内蒙古呼和浩特市2017届中考数学一模试卷含答案解析

2017 年内蒙古呼和浩特市中考数学一模试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 2， 1， 0， 四个数中，绝对值最小的数是（ ） A B 2 C 0 D 1 2下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3要使分式 有意义，则 x 的取值应满足（ ） A x 2 B x 2 C x 1 D x=1 4对 “某市明天下雨的概率是 80%”这句话，理解正确的是（ ） A某市明天将有 80%的时间下雨 B某市明天将有 80%的地区下雨 C某市明天一定会下雨 D某市明天下雨的可能性较大 5在平面直角坐标系中，点 P（ ， 2）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6下列计算正确的是（ ） A 2 a b =a D（ ） x 1= 7设函数 y= （ k 0， x 0）的图象如图所示，若 z= ，则 z 关于 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 8已知 a， b， c 为常数，且（ a c） 2 a2+关于 x 的方程 bx+c=0 根的情况是（ ） A用两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C不确定，与 b 的取值有关 D无实数根 9有以下四个命题： 半径为 2 的圆内接正三角形的边长为 2 ； 有两边及其一个角对应相等的两个三角形全等； 从装有大小和质地完全相同的 3 个红球和 2 个黑球的袋子中，随机摸取 1 个球，摸到红色球和黑色球的可能性相等； 函数 y= x，当 y 3 时，对应的 x 的取值为 x 3 或 x 1，其中假命题的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 10如图， C=4， C=72， D 是 中点，点 E 在 ， B，则 值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 如图，已知 a， b， c， d 四条直线， a b， c d， 1=110，则 2 等于 12某商品的进价为每件 100 元，按标价打八折售出后每件可获利 20 元，则该商品的标价为每件 元 13在数轴上从满足 |x| 2 的任意实数 x 对应的点中随机选取一点，则取到的点对应的实数大于 1 的概率为 14分解因式： 6a= 15如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为 4 的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 16如图，在菱形 ， 0， ，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、 B、 C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、 D（ P、 D 两点不重合）两点间的最短距离为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17（ 10 分）计算、求值： （ 1）计算： | 2|+（ ） 1（ +1）（ 1）； （ 2）已知单项式 21 与 同类项，求 m， n 的值 18（ 7 分）如图， 中位线，过点 C 作 延长线于点 F （ 1）求证： E； （ 2）若 C，判断四边形 形状 19（ 10 分）为了解 “足球进校园 ”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射门 5 次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本 ，对进球的人数进行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有 22 人，女生进球个数的众数为 2，中位数为 3 女生进球个数的统计表 进球数（个） 人数 0 1 1 2 2 x 3 y 4 4 5 2 （ 1）求这个班级的男生人数，补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进 2 个球的扇形的圆心角度数； （ 2）写出女生进球个数统计表中 x， y 的值； （ 3）若该校共有学生 1880 人，请你估计全校进球数不低于 3 个的学生大约多少人？ 20（ 6 分）如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31的方向上，沿河岸向北前行 30 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 21（ 6 分）已知关于 x 的不等式组 有解，求实数 a 的取值范围，并写出该不等式组的解集 22（ 7 分）在直角坐标系中，直线 y=（ k 0）与双曲线 y= （ x 0）相交于点 P（ 1， m） （ 1）求 k 的值； （ 2）若双曲线上存在一点 Q 与点 P 关于直线 y=x 对称，直线 y= 与 x 轴交于点 A，求 面积 23（ 7 分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元 （ 1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （ 2）商场决定甲商品以每件 40 元出售，乙商品以每件 90 元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品 共 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润 24（ 9 分）如图，已知： O 的弦，过点 B 作 O 于点 C，过点 C 作 O 的切线交 延长线于点 D，取 中点 E，过点 E 作 延长线于点 F，连接 延长交 延长线于点 G 求证： （ 1） G； （ 2） C 25（ 10 分）抛物线 y=c 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点 C，点 P 为抛物线上一点，且位 于 x 轴下方 （ 1）如图 1，若 P（ 1， 3）， B（ 4， 0） D 是抛物线上一点，满足 D 与 B 分布位于直线 两侧，求点 C 与点 D 的坐标； （ 2）如图 2， A， B 是抛物线 y=c 与 x 轴的两个交点，直线 y 轴分别交于 E， F 两点，当点 P 在 x 轴下方的抛物线上运动时， 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由（记 B=t） 2017 年内蒙古呼和浩特市中 考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 2， 1， 0， 四个数中，绝对值最小的数是（ ） A B 2 C 0 D 1 【考点】 18：有理数大小比较； 15：绝对值 【分析】 首先求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则，判断出 2， 1， 0， 四个数中，绝对值最小的 数是哪个即可 【解答】 解： | 2|=2， | 1|=1， |0|=0， | |= ， 2 1 0， 2， 1， 0， 四个数中，绝对值最小的数是 0 故选： C 【点评】 此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正数都大于 0； 负数都小 于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小 2下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 心对称图形； 对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，是中心 对称图形故此选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误 故选： A 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3要使分式 有意义，则 x 的取值应满足（ ） A x 2 B x 2 C x 1 D x=1 【考点】 62：分式有意义的条件 【分析】 分式有意义：分母不等于零 【解答】 解：依题意得： x+2 0， 解得 x 2 故选： B 【点评】 本题考查了分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零 4对 “某市明天下雨的概率是 80%”这句话，理解正确的是（ ） A某市明天将有 80%的时间下雨 B某市明天将有 80%的地区下雨 C某市明天一定会下雨 D某市明天下雨的可能性较大 【考点】 率的意义 【分析】 根据概率的意义进行解答即可 【解答】 解： “某市明天下雨的概率 是 80%”说明某市明天下雨的可能性较大， 故选： D 【点评】 本题考查的是概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生 5在平面直角坐标系中，点 P（ ， 2）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 的坐标 【分析】 根据各象限内点的坐标特征解答 【解答】 解： 0， 点 P（ ， 2）在第一象限 故选 A 【点评】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（ +， +）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（ +，） 6下列计算正确的是（ ） A 2 a b =a D（ ） x 1= 【考点】 6C：分式的混合运算； 49：单项式乘单项式； 6F：负整数指数幂 【分析】 根据整式的运算以及分式的运算法则即可求出答案 【解答】 解：（ A）原式 =6 A 错误； （ B） 2是同类项，不能合并，故 B 错误； （ C）原式 =a = ，故 C 错误； 故选（ D） 【点评】 本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型 7设函数 y= （ k 0， x 0）的图象如图所示，若 z= ，则 z 关于 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 【考点】 比例函数的图象 【分析】 根据反比例函数解析式以及 z= ，即可找出 z 关于 x 的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出 k 0，结合 x 的取值范围即可得出结论 【解答】 解： y= （ k 0， x 0）， z= = = （ k 0， x 0） 反比例函数 y= （ k 0， x 0）的图象在第一象限， k 0， 0 z 关于 x 的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象 故选 D 【点评】 本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出 z 关于 x 的函数解析式本 题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出 z 关于 x 的函数关系式是关键 8已知 a， b， c 为常数，且（ a c） 2 a2+关于 x 的方程 bx+c=0 根的情况是（ ） A用两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C不确定，与 b 的取值有关 D无实数根 【考点】 的判别式 【分析】 利用完全平方的展开式将（ a c） 2 展开，即可得出 0，再结合方程bx+c=0 根的判别式 =4可得出 0，由此即可得出结论 【解答】 解： （ a c） 2=a2+2a2+ 0 在方程 bx+c=0 中， =4 40， 方程 bx+c=0 有两个不相等的实数根 故选 B 【点评】 此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0 时，方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0 时，方程有两个相等的实数根；（ 3） 0 时，方程没有实数根也考查了完全平方公式 9有以下四个命题： 半径为 2 的圆内接正三角形的边长为 2 ； 有两边及其一个角对应相等的两个三角形全等； 从装有大小和质地完全相同的 3 个红球和 2 个黑球的袋子中，随机摸取 1 个球，摸到红色球和黑色球的可能性相等； 函数 y= x，当 y 3 时，对应的 x 的取值为 x 3 或 x 1，其中假命题的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 题与定理 【分析】 利用正多边形和圆、全等三角形的判定、概率公式及二次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】 解： 半径为 2 的圆内接正三角形的边长为 2 ，正确，是真命题； 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故错误，是假命题； 从装有大小和质地完全相同的 3 个红球和 2 个黑球的袋子中，随机摸取 1 个球，摸到红色球的可能性大于摸到黑色球的可能性，故错误，是假命题； 函数 y= x，当 y 3 时，对应的 x 的取值为 1 x 3，故错误，是假命题， 假命题有 3 个， 故选 B 【点评】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正多边形和圆、全等三角形的判定、概率公式及二次函数的性质的知识，难度不大 10如图， C=4， C=72， D 是 中点，点 E 在 ， B，则 值为（ ） A B C D 【考点】 金分割； 段垂直平分线的性质； 腰三角形的性质；直角三角形 【分析】 根据三角形内角和 定理求出 A，根据等腰三角形的性质得到点 E 是线段 黄金分割点，根据余弦的概念计算即可 【解答】 解： C， C=72， A=36， D 是 中点，点 E 在 ， B， A=36， 点 E 是线段 黄金分割点， E= 4=2（ 1）， = ， 故选： C 【点评】 本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、黄金分割的概念，掌握等腰三角形的性质、熟记黄金比值是解题的关键 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11如图，已知 a， b， c， d 四条直线， a b， c d， 1=110，则 2 等于 70 【考点】 行线的性质 【分析】 根据平行线的性质得到 3= 1， 4= 3，然后由邻补角的定义即可得到结论 【解答】 解： a b， c d， 3= 1， 4= 3， 1= 4=110， 2=180 4=70， 故答案为： 70 【点评】 本题考查了平行线的性质，解题时注意：运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键 12某商品的进价为每件 100 元，按标价打八折售出后每件可获利 20 元，则该商品的标价为每件 150 元 【考点】 8A：一元一次方程的应用 【分析】 设该商品的标价为每件为 x 元，根据八折出售可获利 20 元，可得出方程： 80%x 100=20，再解答即可 【解答】 解：设该商品的标价为每件 x 元， 由题意得： 80%x 100=20， 解得： x=150 答：该商品的标价为每件 150 元 故答案为： 150 【点评】 此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般 13在数轴上从满足 |x| 2 的任意实数 x 对应的点中随机选取一点，则取到的点对应的实数大于 1 的概率为 【考点】 何概率； 29：实数与数轴 【分析】 直接利用数轴的性质 ，结合 a 的取值范围得出答案 【解答】 解： |x| 2， 2 x 2，在数轴上任取一个比 2 大比 2 小的实数 a 对应的点有： 2 a 1， 1 a 0， 0 a 1， 1 a 2， 4 种情况， 当 a 1 时有 1 a 2， 取到的点对应的实数大于 1 的概率为： ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了几何概率，正确利用数轴，结合 a 的取值范围求解是解题关键 14分解因式： 6a= a（ a 5）（ a 1） 【考点】 57：因式分解十字相乘法等； 53：因式分解提公因式法 【分析】 原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可 【解答】 解：原式 =a（ 6a+5） =a（ a 5）（ a 1） 故答案是： a（ a 5）（ a 1） 【点评】 此题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 15如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为 4 的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 4 【考点】 锥的计算； 三视图判断几何体 【分析】 先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为 2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高 【解答】 解：设圆锥的底面圆的半径为 r，则 ，解得 r=2， 因为圆锥的主视图是等边三角形， 所以圆锥的母线长为 4， 所以它的左视图的高 = =2 ， 所以左视图的面积为 4 2 =4 故答案为 4 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 16如图，在菱形 ， 0， ，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、 B、 C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、 D（ P、 D 两点不重合）两点间的最短距离为 2 2 【考点】 形的性质； 腰三角形的判定； 边三角形的性质 【分析】 分三种情形讨论 若以边 底 若以边 底 若以边 底分别求出 最小值，即可判断 【解答】 解： 若以边 底，则 直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了 “直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短 “，即当点 P 与点 A 重合时， 最小，为 2； 若以边 底， 顶角时 ，以点 B 为圆心， 为半径作圆，与 弧 点 C 外）上的所有点都满足 等腰三角形，当点 P 在 时， 小，最小值为 23 2； 若以边 底， 顶角，以点 C 为圆心， 半径作圆，则弧 的点 A 与点 D 均满足 等腰三角形，当点 P 与点 D 重合时， 小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述， 最小值为 2 2 【点评】 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17（ 10 分）（ 2017呼和浩特一模）计算、求值： （ 1）计算： | 2|+（ ） 1（ +1）（ 1）； （ 2）已知单项式 21 与 同类项，求 m， n 的值 【考 点】 79：二次根式的混合运算； 34：同类项； 6F：负整数指数幂 【分析】 （ 1）利用绝对值的定义结合平方差公式计算得出答案； （ 2）直接利用同类项的定义分析得出答案 【解答】 解：（ 1） | 2|+（ ） 1（ +1）（ 1） =2 +2（ 5 1） = ； （ 2） 单项式 21 与 同类项， ， 解得： 【点评】 此题主要考查了二次根式的混合运算以及同类项定义，正确化简各数是解题关键 18如图， 中位线，过点 C 作 延长线于点 F （ 1）求证： E； （ 2）若 C，判断四边形 形状 【考点】 形的判定； 等三角形的判定与性质； 角形中位线定理 【分析】 （ 1）首先根据三角形的中位线定理得出 C，然后根据 出 F，继而根据 得 后根据全等三角形的性质即可推出 E； （ 2）首先证得四边形 平行四边形、四边形 为平行四边形，从而得到 F，然后根据 C 得到 E，从而得到四边形 矩形 【解答】 解：（ 1） 中位线， E 为 点， C， F， 在 ， ， E （ 2）解：四边形 矩形 E， C， 四边形 平行四边形， D， F， 四边形 平行四边形， F， C， E， 四边形 正方形 【点评】 本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质及三角形的中位 线定理的知识，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，难度不大 19（ 10 分）（ 2017呼和浩特一模）为了解 “足球进校园 ”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射门 5 次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有 22 人，女生进球个数的众数为 2，中位数为 3 女生进球个数的统计表 进球数（个） 人数 0 1 1 2 2 x 3 y 4 4 5 2 （ 1）求这个班级 的男生人数，补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进 2 个球的扇形的圆心角度数； （ 2）写出女生进球个数统计表中 x， y 的值； （ 3）若该校共有学生 1880 人，请你估计全校进球数不低于 3 个的学生大约多少人？ 【考点】 形统计图； 样本估计总体； 形统计图； 位数； 数 【分析】 （ 1）根据进球数为 3 个的人数除以占的百分比求出男生总人数即可；求出进球数为 4 个的人数，以及进球数为 2 个的圆心角度数，补全条形统计图即可； （ 2）由题意 得， x+y=22 1 2 4 2=13，由于女生进球个数的众数为 2，中位数为 3，于是得到结论； （ 3）求出进球数不低于 3 个的百分比，乘以 1880 即可得到结果 【解答】 解：（ 1）这个班级的男生人数为 6 24%=25（人）， 则这个班级的男生人数为 25 人；男生进球数为 4 个的人数为 25（ 1+2+5+6+4）=7（人），进 2 个球的扇形圆心角度数为 360 =72； 补全条形统计图，如图所示： （ 2）由题意得， x+y=22 1 2 4 2=13， n 女生进球个数的众数为 2，中位数为 3， x=7， y=6； （ 3）根据题意得： 47 个学生中女生进球个数为 6+4+2=12；男生进球数为6+7+4=17， 1880 =1160（人）， 则全校进球数不低于 3 个的学生大约有 1160 人 【点评】 此题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键 20如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 1的方向上，沿河岸向北前行 30 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 【考点】 直角三角形的应用方向角问题 【分析】 作 E由题意可以假设 E=x，在 ，求出 据 E 出方程即可解决问题 【解答】 解：作 E 由题意： 1， 5， 0， 在 ， 0， 5， 可以假设 E=x， 在 ， 0， = ， E x=30， x= ， 答：这条河的宽度为 m 【点评】 本题考查解直角三角形、方位角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型 21已知关于 x 的不等式组 有解，求实数 a 的取值范围，并写出该不等式组的解集 【考点】 一元一次不等式组 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】 解：解不等式 3x a 0，得： x ， 解不等式 （ x 2） 3x+4，得： x 2， 由题意得： 2， 解得： a 6， 不等式组的解集为 x 2 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键 22在直角坐标系中 ，直线 y=（ k 0）与双曲线 y= （ x 0）相交于点 P（ 1，m） （ 1）求 k 的值； （ 2）若双曲线上存在一点 Q 与点 P 关于直线 y=x 对称，直线 y= 与 x 轴交于点 A，求 面积 【考点】 比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）将 P 的坐标代入双曲线中求出 m 的值，然后将 P 的坐标代入直线解析式中求出 k 的值 （ 2）求出 P 关于 y=x 的对称点 Q，然后利用待定系数法求出直线 解析式，然后求出点 B 的坐标，最后利用 S S 可求出答案 【解答】 解：（ 1）将 x=1 代入 y= ， y=2， P（ 1， 2） 将 P（ 1， 2）代入 y= k=1， （ 2）易知 P（ 1， 2）关于直线 y=x 的对称点为 Q（ 2， 1） 设直线 解析式为： y=kx+b， 将 P、 Q 的坐标代入上式， 解得： 直线 解析式为： y= x+3 令 y=0 代入 y= x+3 x=3， S S 4 （ 2 1） =2 【点评】 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法，本题属于中等题型 23春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元 （ 1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （ 2）商场决定甲商品以每件 40 元出售，乙商品以每件 90 元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商 品共 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润 【考点】 次函数的应用； 9A：二元一次方程组的应用； 元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （ 2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润 【解答】 解：（ 1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是 x 元、 y 元， ， 解得， ， 即甲、乙两种商品每件的进价分别是 30 元、 70 元； （ 2）设购买甲种商品 a 件，获利为 w 元， w=（ 40 30） a+（ 90 70）（ 100 a） = 10a+2000， a 4（ 100 a）， 解得， a 80， 当 a=80 时， w 取得最大值，此时 w=1200， 即获利最大的进货方案是购买甲种商品 80 件，乙种商品 20 件，最大利润是 1200元 【点评】 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用， 解答本题的关键