浙江省杭州市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 M=0， 1， 2，则（ ） A 1 M B 2M C 3 M D 0 M 2若关于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2，则实数 m 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 3 值等于（ ） A B C D 4函数 f（ x） =定义域是（ ） A（ 1， 1） B 1， 1 C 1， 1） D（ 1， 1 5若 3x=2，则 x=（ ） A 1 1 D 6设向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 =0，则（ ） A | | | | B | | | | C | |=| | D = 7设 方程 2x+x=8 的解若 （ n， n+1）（ n N*），则 n 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8要得到函数 f（ x） =22x ）的图象，只需将函 数 g（ x） =22x+ ）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向左平移 个单位 9已知向量 ， 满足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，则向量 ， 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 10当 时，函数 f（ x） =（ ） A最大值是 1，最小值是 1 B最大值是 1，最小值是 C最大值是 2，最小值是 2 D最大值是 2，最小值是 1 11若 a 0 且 a 1，则函数 y= y= x）的图象可能是（ ） 第 2 页（共 15 页） A B CD 12设 G 是 重心， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边，若 a +b +c = ，则 形状是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 13若不等式 0 对任意的 x （ 0， 恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） A 2 B C 2 D 3 14函数 f（ x） =（ + +2）（ +1）的值域是（ ） A 2+ ， 8 B 2+ ， +） C 2， +） D 2+ ， 4 15若直角 接于单位圆 O， M 是圆 O 内的一点，若 | |= ，则 | + + |的最大值是（ ） A +1 B +2 C +1 D +2 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 6 分 6 分 . 16若集合 A=x|x 0，则 A= ； R（ A） = 17若 10x=2， 10y=3，则 103x y= 18若扇形的半径为 ，圆心角为 120，则该扇形的弧长等于 ；面积等于 19函数 f（ x） =x R）的最小正周期为 ，单调递减区间为 20设 、 （ 0， ）， +） = ， ，则 ， 21在矩形 ， ，若 P 为 的动点，则 的最小值为 22不等式 00） 2a+一切非零实数 x， y 均成立，则实数 a 的取值范围为 23函数 f（ x） =（ a） x+1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 2 小题，共 719 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 24在 ， | |=c， | |=b 第 3 页（共 15 页） （ ）若 b=3， c=5， ，求 | |； （ ）若 | |=2， 与 的夹角为 ，则当 | |取到最大值 时，求 接圆的面积 25设函数 f（ x） =x2+bx+c（ a 0， b， c R），若 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ x）的最小值为 1 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若函数 y=|f（ x） |与 y=t 相交于 4 个不同交点，从左到右依次为 A， B， C， D，是否存在实数 t，使得线段 | | |构成锐角三角形，如果存在，求出 t 的值；如果不存在，请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2015年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 M=0， 1， 2，则（ ） A 1 M B 2M C 3 M D 0 M 【考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 根据集合中元素的确定性解答 【解答】 解：由题意，集合 M 中含有三个元素 0， 1， 2 A 选项 1 M，正确； B 选项 2M，错误； C 选项 3 M，错误， D 选项 0 M，错误； 故选： A 2若关于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2，则实数 m 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 不等关 系与不等式 【分析】 利用一元一次不等式的解法即可得出 【解答】 解： 关于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2， m 0， ，因此 ，解得 m=1 故选： C 3 值等于（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 把所求式子中的角 150变为 180 30，利用诱导公式 简后，再根据特殊角的三角函数值即可求出值 【解答】 解： = = 故选 D 4函数 f（ x） =定义域是（ ） A（ 1， 1） B 1， 1 C 1， 1） D（ 1， 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质得到关于 x 的不等式，解出即可 【解答】 解：由题意得： 1 0，解得： 1 x 1， 故函数的定义域是（ 1， 1）， 第 5 页（共 15 页） 故选： A 5若 3x=2，则 x=（ ） A 1 1 D 【考点】 指数式与对数式的互化 【分析】 由 3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得 x=利用换底公式化为 【解答】 解： 3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得 x=， 故选 D 6设向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 =0，则（ ） A | | | | B | | | | C | |=| | D = 【考点 】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据向量的数量积和向量的模即可判断 【解答】 解： 向量 =（ x， 1）， =（ 1， y）， =0， =x+y=0， | |= ， | |= ， | |=| |， 故选： C 7设 方程 2x+x=8 的解若 （ n， n+1）（ n N*），则 n 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 由题意可得 +8=0令 f（ x） =2x+x 8=0，由 f（ 2） 0， f（ 3） 0，可得（ 2， 3）再根据 （ n， n+1）（ n N*），可得 n 的值 【解答】 解： 方程 2x+x=8 的解， +8=0 令 f（ x） =2x+x 8=0， f（ 2） = 2 0， f（ 3） =3 0， （ 2， 3） 再根据 （ n， n+1）（ n N*），可得 n=2， 故选： B 8要得到函数 f（ x） =22x ）的图象，只需将函数 g（ x） =22x+ ）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向左平移 个 单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换，左加右减可得答案 第 6 页（共 15 页） 【解答】 解： f（ x） =22x ） =2（ x ） ， g（ x） =22x+ ） =2（ x+ ） =2（ x + + ） =2（ x + ） =f（ x+ ）， 将函数 g（ x） =22x+ ）的图象向右平移 个单位，得到函数 f（ x） =22x ）的图象 故选： C 9已知向量 ， 满足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，则向量 ， 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式，求出两个向量的数量积，利用数量积公式求夹角 【解答】 解：因为向量 ， 满足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，所以4 ， 即 64 27 4 =61，所以 = 6，所以 ，所以 =120； 故选： C 10当 时，函数 f（ x） =（ ） A最大值是 1，最小值是 1 B最 大值是 1，最小值是 C最大值是 2，最小值是 2 D最大值是 2，最小值是 1 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 首先对三角函数式变形，提出 2 变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域 【解答】 解： f（ x） =2（ =2x+ ）， ， 第 7 页（共 15 页） f（ x） 1， 2， 故选 D 11若 a 0 且 a 1，则函数 y= y= x）的图象可能是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断 【解答】 解：当 a 1 时，由 y= x）可知函数的定义域为 x 0，且函数单调递减，y=调递增， 当 0 a 1 时，由 y= x）可知函数的定义域为 x 0，且函数单调递增， y=调递减， 故选： B 12设 G 是 重心， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边，若 a +b +c = ，则 形状是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出 【解答】 解： G 是 重心， = ， = ， =， 又 a +b +c = ， （ a b） +（ a c） +（ b c） = ， a b=a c=b c， a=b=c 形状是等边三角形 故选： B 13若不等式 0 对任意的 x （ 0， 恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） A 2 B C 2 D 3 【考点】 三角函数的最值 第 8 页（共 15 页） 【分析】 利用换元法令 t=等式可整理为 0 恒成立，得 ，利用分离常 数法求出实数 a 的最大值即可 【解答】 解：设 t= x （ 0， ， t （ 0， 1， 则不等式即为 0 在 t （ 0， 1恒成立， 即 在 t （ 0， 1恒成立， a 3 故选： D 14函数 f（ x） =（ + +2）（ +1）的值域是（ ） A 2+ ， 8 B 2+ ， +） C 2， +） D 2+ ， 4 【考点】 函数的值域 【分析】 容易得出 f（ x）的定义域为 1， 1，并设 ，两边平方，根据 且得出 ，从而得出 ，求导，根据导数在 上的符号即可判断函数 在 上单调递增，从而得出 y 的范围，即得出函数 f（ x）的值域 【解答】 解： f（ x）的定义域为 1， 1； 设 ，则 ； 1 x 1； 0 1 1， ； 2 4； ，且 ，设 y=f（ x）； ； ，令 y=0 得， ，或 0； 在 上单调递增； 时， y 取最小值 ， t=2 时， y 取最大值 8； ； 原函数的值域为 故选 A 第 9 页（共 15 页） 15若直角 接于单位圆 O， M 是圆 O 内的一点，若 | |= ，则 | + + |的最大值是（ ） A +1 B +2 C +1 D +2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由直角三角形可知 O 为斜边 中点，于是 + + =2 + =3 + ，所以当 和 同向时，模长最大 【解答】 解：设直角三角形的斜边为 直角 接于单位圆 O， O 是 中点， | + + |=|2 + |=|3 + |， 当 和 同向时， |3 + |取得最大值 |3 |+| |= +1 故选： C 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 6 分 6 分 . 16若集合 A=x|x 0，则 A= （ ， 0 1， +） ； R（ A） = （ 0， 1） 【考点】 补集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，根据全集 R 求出 A 的补集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 1） 0， 解得： x 0 或 x 1，即 A=（ ， 0 1， +）， 则 0， 1）， 故答案为：（ ， 0 1， +）；（ 0， 1） 17若 10x=2， 10y=3，则 103x y= 【考点】 对数的运算性质 【分析】 根据指数幂的运算性质计算即可 【解答】 解： 10x=2， 10y=3， 103x y=103x 10y=（ 10x） 3 10y=23 3= ， 故答案为： 18 若扇形的半径为 ，圆心角为 120，则该扇形的弧长等于 ；面积等于 3 【考点】 扇形面积公式；弧长公式 【分析】 利用扇形的弧长公式，面积公式即可直接计算得解 【解答】 解：设扇形的弧长为 l，扇形的面积为 S， 圆心角大小为 = （ 半径为 r=， 则 l= ，扇形的面积为 S= = 3 第 10 页（共 15 页） 故答案为： ， 3 19函数 f（ x） =x R）的最小正周期为 ，单调递减区间为 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象 【分析】 根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出 f（ x）的单调递减区间 【解答】 解：由题意得， f（ x） =， 最小正周期 T= =， 由 得， ， 函数 f（ x）的单调递减区间是 ， 故答案为： ； 20设 、 （ 0， ）， +） = ， ，则 ， 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由 值，利用二倍角的正切函数公式求出 值大于 1，确定出 的范围，进而 值，再由 +）的值范围求出 + 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 +）的值，所求式子的角 =+ ，利用两角和与差的余弦函数公式化 简后，将各自的值代入计算即可求出值 【解答】 解： ， （ 0， ）， = 1， （ ， ）， = ， = ， +） = ， 第 11 页（共 15 页） + （ ， ）， +） = ， 则 +） =+） +） + = ， ， 故答案为： ， 21在矩形 ， ，若 P 为 的动点，则 的最小值为 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数量积公式得出关于 P 点横坐标 a 的函数，利用二次函数的性质求出最小值 【解答】 解：以 A 为原点，以 坐标轴建立平面直角坐标系如图： 则 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1），设 P（ a， 1）（ 0 a 2） =（ a， 1）， =（ 2 a， 1）， =（ 0， 1）， =a（ a 2） +1（ 1） =2a+2=（ a 1） 2+1 当 a=1 时， 取得最小值 1 故答案为： 1 22不等式 00） 2a+一切非零实数 x， y 均成立，则实数 a 的取值范围为 （， 2 ） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 问题转化为 2a 00） z=00） 据对数函数和三角函数的性质求出 z 的最小值 ，从而求出 a 的范围即可 【解答】 解：不等式 00） 2a+一切非零实数 x， y 均成立， 2a 00） 第 12 页（共 15 页） 令 z=00） z 1=9， 2a 9，解得： a 2 则实数 a 的取值范围为（ ， 2 ） 23函数 f（ x） =（ a） x+1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围为 （， 0） 【考点】 函数的图象 【分析】 讨论当 x 0，和 x 0 时，函数 g（ x） =a 的取值情况，利用参数分离法进行求解即可 【解答】 解：函数的定义域为（ 1， +），设 g（ x） =a， 若 1 x 0， x+1） 0，此时要求 g（ x）在 1 x 0 经过二、三， 即此时 ，即 ，此时 a 0， 当 x=0 时， f（ 0） =0，此时函数图象过原点， 当 x 0 时， x+1） 0，此时要求 g（ x）经过一四象限， 即 x 0 时， a 0，有解， 即 a（ x 2） 解， 当 x=2 时，不等式等价为 0 4，成立， 当 0 x 2 时， a ， 此时 0， 此时 a 0， 当 x 2 时，不等式等价为 a ， = =（ x 2） + +4 4+2 =4+2 2=4+4=8， 若 a 有解，则 a 8， 即当 x 0 时， a 0 或 a 8， 综上 a| a 0a|a 0 或 a 8=a| a 0=（ ， 0）， 故答案为：（ ， 0） 三、解答题：本大题共 2 小题，共 719 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 24在 ， | |=c， | |=b 第 13 页（共 15 页） （ ）若 b=3，