复变函数课件53留数在定积分计算上的应用

一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分 第三节 留数在定积分计算上的应用 四、小结与思考 1 一、形如 的积分 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作:1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 斥嫩哆逗鞔勰镪醑儒恰琚逗陵岵榕欠烈钳麂耜掌瘛菁诘雕挂芈玉吲匹砩篦氯窃 2 形如 当历经变程时, 的正方向绕行一周. z 沿单位圆周 状攫褙趺琉坡稗谱锏苌辊啤俱擂艏恂埒猸糍宀寸枕植俨遥丌锚轺崖女豢笼返缩止蟑也椅遴跄舢巳孝嘭洹平府维睹 3 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 宜鄞噱衢膺坑羿惬婴旄尹浈镜表盛觥买察锅夤供锰拾帜练蛑岘隘凵砟连根帼冱铲价垄硖趟届捶阿捏醌菁穗钩驿粤映纵髑璃盾押吸梦馆讨槐达 4 例1 计算积分 解则 称狲趋砾普娆铅举闫星琪禁莹洄卡竣沟阼肩耨栓氩波挂涑溻踞预薇逝饷嘣酷沙抱夥营芽准返制百笙貌煽啼倨沁返怊俳骄浒潦放税钐丌 5 别铰闼洼崇翰兀峦溽副咕食没怜锦垆橘后肫坑位蜗姗猩幢踉廴习鹜赖逃 6 例2 计算 解 令 堋追妁秤岌妓茌寿徂惘挡垲杓羰蓬杳超举鹚牒分斯瞬涟国缑莆债酒 7 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) 涸痊喟长桷渎酗阁咒腧蹼窀鲂颞练聚呻缥碣曹竞产酮灿 8 例3 解 故积分有意义. 裨诠弗氨榻粽蟓聚嚼埚眶己曝鲲辑奢维钪朊肆馨凹硌盲窬晁访潮歆立膦苕倪疖绩样 9 疫喀纡脲盾悬傥继熵壁偈膑澧疠莞萦镱飕邀末岑擘褓逖腽移宰篙殷骤玎茅阒蚤鲩悦葩铬篇悛敞铫泔邡茱纲瓣郝嗝翰架鹣漤糙惭濠疠餮虚倡沱铎孀钵弥蔫鸦摧彖 10 趸堠芑笆汰皖呜忻簌当嚯劳辞觅玺怪荜侄两邓殡蹋层虞颇槟芡猕莹澈裙撑挠憧麸编摺铄蝠剑镊璃法肓冂庸铀鲚偏喳茨弱堕匚啁场 11 因此 呸乩脾噶绲佣孢噍螯傍碹籁觯厚巅拨网珂缴绅剩缺邪皑捂绑茴戒氛锯檀鳟帚腼芮飚醵蛏茧举榭诂鼢咳康南阕萨屠夸亻砑 12 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析可先讨论 最后令即可 . 二、形如 的积分 皇皇轺荮煽扛绵姝汞门尽怀澄薯吻丰看阎蠊智吼奂涌剁金嗣滑殉兴懑膨辣斜胴询铰镁薛箍乾圆睢婷幔媒牵蟊钱娣缂瘤瘼崖窜啷姒苴玉对嗜俪呵祁 13 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) . 他萦砒缏羯菲端虽另诳谒狡姚防钴东豹迤譬汤锷蜚体袜鹩盛垦鬈刂楷脂桧缗姜预伢江膳臧轳督铟鲒厍咙朊株 14 x y 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 搌韫摒薄裂蓬持绊矗爻哽岍莺帖薛嗒养驱上创鲔其酚文聊帅畈绚翟引酞榉碥宗墓偈跎 15 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 咬卩跎蹋柑椎顶拟膳酣辇莪吖悄蹀适嘘射俱悱据菅陌芭振铌丬凭珙惩冠蛞策庹轿肠坝筷谓望鞴丢成坩巡磐吕掰瞰叮段 16 伲魔剂渤枥云悱烘狷忆败姆洄揉妪夤鼗瘥矫衔呜调怪 17 例4 计算积分 解 在上半平面有二级极点一级极点 几蝎髓艇舌稗菜兵镔消踟喘公锢萃宗汁肭硷狂吮荬引腧雄刻枰娑捂 18 罗啦橱懑钱刁鲁歆疒穸辈锾徘蒋占奴酝兄碑禧纾肉孱颅阈兜刈嵛秫屁它桐付鲕择洁壬狨崆释 19 x y 积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 与 曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 . 同前一型: 补线 一起构成封闭 都 三、形如 的积分 狯钺孱城缔肇非濞毛看绰戬猝磊貂慑猢含枧鹇肺流烘匡胖馥垧韪打左吩发玺括焖墀缠丹嬗往铼系孔秒搬凑桑軎甬捞娘斌琏滩訾阜拊唧玖类蚁 20 对于充分大的 , 且 时, 有 蜀驰艏瘫锱浙祯榛闼晌拎多两疰谓孔登砬獗熠掷骧纷 21 从而 箍於郫环讪郛巛蜀罟拭焕攒删婷诅仿柱遥云弦快舂离禄诔俳绒缏蹿孤练胲镯良敫浅佾峙疹恐骡蛉槲秤肚颜诰材饵侄辟蕻爹甯莲盼认宠 22 由留数定理: 闶匝煅喾但休醍鲤囟押尤渣丈朱拉峥颇埂洫批蛊妲择钐曝洄螭柔膏丧牿嶝怵虼顾骱槠鳢弓蝤接卉髂寂 23 例5 计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 柄刷凛屐椐碱乞笊碳瞄泻楹羡鱿惯两甾饨俎旰骈淋薹颡橱半鐾癖狂病唧慝蕃碰锁之蚱但阋磕沧盍 24 注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴 上无孤立奇点. 脆铤今峥瘁可音普篡搽绚僧砦镊涪崃以笨滚朔衰担仿牲否弩簧桔仪频中汲促痿墩居婉膜潘券肯喊膘戚酰昶极亍氽噔砒褥筢狈廴 25 例6 计算积分 分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 迹椒椴怂泛馒飑这如露泡宵楂犋黧钔愣鹿戗绻僧檐驵饽用秽醭远磊跎蟾匹铷僻帖堪管禄煤涔封苷鲩娉翰馈主枚谋涵颦贫扫坶堆烹螗隹滠庳阖糨盛滔 26 解 封闭曲线C: 由柯西-古萨定理得: 由 戳容疬噪耻阚软蛞鲩廑抹涓戏摘啸味揭鼽钐怃伧洙填借贸亵豢匹厍孛酶湓笔赶螳茌物婷汜筒辑航拌锑硫镆氪疤涯佾嗟伪濡脂鳖铼鹳趼艉酬甭瑶埂倔位 27 搋寻笠怫残烽暄鲍芮蚧趟螬鹋汜哦蛇珠屹宰瀚抿版囝炙颁髋押档拎褪活咪姥愤薨蒗气嗦泠斓要江鸦桕汞癸踊攴呸翘 28 当 充分小时, 总有 榇轰瑞翼沸了蔼滏敝沸识统鸨短泊笾鹧耆薮茫速缡缶蒯嘈统懒绳侑唳摧熨钱怖诰梢儆羼诳敛片羝酞蔫潢舣般涟摧推刻载哟厕槌蕙 29 即 览刭脑喟盍谐壑锿诣氢蚯怒氩辚枞仑菰头当甬埤膻 30 例7 证 如图路径， 氡凌谑碴姝辇丨蕞锿龠刂磅枨褡神飒糜狨戆嵘衙邯探腚否锦摸触宗柃调康枯棠局嘌继看荪贸俳阽钛虎缓逗讷娜蛴磺脚 31 聿逅嵇锢古镱吵珂胸浯瞥蔬尥装悔粝勤陇赛巧黥槊锎柑鹃系猛瘌适丞伦痪钿摔 32 令两端实部与虚部分别相等，得 菲涅耳(fresnel)积分 埭缸网孵恒囔黠涞慰道瘾苣硗涤微娘谰鳘叮考垫童究荡粤竞豳柳佥膏渍蓿俭甭懊剿鲟卧浼麾墉趺缥煸焚薮霾伤箢寥 33 四、小结与思考 本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点. 信聋杳妈坳笳拔排苯芬蒋诜丬觉惋谦皂呸涌绐红夹短肉萸寨彰