 ”与性别相关？ 喜爱春晚 不喜爱春晚 合计 男性员工 女性员工 合计 【考点】 立性检验的应用； 典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ） 120 分钟时男性有 4 人，女性有 2 人，即可求 2 人中恰好有 1 名女性员工的概率； （ ）根据所给数据完成 2 2 列联表，求出 临界值比较，得出有 上的把握认为 “喜爱春晚 ”与性别相关 【解答】 解：（ ） 120 分钟时男 性有 4 人，女性有 2 人 设 2 人中恰好有 1 名女性为事件 A P（ A） = = ； （ ） 2 2 列联表 喜爱春晚 不喜爱春晚 合计 男性员工 40 5 45 女性员工 16 14 30 合计 56 19 75 有 上的把握认为 “喜爱春晚 ”与性别相关 【点评】 本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017广元模拟）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 3（ b2+=3 （ ）若 ，求 大小； （ ）若 a=2， 面积 ，且 b c，求 b， c 【考点】 弦定理的应用 【分析】 （ ）由 3（ b2+=3用余弦定理，可得 据 ，即可求 大小； （ ）利用面积及余弦定理，可得 b、 c 的两个方程，即可求得结论 【解答】 解：（ ） 3（ b2+=3 = ， ， ； （ ） 面积 ， ， a=2， 由余 弦定理可得 4=b2+2 b2+ b c， 联立 可得 b= ， c= 【点评】 本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017广元模拟）如图，四边形 梯形四边形 矩形且平面 平面 0， M 是线段 的动点 （ ）试确定点 M 的位置，使 平面 说明理由； （ ）在（ ）的条件下，且 5， ， 接 三棱锥 M 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）当 M 是 段的中点时，连接 N，连接 导出 此能证明 平面 （ 2）由 F 求出三棱锥 M 体积 【解答】 解：（ 1）当 M 是 段的中点时， 平面 明如下： 连接 N，连接 由于 M、 N 分别是 中点，所以 由于 面 面 所以 平面 （ 2） 5， ， E=1， ， F S ， h=， 三棱锥 M 体积 = 【点评】 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题 20（ 12 分）（ 2017广元模拟）已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右两个焦点 心率 ，短轴长为 2 （ ）求椭圆的方程； （ ）如图 ，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 延长线与椭圆交于 延长线与椭圆交于 C 点，求 积的最大值 【考点】 圆的简单性质； 线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由题意解得 b，利用离心率以及 a， b， c 的关系求解 a， b，即可得到椭圆的方程 （ ） 当直线 斜率不存在时，求解三角形的面积； 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=k（ x 1），联立方程组 ，设 A（ x1， B（ 利用韦达定理弦长公式求出 |通过点 O 到直线 y k=0 的 距离求出 d，表示出三角形的面积利用基本不等式求解最值 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）由题意得 2b=2，解得 b=1， （ 1 分） ， a2=b2+ ， c=1， 故椭圆的标准方程为 （ 3 分） （ ） 当直线 斜率不存在时，不妨取 ， ， C（ 1，）， 故 ： （ 4 分） 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=k（ x 1）， 联立方程组 ， 化简得（ 2） 42=0， 设 A（ B（ ， ， （ 6 分）= =， （ 8 分） 点 O 到直线 y k=0 的距离 = 因为 O 是线段 中点，所以点 C 到直线 距离为 2d= ， （ 9 分） =2 （ 11 分） 综上， 积的最大值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 21（ 12 分）（ 2017广元模拟）已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ x）与 g（ x）在 x=1 处相切，试求 g（ x）的表达式； （ ）若 在 1， + ）上是减函数，求实数 m 的取值范围； （ ）证明不等式： 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，根据 f（ 1） = a，求出 a 的值，根据 g（ 1）=0，求出 b 的值，从而求出 g（ x）的解析式即可； （ ）求出 （ x）的导数，问题转化为 2m 2） x+1 0 在 1， + ）上恒成立，求出 m 的范围即可； （ ）根据 得到： ，对 x 取值，累加即可 【解答】 解：（ ）由于 f（ x）与 g（ x）在 x=1 处相切 且 得： a=2（ 2分） 又 b= 1 g（ x） =x 1（ 3 分） （ ） = 在 1， + ）上是减函数， 在 1， + ）上恒成立 即 2m 2） x+1 0 在 1， + ）上恒成立，由 ， x 1， + ） 又 2m 2 2 得 m 2（ 7 分） （ ）由（ ）可得：当 m=2 时： （ x） = 在 1， + ）上是减函数， 当 x 1 时： （ x） （ 1） =0 即 0 所以 从而得到： （ 10 分） 当 x=2 时： 当 x=3 时： 当 x=4 时： 当 x=n+1 时： ， n N+， n 2 上述不等式相加得： = = 即 （ n N+， n 2） （ 12 分） 【点评】 本题考查了函数的单