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硕士论文几类时滞神经网络的无源性分析 目录 摘要。i a b s t r a c t i i 1 绪论1 1 1 课题背景及研究意义1 1 2 神经网络概述2 1 2 1 神经网络的发展与应用2 1 2 2 细胞神经网络3 1 2 - 3 中立型时滞系统5 1 2 4 参数摄动和鲁棒控制j 6 1 3 本文用到的研究方法7 1 3 1 李雅普诺夫稳定性理论7 1 3 2 无源性理论。7 1 4 本文研究的内容及意义。8 1 5 本章小结1 0 2 变时滞细胞神经网络的无源性分析1 l 2 1 引言j 11 2 2 问题描述j 。1 2 2 3 无源性定理l3 2 4 线性分式参数不确定下的鲁棒无源性分析1 8 2 5 数值算例2 0 2 6 本章小结2 l 3 同时含有分布时滞和无穷时滞的区间神经网络的鲁棒无源性分析2 3 3 1 引言2 3 3 2 问题描述2 4 3 3 鲁棒无源性定理2 5 3 4 时滞函数不可微时的两个推论3 2 3 5 数值算例：3 7 3 6 本章小结3 9 4 同时含有多时变时滞和中立型时滞的神经网络的鲁棒无源性分析4 1 4 1 弓i 言4 1 4 2 问题描述4 2 i i i 目录硕士论文 4 3 鲁棒无源性定理4 3 4 4 多个离散时滞不可微时的两个推论4 8 4 5 单离散时滞下的推论和一个新的无源性定理- 5 2 4 6 数值算例5 8 4 7 本章小结5 9 5 总结与展望6 l 致谢6 3 参考文献6 5 i v 硕士论文 几类时滞神经网络的无源性分析 1 绪论 1 1 课题背景及研究意义 神经网络是受人脑结构的启发而研究出来的一种非线性信息处理系统，在过去二十 年间，神经网络理论及其实际应用得到了引人注目的发展，广泛应用在各个领域，如故 障诊断，模式识别，以及各种优化问题等等，其中递归神经网络在图像处理方面有着独 特的优势。考虑到应用系统的稳定性，多数应用要求神经网络的平衡点是绝对稳定的或 者是渐进稳定的，根据系统所要实现的不同功能，又要求神经网络有合适的动态响应特 性，因而对神经网络包括稳定性和无源性在内的动态性能研究，一直是神经网络领域内 专家寻求突破的讨论热点。经国内外学者孜孜不倦的努力和探索，对各类神经网络的理 论研究都已经有了一些公认的成果。文献 1 】针对一类含有离散时滞的递归神经网络，得 到了一个含有时滞边界信息的稳定性判定准则。文献 2 4 选取的时滞系统模型为 c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络，结合李雅普诺夫稳定性定理，以及近来颇受热议的线性矩 阵不等式方法，推论了系统的全局稳定性判据。文献 5 7 】则着重讨论了b a m 神经网络， 在时变时滞下保证网络稳定的充分不必要条件。 实际系统中时滞的存在是不可避免的，应用神经网络理论构建的电子电路中，由于 元器件的反应时延或开关损耗等等，时滞的产生和性质随运行环境的不同而种类繁多， 且存在于系统的整个运行历史。时滞的存在显然将导致系统性能的恶化，严重的将导致 系统不稳定而失控，例如在控制系统中的同步问题，n 个执行器在受到不同时滞影响时， 必然会产生非同步现象，这样的执行结果很可能产生严重的滞后。当时滞充分小时，还 不足以影响系统的全局稳定性，但随着时滞的增加，即使不足以破坏平衡点的稳定性， 也必然会改变平衡点的吸引域，造成系统动荡。因此将时滞引入神经网络模型，根据不 同的时滞性质，建立相应的时滞网络模型是不可忽略且行之有效的。 除了时滞的影响外，外环境扰动和参数摄动同样会恶化系统的动态性能，为了达到 控制系统的可靠性，不仅要求神经网络有稳定的平衡点，而且要尽量满足在可测范围内 的不确定情况下，系统仍能实现鲁棒稳定的控制要求。这样会使得网络的设计要求更严 格，也会使得稳定性判据引入一定的保守性，但对于系统来说却是意义重大不可忽略的。 不确定性和时滞同时存在的动态系统被称为不确定时滞系统，当存在不确定性和时 滞时，无论从理论分析方面，还是从工程实践方面来说，无疑都增加了系统控制的复杂 度和难度，然而，实际应用系统中，时滞和扰动几乎是不可避免的，由神经网络构造的 非线性系统模型，加入了时滞和不确定性部分后，在工业控制领域、全自动模式识别跟 踪系统、临床医学和商业银行贷款风险预警研究中，已经取得了初步成效，随着研究的 深入，在未来必将有着更广阔的应用前景，因此，对不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析 1 l 绪论硕士论文 和无源性控制，是研究系统动态性能的重要内容之一，一直受到广泛而热烈的讨论，是 控制理论中最基础而重要的一个课题。 无源性分析是建立在稳定性分析基础之上，由系统耗散性理论引出的。当系统输入 满足有界条件时，无源性是将有界输入乘以系统输出作为系统的能量供给率，反映出系 统的能量衰减状况。本质上可以将稳定性理论从无源性的角度来加以理解，事实上无源 性是综合了l y a p u n o v 稳定性理论和l 2 稳定性理论的一种综合分析方法。无源性的概念 与控制理论相融合已近四十年，经过m o y l a n 等人的推广和发展，现有的无源性概念已 经在模糊控制、同步问题、信号处理和网络控制等领域得到了广泛的应用【8 。1 们，成为控 制系统综合研究中极具参考价值的有力工具之一。可想而知，随着神经网络的蓬勃发展， 对时滞神经网络的无源性分析和研究，也必将产生不可或缺的应用价值。 1 2 神经网络概述 1 2 1 神经网络的发展与应用 研究得知，人脑有数以亿计的神经元细胞，这些神经元相互连接成一个网状结构， 构成强大的信息处理能力，使人类拥有思维、情绪、感知、识别、学习、联想、记忆和 推理等智能，许多科学家致力于探索人类智慧的规律，并期望能用机器实现人脑的功能， 从而能够替代人类从事一些危险或繁重的劳动，人工神经网络由此诞生。与人脑类似， 人工神经网络也是一种非线性信息处理系统，通过模拟人脑的结构和功能，对生物神经 网络实现一种简单抽象，依靠数学方法进行演绎和建模，在实际应用中可以通过程序和 硬件电路来实现。人们期望神经网络能像人脑一样对客观对象进行识别、分析、判断和 处理，为了达到这样的应用要求，神经网络显然必须具备对复杂、模糊、高度非线性问 题的识别和处理能力，可想而知神经网络的研究难度和发展过程中将不可避免遇到的无 数艰巨的挑战，在此期间，无数优秀而杰出的科学家用他们开创性的研究工作在神经网 络领域作出了巨大贡献。 人们对神经网络的研究从1 9 4 3 年第一个神经元基本模型( m p 模型) 被提出起正式拉 开序幕，先后有人提出了h e b b 学习规则、感知器模型、自适应线性单元等许多神经网 络领域意义深远的，甚至沿用至今的理论，然而却在1 9 6 9 年因m m i n s k y 等人发表的 ( p e r c e p t r o n s ) ) 遭遇研究瓶颈，书中认为多层感知器根本找不到有效的学习算法，同时 由于当时的计算机发展水平无法为神经网络研究试验提供有效的数学工具，由此神经网 络研究陷入低谷。直至2 0 世纪8 0 年代，得利于各种新概念的引入以及计算机水平的飞 速发展，解除了挡在神经网络研究道路上的重重阻碍，随着1 9 8 2 年具有突破性进展的 h o p f i e l d 神经网络以及1 9 8 5 年用于多层感知器权值训练的b p 算法被提出，解决了限制 神经网络发展的关键性难题，从此神经网络的理论研究在广受关注下获得飞速发展并逐 2 硕士论文 几类时滞神经网络的无源性分析 渐被引用于工程实践领域中【l 卜1 6 1 。 神经网络主要由输入输出，神经元和连接权构成，根据神经网络在连接方式上的差 异，一般被分为前馈神经网络和递归神经网络，前馈神经网络的自身结构使得输入和输 出呈现的是静态关系，主要实现了函数映射却无法将系统的动态性能体现出来，一般多 用于模式识别和函数逼近。事实上实际系统中被控对象通常是时变的，而具有输出反馈 结构的递归神经网络是一个非线性动力系统，存在延时信息，并将延时信息反馈给网络 输入，它可以反映出系统的动态特性和存储信息的能力【1 7 1 ，因此，递归神经网络具有更 强的实际应用价值，可以在联想记忆、优化计算等方面发挥作用。然而正是因为递归神 经网络中随时存在的反馈信号，使得网络的状态处于不断动态变化中，而它所构建的实 际系统的运行的可靠性毫无疑问是与状态的运动轨迹紧密相关的，因此，区别于前馈神 经网络这样的静态网络，递归型神经网络因其动态性，尤其要保证系统的稳定性，选择 和限制好网络参数的变化范围，系统才能够正常运行。至于递归网络的其它动态特性， 如分岔、极限环、混沌吸引子和震荡等，在神经网络学科内的研究热度也从未减弱。递 归神经网络模型有很多，除了出现较早的h o p f i e l d 神经网络以外，讨论广泛的还有 c o h e n g r o s s b e r g 网络、细胞神经网络以及新兴的双向联想记忆网络等等。 虽然神经网络在理论研究这方面已经取得了许多突破性的成果，在许多工程领域内 也拥有独一无二的应用优势，也确实有不少神经网络在实际应用方面的成果报道，例如 机器人控制、故障诊断、智能控制和计算机视觉分析等等，但这些应用都还在初步尝试 阶段，真正成熟而系统的应用还不是很多，原因之一归咎于目前的工艺技术在神经网络 芯片设计上，神经元的集成个数还远远达不到应用要求，使得神经网络的硬件水平大大 落后于理论研究的水平。另一方面，神经网络理论和其它学科理论的交叉结合也还在探 索阶段，是未来发展方向之一，比如结合混沌理论可以得到混沌神经网络理论，结合量 子力学产生了量子科学计算。相信随着各种相应学科和辅助工艺的发展，神经网络终将 给科技界乃至我们的现实生活带来辉煌巨变。 1 2 2 细胞神经网络 细胞神经网络( 简称c n n ) ，是递归神经网络的一种，由c h u a 等人在h o p f i e l d 神经 网络之上，以结构非线性且规模庞大的电子模拟电路为原型，于1 9 8 8 年建立了细胞神 经网络模型。每一个细胞单元都包含了线性电阻，线性电容以及线性或非线性的压控电 流源，在连接方式上只和与其相邻的细胞单元有局部连接，因此较其它神经网络更易完 成硬件实现。这样的连接方法也更接近人脑的神经结构，正如某些情况下人脑可能会失 去部分记忆，但并不影响整体的记忆内容，细胞神经网络也存在这样的优势，当电路一 小部分神经元被破坏时，只影响局部的数据内容，对全局的系统执行和判断，不会出现 特别大的影响。 l 绪论硕士论文 4 细胞神经网络的结构图和模拟电路图如图1 2 1 所示： c ( 1 ，1 ) hc ( 1 ，2 ) uc ( 1 ，3 ) uc ( 1 ，4 ) c ( 2 ，1 ) hc ( 2 ，2 ) hc ( 2 ，3 ) hc ( 2 ，4 ) c ( 3 ，1 ) hc ( 3 ，2 ) hc ( 3 ，3 ) hc ( 3 ，4 ) c ( 4 ，1 ) hc ( 4 ，2 ) hc ( 4 ，3 ) hc a ，4 ) ( a ) 二维细胞神经网络神经元之间的连接结构图 v x i j v y i j ir ) 一 ) 一。 ( ) i , y ) i j ；l i ) (弘三 + 一r x 0 ，足 0 。 系统输出方程表示为： b = 吉( 1 匕+ 1 i 一 v x q - 1 1 ) ，l - t oi i x l l 0 ，y = o 则称h 是输入严格无源的，6 是以 输入u 表示的无源度；若8 = 0 ，y 0 ，则称h 是输出严格无源的，y 是以输出h u 表示 的无源度。 本文主要采用基于状态空间的无源性定义，考虑由状态空间表达式表述的非线性系 统： yc=：f(x，,甜u)yh ( x ( 1 - 2 ) l - ，i i =，甜) v 叫 其中状态向量x d ，d 为r ”空间中，包含原点的子集或整个空间，u r p 和y r p 分别表示p 维的输入和输出信号。f ：d xr ，专r ”是局部l i p s c h i t z 的，h ：d xr ”专r ”是 连续的，且有( o ，0 ) = 0 ，h ( o ，0 ) = 0 。 定义1 2 ( 无源性定义) 【2 8 】：对于系统( 1 2 ) ，如果存在连续可微且半正定的函数 v ：d 专r 使得 y ( x ( f ) ) 一矿( x ( o ) ) f y r ( s ) “( j ) 西，v i - o ( 1 - 3 ) 对于任意的输入信号u r ”均成立，则可称系统( 1 2 ) 是无源的，v 称为能量存储函 数，式( 1 3 ) 称为耗散不等式，若存在连续可微半正定的函数v ：d r 使得 y ( x ( f ) ) 一y ( x ( o ) ) f y r ( s ) “( s ) 幽一f q ( x ) 如，v f o 对于任意的输入信号u r ”均成立，则可称式( 1 - 2 ) 系统是严格无源的。 存储函数y ( x ) 反映了在状态x ( f ) 时系统中的能量总和，$ iy r u 则反映了输入信号 在单位时间内带入系统的能量，即能量供给率。 实际上无源性是基于李雅普诺夫稳定性理论的更高层次的抽象，例如，如果系统是 严格无源的，且存储函数满足连续可微且正定，则x = 0 就是满足全局渐进稳定的一个系 统平衡点，如果只满足无源性而不一定严格无源，则只能得出在x = 0 处，系统是l y a p u n o v 稳定的，但不一定是渐进稳定平衡点。 有关无源性的理论成果多存在于电路分析中，神经网络部分的相关理论还比较不成 熟，文献【2 9 3 1 1 分别讨论了时变时滞下的积分微分神经网络、多层动态神经网络以及模 糊随机神经网络在含参数不确定情况下的无源性充分条件。 1 4 本文研究的内容及意义 目前有关时滞系统稳定性的最新研究文献中，基于l m i 的方法最受热议，这种方 法对非线性系统有着较为统一的处理方式，即选取一个李雅普诺夫能量函数，讨论能量 函数沿着系统轨迹下的微分函数，得到一个易于求解的线性矩阵不等式，作为判别系统 8 硕士论文几类时滞神经网络的无源性分析 稳定性或其它性能的充分条件，但非必要条件，因此这个充分条件是可以进行优化的， 以更低的保守性向充要条件逼近，而要优化这个充分条件，很大程度上依赖于李雅普诺 夫泛函的选取。时滞相关的稳定性结论之所以优于时滞无关的结论，其中一个重要原因 是时滞相关的结论考虑和使用了时滞信息。因此，根据系统中不同的时滞类型和限制条 件，构造相对应的李雅普诺夫泛函，显然可以降低系统的保守性。例如，当时滞函数表 现出可微或有界的特性时，在泛函中加入时滞导数信息以及最大时滞信息。与此同时， 虽然这样的结论可以降低保守性，但增加了对系统或时滞函数的限制，因而结论的普遍 适用性会随之降低。 在本文中为了降低结论的保守性，一方面在构造李雅普诺夫泛函时加入了时滞函数 信息，另一方面引入时滞分割的思想，构造了新的李雅普诺夫泛函，同时，在求导过程 中，注意到了被大多数人所忽略的项，减少了放缩误差，并引入更多的松弛变量，得到 了较低保守性的结论。 文中先后研究了三类时滞神经网络的无源性问题，具体安排如下： 第一章绪论部分首先对课题背景和研究意义做了分析，列举了部分国内外相关文献 所涉及的主要成果，然后对时滞神经网络及其稳定性和无源性做了简要介绍，最后提出 本文所要用到的研究方法，如l y a p u n o v 直接法和线性矩阵不等式法等，并对全文结构 作了概要。 第二章分析了含有变时滞的细胞神经网络的无源性条件，尤其考虑了时滞项激活函 数不同于神经元激活函数的情况，得到了更为广泛的结论。引入时滞分割的思想，在构 造李雅普诺夫泛函时，对时滞下界作了m 等分。在求导过程中改进普遍采用的放缩方法， 同时引入更多的松弛变量。进而考虑了一类线性分式参数不确定性，给出保证系统全局 鲁棒无源的线性矩阵不等式，最后给出仿真数例，利用m a t l a b 验证结论的可行性。 第三章讨论了一类含有分布时滞和无穷时滞的区间神经网络，构造含有时滞微分信 息的李雅普诺夫泛函，并考虑了含有线性分式类型的参数不确定性的情况，给出了系统 的鲁棒无源性判据。同时考虑到时滞函数不可微的情况，去掉时滞微分信息得到了更为 普遍的结论。 第四章讨论了一类含有多时变时滞和中立型时滞的混合时滞神经网络，也加入不确 定性得到了一个判定系统鲁棒无源的普遍结论，这个结论可以直接推广到有限个时滞或 中立型时滞的神经网络的无源性分析中。 第五章对全文内容进行了总结，概括了本文的主要结论，提出值得进一步改进的方 向。 本文各个符号的定义为，尺”表示一个n 维欧氏空间，x o 、x 0 、x ，人= 西昭 ，如 ， k = d i a g 霸，屯) 1 5 2 变时滞细胞神经网络的无源性分析 硕士论文 由午顿一来币尼次公瓦j 得： 2 驰( f ) _ m 一鲁) 一岛地) 幽】- o 2 乳) 三2 x ( f d ( f ) ) 一x ( 卜红) 一c 童( s ) 凼】- o 2 乳) 厶b ( t - h i ) - x ( t - d ( t ) ) - e ，) 戈( s ) 凼】= o 另外： 堕m 乳鸲墨q 厶一岛乳鹕墨。1 厶凼= o 一d ( ，) 】专r ( f ) 厶是一1 厶r 考( f ) 一- d 。考r o ) 厶恐一1 厶r 考o ) a s = o 【d ( ，) 一啊】考r ( t ) l 3 r 2 1 厶r 髻o ) 一e ”考r ( t ) l 3 r 2 。1 厶r 考( f ) 豳= o 2 髻r ( t ) l 4 - d c ( t ) - d x ( t ) + w g ( x ( t ) ) + w l g ( x ( t 一办) ) + 甜( ，) 】- 0 注意到： 一厶文r o ) 墨戈o ) a s 一厶考r ( f ) 厶墨一1 厶r 髻o ) 凼一2 髻r o ) 厶【鱼戈o ) a s = 一f - 鱼【厶r 考( f ) + 墨戈( s ) r r i 一1 【厶r 考( f ) + r l 文o ) 】凼 一e 。，( s ) 恐戈( s ) 凼一e 。考r ( f ) 厶恐- 1 厶r 专( f ) 出一2 考r ( r ) 厶 - d 。戈( s ) 西 = 一e 。 厶7 考o ) + 恐戈o ) 】r 足一1 厶r 善( f ) + 恐戈o ) 】豳 一e ) ，( s ) 垦戈( 5 ) 凼一e ，) 专r o ) 厶恐一1 厶r 考o ) 凼一2 毒r o ) 厶e ，) 戈。) a s = 一，) 【厶7 毒( f ) + 恐戈( s ) r r 2 1 【厶r 亏( ，) + 恐戈( s ) 】凼 综上可得： 矿一2 y r ( f ) 甜( f ) 一) ，甜r ( ，) “( f ) 考r o ) 考o ) + 旦考r ( f ) 厶墨。厶r 专p ) + 【红一d 9 ) 】毒r o ) 厶恐- 1 厶r 考o ) m。 + 【d o ) 一j j i 】考r ( f ) 厶如一1 厶r 考( f ) 一厶 厶r 考o ) + 墨文o ) 】r 墨一1 厶r 考o ) + 置j ( ，) 】凼 一e 。 厶r 善( ，) + 恐戈( f ) 】r 恐一1 【厶r 考( f ) + 马叠( f ) 】凼 一，) 【厶r 喜( f ) + r 2 2 ( t ) r 恐一1 【厶r 善o ) + 恐量( f ) 】出 苴中1 1 6 硕士论文 几类时滞神经网络的无源性分析 考r o ) = iy r o ) x r o 一啊) x t o d ( ，) ) x t o 一) g ( x o ) ) y r o ) f r ( x ( f 一红) ) f 7 ( x ( f d o ) ) 文1 ( ，) u 1o ) i 由式( 2 2 ) 定义。显然后三项小于零，则 y 一2 y 。( f ) “( ，) - y u l ( ，) “( f ) l 考r ( f ) 考( f ) + 鲁考r ( r ) 厶墨q 厶r 毒( f ) + 【吃一啊】考r ( f ) 厶恐- 1 厶7 考( f ) + 【红一7 j l 】眚7 ( t ) z 3 r 2 。1 厶7 考o ) 只需保证 毒r o ) 髻o ) + 旦考r ( t ) l i p h 。1 厶r 善o ) + 吃一啊】考r ( t ) l 2 r 2 。1 l 2 7 毒o ) m + 红一向】考r ( t ) l 3 r 2 q f 考( f ) 0 满 足以下线性矩阵不等式，则系统( 2 4 ) 是全局鲁棒无源的。 捂厶再砸再砸厶日s ， 一兄0000 一见000 一尼00 - 6 1 。6 j 。 - 6 1 1 0 时不能保证其无 源性，利用本章定理2 1 ，取m = 2 下的判定准则，当时滞导数小于o 2 时，系统在任意 大小的时滞下是无源的，因此较文献 5 9 1 的结论保守性更小。当时滞导数小于o 3 时， 得到的最大时滞为o 4 8 ，此时文献 5 9 1 的结论已不能判定系统无源。利用m a t l a b 工具 箱求解矩阵参数，其中自由矩阵l 1 、l 2 、l 3 、l 4 是全矩阵，可适当将其中部分分量设 置为零，降低矩阵复杂度。当时滞上界取吃= 1 5 ，导数上界取r = 0 2 时，可以得到正定 参数的可行解为： 2 0 p ：卜0 1 0 l0 8 8 0 7 q = 0 5 = 0 7 2 8 5 o 3 1 4 5 0 0 2 2 9 0 0 6 0 1 0 0 1 7 4 0 0 0 3 0 0 0 1 7 4 0 0 0 3 0 7f o 6 8 3 8 么l - - 10 3 2 9 2 蜀：1 1 1 1 9 1 l o 0 2 9 3 0 8 8 0 7l 4 0 8 9 8i o 31 4 50 0 2 2 90 0 6 0 1 2 1 2 8 90 0 6 0 10 2 9 3 2 0 0 6 0 10 0 8 5 80 2 0 1 3 0 2 9 3 20 2 013 0 9 9 7 8 硕士论文几类时滞神经网络的无源性分析 g = n 譬8 82 。：。7 ，y = o 等7 1 。蠹4 5 b = l 。1 0 9 8 4 。5 。5 4 0i ，c = l 。1 0 8 7 80 7 。9 7 6 1 ，y = 5 8 3 8 。 i 1 1 i i ” 。 由此可以判定以上时滞神经网络在定义2 1 下，系统是无源的。 例2 2 ：考虑含线性分式参数不确定的细胞神经网络( 2 - 4 ) ，选择和例2 1 中相同的 固定参数部分，并定义以下参数不确定部分： 日= 陪錾l ，- ，= 0 1 ，i - 【。o l 。0 1 】，2 - 【o 0 2 o 。7 】，3 = 【o 。1 。0 l 】。 f ( f ) = s i n ( t ) 5 显然满足假设2 3 。由于本文不确定部分尚未在其它文献的类似系统中出现，因此 直接用m a t l a b 求解可行解来验证结论的有效性。同样取m = 2 ，在= 1 5 时，根据定 理2 2 得到的可行解为： l2 1 6 1 6 4 1 9 1 1l p = ll 。 i4 1 9 1 1 1 7 8 7 7 5l q = 皱= 0 9 4 9 6 3 2 4 4 8 0 0 9 4 7 0 4 0 2 2 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 3 2 4 4 8 1 4 0 3 0 8 0 4 0 2 2 1 7 1 5 5 0 0 0 1 0 0 2 7 1 7 0 0 0 1 0 0 8 9 8 7 0 0 9 4 7 0 4 0 2 2 0 3 4 4 5 1 4 6 5 7 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 o 0 0 1 4 0 0 0 3 6 0 4 0 2 2 1 7 1 5 5 1 4 6 5 7 6 2 5 0 6 0 0 0 1 0 0 8 9 8 7 0 0 0 3 6 0 9 6 8 0 z j = 。0 。5 9 2 8 。0 4 。1 6 5 7 8 4 0 7 1 8 ，z j = 。0 。4 7 9 8 9 。3 。0 4 。8 8 0 。2 1 ，乙= o ：；耋三：言：薯主 ， 墨= 麟淼卜瞄黜斟u = 1 弓9 06 删， g = 。冀占1 42 c ：。8 2 矿= 。等。6 。：。 ，b = 。1 0 8 13 三。9 ， c = 一5 2 ，捌舻6 卯3 亿6 = 2 2 7 8 1 由此可以判定以上时滞神经网络在定义2 1 下，系统是鲁棒无源的。 2 6 本章小结 本章主要研究了一类时滞随时间变化的细胞神经网络的鲁棒无源性问题，对时滞下 2 l 2 变时滞细胞神经网络的无源性分析硕士论文 界采用时滞分割的方法，构造了包含更多状态信息的李雅普诺夫泛函。为了避免使用 j e n s e n 不等式的放缩误差，对不等式进行了合适的缩放，经过配凑得到一些正定积分项， 使放缩误差尽量减小。同时也引入了更多的自由权矩阵，使得结论放宽了多数文献中要 求时滞导数小于1 的约束条件，最终以线性矩阵不等式的形式，推导出一个可调节的判 定变时滞细胞神经网络无源性的充分性准则。这个结论在一定范围内随着m 的增大，可 以得到不同程度的优化，从而达到更低的保守性。研究的d c n n s 网络模型中放宽了多 数文献限定神经元激活函数和时滞项的激活函数相一致的约束条件，并进一步加入了目 前研究较少的线性分式参数不确定性，得到了一个d c n n s 网络的全局鲁棒无源性判定 准则。将结论应用于两则数例，利用m a t l a b 工具箱对所得的l m i 进行参数求解，得 到了具有可行性的参数结果，从而验证了方法的有效性。 l 硕士论文几类时滞神经网络的无源性分析 3 同时含有分布时滞和无穷时滞的区间神经网络的鲁棒无源性分析 3 1 引言 目前，神经网络的应用已经涉及当今众多的应用领域，其中包括图像处理，图形识 别，以及最优化问题等等。时滞作为造成系统不稳定或性能不佳的原因，经常出现在细 胞神经网络，h o p f i e l d 神经网络，还有双向联想记忆等网络中。近年来，一些判定时滞 神经网络全局指数稳定性和全局渐进稳定性的结论被相继提出，稳定性判据按是否依赖 于时滞被划分两大类，现有文献对时滞无关的稳定性理论的研究已经比较成熟，但显然 时滞相关的判据可以比时滞无关的带有更小的保守性，因而对于含时滞的神经网络，讨 论包含时滞信息的相关定理显得更为有研究意义。 就目前所有的文献来看，通常有两类时滞被研究人员关注，一类是离散时滞，一类 是分布时滞，有些神经网络同时含有这两种时滞，相对来说，离散时滞这部分，已有文 献涉及的比较多，而对分布时滞仍在探讨阶段。文献【6 1 】中对同时含有离散时滞和分布 时滞的网络模型作了初步分析，但也仅得到了一个常时滞下的充分性结论。因此对这类 传递神经网络的动态性能的研究依然是充满挑战的公开问题。 对于含有分布时滞或无穷时滞的细胞神经网络，渐进稳定性的研究成果居多，文献 6 2 】中稳定性的讨论对象是一类分布时滞为常时滞的神经网络，其推导方法比较灵巧， 但不易于处理参数矩阵的不确定项。文献 6 3 】讨论了无穷时滞系统的稳定性，解决了在 扰动环境下的鲁棒稳定性问题，比同类型系统的其它判断稳定性的方法取得了较好的结 果。文献 6 4 6 6 贝, t j 提出了分布时滞下c n n 网络的稳定性判据。但连接函数均需满足可 微且递增条件。文献 6 7 】分析了一类区间神经网络的指数稳定性，较其它同类结论放宽 了对连接函数的限制，导数下界可以小于零。 在稳定性的基础上，分析存在分布时滞的神经网络的无源性近年来也受到越来越广 泛的关注，就现有文献来说，相关结论还非常少。文献 6 8 】讨论了存在分布时滞情况下 的神经网络的无源性，是p a r k 在已经发表的稳定性判据基础上，作的一个无源性推论， 但对于i 、( f ) 压( f ) 的不等式缩放略为保守，且结构参数部分没有涉及不确定性。文 献 6 9 】放宽了分布时滞的限制，但分布时滞部分的积分项仅包含常时滞。 本章选取区间神经网络的系统模型，放宽了连接函数连续可微且导数具有大于零的 下界的限制，只要求连接函数是全局l i p s c h i t z 连续的，涵盖了一类同时含有离散时滞、 分布时滞和无穷时滞的时滞系统，同时加入了线性分式参数不确定，以满足复杂多变的 实际应用系统的无源控制要求，和l m i 理论相结合，给出了系统全局鲁棒无源的定理， 该无源性判据可以直接应用于只含有分布时滞或无穷时滞的神经网络系统。同时，放宽 了多数相关文献中要求时滞可微且导数小于l 的限制，得到的无源性判据仅要求系统的 2 3 3 同时含有分布时滞和无穷时滞的区间神经网络的鲁棒无源性分析 硕士论文 时滞函数可微。同时为了推广其使用范围，适应时滞不可微的系统，在李雅普诺夫泛函 中相应去除了一些相关项，分别给出两个鲁棒无源性推论，这两个推论均只需满足时滞 有界条件。最后通过两则数例对所得的充分性判据进行了数值仿真，利用m a t l a b 求解得 到了具有可行性的参数解，验证了本章定理的有效性。 3 2 问题描述 考虑以下形式的一类同时含分布时滞和无穷时滞的神经网络模型： 文o ) = - ( a + 4 0 ) ) x o ) + ( + 形9 ) ) 厂( x o ) ) + ( 彬+ 彤) ( x o 一厅o ) ) ) + ( + ) l ( ，) g ( s ) ) 凼+ ( 呢+ 呢( f ) ) l k o s ) 粤( x ( s ) ) 凼+ “( f ) j ，( f ) = ( x ( f ) ) ( 3 - 1 ) 其中x ( f ) = 五( f ) ，x 2 ( t ) ，矗( f ) 2 r “表示网络中连续的n 个神经元在t 时刻的 状态向量，厂( x ( f ) ) = 石( 五( f ) ) ，石( 屯( f ) ) ，一，六( ( ，) ) 二表示n 个神经元的激活函数构 成的向量，g ( x ( ，) ) = g 。( 而( ，) ) ，g ：( 而( f ) ) ，g 。( 吒( f ) ) 。表示分布时滞下神经元的激活 函数构成的向量，z ( x ( f ) ) z ( 五( f ) ) ，粤：( 吒( f ) ) ，z 。( 吒( f ) ) 2 表示无穷时滞下神经元 的激活函数构成的向量，a = d i a g o a ，a 2 ，) 是已知的正对角实矩阵，形= j 表示 神经元之间的连接权矩阵，= 呓) 。、= 嵋 删、- - 4 脚表示时滞的连接权 矩阵，甜( f ) 表示系统的外部输入。鲋( f ) 、a w ( t ) 、a w 。( t ) 、( f ) 、( f ) 是满足 假设3 1 的线性分式参数不确定部分。 假设3 1 ：假设系统参数部分的不确定满足 【a a ( t ) a w ( t ) o ) a w z ( t ) 呢( ，) 】- h a n , 2 3 4 5 】 = ，一f o ) ，】- 1f o ) i 一刀r 0 其中，h ，l ，2 ，m ，4 ，5 ，为已知实值常数矩阵，f ( f ) 是包含l e b s g u e 可测元素 的未知时变矩阵，并且满足f ( f ) f ( f ) r i ，是适维单位矩阵。 假设3 2 ：离散时滞厅( f ) 连续可微，且存在大于零的上下边界，分布时滞f ( f ) 存在 上界，即 0 办( f ) ，0 1 ( t ) 0 ，标量p 0 ， 则下述不等式成立： 【r 厂( s ) 西】，mr 厂o ) 凼】pr 厂( j ) ，m f ( s ) a s 引理3 2 【6 9 】：给定矢量x r 一和y r ”，任意正定矩阵巨r ，则下述不等式成立： 2 x r y x r 戡+ y r 巨一1 y 3 3 鲁棒无源性定理 定理3 1 ：如果存在正定实矩阵丑r ，最r “”，b r ，只r “”，q r “”， 墨r “”，r 2 r “”，z r 砌，正对角矩阵b = 幽曙 6 l ，吒) ，c = a z a g q ，巳 ， v = d i a g v l ，屹) ，a = d i a g - ，九 ，u = d i a g p 1 ，l , t 。) ，f = d i a g 6 1 ，瓯 ， s = d i a g s 1 ，& ) 以及任意矩阵三r m ，g r 1 2 ，m r 1 2 砌，】，r 1 2 舢，标量，0 ， s 0 ，满足以下线性矩阵不等式，则系统( 3 - 1 ) 是鲁棒无源的。 耻厄- h g - h m hs 町 一日0 000 木 一r 2 木 木奉事 毒掌事 0 0 一i 0 o s j t 一l o u = 加g 他，心 o f = d i a g # l ，瓯) o s = d i a g s i ，) o 可得： 广， 乱甜卜卜专r 牌 = 裟，巾? 鸳 裟， o 3 同时含有分布时滞和无穷时滞的区间神经网络的鲁棒无源性分析硕士论文 一淞捌7 卜j - - 群一专群 = 厂端：；) ) pu 9 2 lr m x ( t ”- h 地( t ) ) 啪 0 乱赫巾誓一专群峰) ) lx ( t - h ( t ) ) i 【- f ( x ( t 一厅( f ) ) ) j ) = g 掰p 晋憾水 斟i = l 剐，一等群胁 = “ ? 瓤赫 o 由牛顿莱布尼茨公式可得： 2 考r ( ，) 三【x ( f ) 一x o 一) 一l j 文( j ) 西】_ 0 2 考7 ( 彬 x o 一厅( f ) ) 叫卜) 一e 地) 凼】= o 2 考r o ) g 【x p 一) 一x 9 一厅o ) ) 一艺) 戈( s ) 删= 0 2 考ro ) 三【即) 圣( s ) 凼乳) 三墨一1 f 考( f ) + 【 ( f ) 邓) 墨圣( s ) d s k 毒r o ) 三墨- 1 f 髻o ) + 帅) o ) 墨文o ) d s 一2 孝r o ) m e 。戈o ) d s ，v = d f a g v , 9o 吒 ， a = d i a g a a ，屯) ，u = d i a g p a ，l a ) ，f = d i a g s 1 ，瓯 ，s = d i a g s l ，s n ，以及 任意矩阵l r 1 2 ，m r 1 2 删，g r 1 2 m ，y r 1 2 删，标量) ，0 ，g 0 ，满足以下 线性矩阵不等式，则系统( 3 1 ) 是鲁棒无源的。 3 2 厩l- h g 厄- h m hs w t 掌 一冠0 000 毒 一见000 木 幸 一己00 - 6 1e j l 幸事事 一， ， a = d i a g , h ，九) ，u = d i a g l h ，心) ，f = d i a g 8 1 ，瓯 ，s = d i a g s ，毛) ，以及 任意矩阵y r 1 2 ，标量y 0 ，s 0 ，满足以下线性矩阵不等式，则系统( 3 1 ) 是鲁棒 无源的。 l 日rl l 一s ，g ，r i 0 其中，日，m ，m + 3 ，j 为已知实值常数矩阵，f ( t ) 是包含l e b s g u e 可测元素的 未知时变矩阵，并且满足f ( f ) f ( f ) r i ，i 是适维单位矩阵。 假设4 2 ：系统4 1 中，离散时滞( t ) ，中立型时滞厅( ，) 连续可微，且存在大于零 的匕下边界，即满足 4 2 硕士论文几类时滞神经网络的无源性分析 0 f 置o ) r 置，0 t o ) 0 ，满足以下线性矩阵不等式，则系统( 4 - 1 ) 是鲁棒无源的。 i 日s rl 卜一s ig 厂l 0 ，满足以下线性矩阵不等式，则系统 ( 4 - 1 ) 是鲁棒无源的。 r 万s r 1l 日s 。l i 枣- 8 1 s j r i o ( 4 5 ) i 一6 1 i 硕士论文 几类时滞神经网络的无源性分析 = 巨。一a t 】，r + 昂一m ! z l f l 巨2 0 l z , f ， o 木 。： 一z ， f ， m c l k u 三 o o 0 0 0 一u u r 木 幸 三形 办 0 o o o m b + t 八g l 功0 0o 00 0o 00 一丁一t r0 一g g r m c , m d a r s t 氍 y d - s r o0 0 0 u ，l 0 0o 0 b rs t 00 0 c js n 0； r u c j s t 搴 一( 1 一p ) y + s d + d z s r 奎 巨= 一刎一4 r m 一荟i 亏1 乙一荔1 形+ q 巨：= 魂+ 劢+ 矿一】，一， k = l 百= 眦r ，0 00 0 00 0s r o 】r h = 【一m 00 00 鸩0m r + 2m + 3 0 】 5 l 0 乙 一q 一 事掌 形 l = 办 一 坦。宰事宰。 p n = ， 一 奎 木 搴 奎 毒 奎 宰 毒 宰 掌 幸 枣 木 枣 奉 事 掌 事 宰 宰 m y o o o 0 _ o o o o s 吖 o o o 0 0 0 幸 4 同时含有多时变时滞和中立型时滞的神经网络的鲁棒无源性分析 硕士论文 证明：在构造李雅普诺夫泛函时，依然将时滞导数项参数置零，即设足= 0 ，= 0 ， k = l ，v ( t ，x ) = k + 蚝+ 虼+ 圪。另外，将参数口置r ，1 3 r 删也置零。部分积 分项由j e n s e n 不等式来处理，其它证明略。 注释4 6 ：比较推论4 1 和4 2 ，不难发现使用j e n s e n 不等式的结论比用定理4 1 的 方法证明得到的推论明显在形式上简略了r l 维，但其中部分对应项，如原定理的自由 1 变量，被固定为正定矩阵一乙，减少了自由度，于是使得推论4 2 略保守于推论4 1 。 4 5 单离散时滞下的推论和一个新的无源性定理 一般来说，实际系统通常只