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第一章 基本初等函数() 1.3.1 正弦函数的图象与性质 人教B版必修4 用什么方法作出正弦函数的图象呢? 描点法 但描点法的各点的纵坐标都是查三角函 数表得到的数值,不易描出对应点的精确位 置,因此作出的图象不够准确 几何法 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 1、正弦函数的图象 为了作三角函数的图象,三角函数的自变 量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为 实数在一般情况下,两个坐标轴上所取的单 位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相 同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识 第一步:列表首先在单位圆中画出正弦线. 在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆 心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆 分成12等份(等份越多,作出的图象越精确) ,过圆上的各分点作x轴的垂线,可以得到对 应于角 , , , ,2的角的正弦线 (这等价于描点法中的列表) 第二步:描点我们把x轴上从0到2这一段( )分成12等份,每个分点分别对应于 分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线 ,(把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦 线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的 终点就是正弦函数图象上的点) 第三步:连线,用光滑曲线把这些正弦线的 终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx, x0,2的图象 以上我们作出了y=sinx,x0,2的图 象,因为sin(2k+x)=sinx (kZ),所以正弦函 数y=sinx在x2,0,x2,4, x4,6时的图象与x0,2时的形状 完全一样,只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移2,4 ,就得到y=sinx,xR的图象。 叫做正弦曲线 正弦函数y=sinx,xR,的图象。叫做正弦 曲线 用五点法作正弦函数的简图(描点法) 只要这五个点描出后,图象的形状就基 本确定了因此在精确度不太高时,常采用 五点法作正弦函数的简图 在描点作图时要注意到,被这五个点分隔的 区间上函数变化情况,在 附近函数 增加或下降快一些,曲线“陡”一些,在 附近,函数变化慢一些,曲线变得“平缓”,这 种作图法叫做五点法。 例1、用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx,x0,2, (2) y=1+sinx,x0,2, (1) (2) y=1+sinx (x0, 2 ) 例2、利用正弦函数的图象,求满足下列条 件的x的集合: 解:在y轴上取点(0, 0.5),过该点作x轴的平行线, 与正弦函数图象相交于点 等,所以 不等式的解集是 由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦 函数的定义,容易得出正弦函数y=sinx还有 以下重要性质. (1)定义域: 正弦函数y=sinx的定义域是实数集R或( ,), 记作:ysinx,xR. 2、正弦函数的性质 (2)值域: 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半 径的长度;从正弦曲线可以看出,正弦曲线 分布在两条平行线y=1和y=1之间,所以 sinx1,即1sinx1, 也就是说,正弦函数的值域是1,1. 正弦函数y=sinx,xR 当且仅当x 2k,kZ时,正弦函数 取得最大值1; 当且仅当x 2k,kZ时,正弦函 数取得最小值1 (3) 周期性: 由sin(x2k)sinx (kZ)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得 的。当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时 ,正弦函数y的值重复出现。在单位圆中,当角 的终边饶原点转动到原处时,正弦线的数量 (长度和符号)不发生变化,以及正弦曲线连 续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表 示。这种性质称为三角函数的周期性。 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时 ,都有f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周 期函数,非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知,2,4,2,4, 2k(kZ且k0)都是正弦函数的周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的 周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期。 注意: (1) 周期函数中,x定义域M,则必有x+TM, 且若T0,则定义域无上界;T0, 0)表 示一个振动量时, A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离,通常称为这个振动的振幅; 往复一次所需的时间 ,称为这个 振动的周期; 3、y=Asin(x+) 的图象 单位时间内往复振动的次数 , 称为振动的频率; 称为相位;x=0时的相位称为初相 。 例1、画出函数y=2sinx xR;y= sinx xR的图象(简图) 解:画简图,我们用“五点法” 这两个函数都是周期函数,且周期为2 我们先画它们在0,2上的简图列表: - x 02 sinx 0 1 01 0 2sinx 0 2 0 20 sinx 0 00 (1) y2sinx,xR的值域是2,2, 图象可看作把ysinx,xR上所有点的纵坐 标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) . (2) y sinx,xR的值域是 , , 图象可看作把ysinx,xR上所有点的纵坐 标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变). 一般地,函数y=Asinx的值域是最大值是 |A|,最小值是|A|,由此可知,|A|的大小 ,反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称 为振幅。 x x+ 0 2 Sin(x+ )01010 例2、画出函数ysin(x ),xR, ysin(x ),xR的简图. 解:列表ysin(x ) x x02 Sin(x )01010 ysin(x ) (1)函数ysin(x ),xR的图象可看作 把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个 单位长度而得到. (2)函数ysin(x ),xR的图象可看作把 正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度 而得到. 一般地,函数ysin(x),xR
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