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一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用 第四节 微分及其运算 一、微分的定义 当正方形的边长从 变到 时，相应的面积 增量 .函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 ，一部 分是关于 的高阶无穷小 当立方体的边长从 变到 时，相应的体 积增量 函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 一部分是关于 的高阶无穷小 其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小， 则称y=f(x)在x0 可微，而 称为y=f(x)在点x0处的 微分，记为 定义2.4 设y=f(x)在点x0 的某邻域内有定义， 属 于该邻域.若 即 同样可以定义y=f(x)在点x处的微分dy或df.即若 对于函数y=x,一方面有dy=dx,另一方面y=(x+ x) x,得dy= x,因而有x=dx,即自变量的增量与自变量 的微分是一回事,在微分中常写成 则称A x为y=f(x)在点x处的微分,记为dy或df.这里o(x) 为x的高阶无穷小. 1.设y=f(x)在点x处可导,则 ,偶极限 基本定理知 其中 即有 其中 与x无关,而 x=o(x).因此y=f(x)可微,且 有 2.设y=f(x)可微.则 其中A与x无关. o(x)为x的高阶无穷小.此时 因此y=f(x)在点x处可导,且有 ,即 定理2.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 . 由于 ，即函数的导数等于函数的微 分与自变量微分之比，因此导数也称微商. 微分dy的几 何意义，就是曲 线y=f(x)在点 处的切线的纵坐 标的增量. 二、微分的基本公式 微分的基本公式： 三、微分的四则运算法则 定理2.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 , u , v可微， 且有 证 定理2.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 ，则 可微， 且有 . 证 例1 设 解 例2 设y=x tan xsin x，求dy. 解 注意，当然也可以直接用公式 求微分. 例3 设 解 四、微分形式的不变性 设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x)也 可微，此时有 可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变 量，总有 ，这就是微分形式的不变性.利 用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分. 例4 设 解 如果不引入中间变量u，则可 例5 设 解 当然，也可以直接用公式 来求微分， 即求出 后再乘以dx得到dy. 例6 设 解 五、微分在近似计算中的应用 设y=f(x)在 可导，当自变量从 变到x(即取得 增量 )，则有 当x很接近 时，即 很小时，就有近 似公式 即 当 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 附近点的函数值. 例7 解 例8 设体积为1 000cm
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