应力应变状态分析教学课件.pdf

第八章第八章应力应变状态分析应力应变状态分析 8 8- -1 1 引言引言 8 8- -2 2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 8 8- -3 3 应力圆应力圆 8 8- -4 4 极值应力与主应力极值应力与主应力 8 8- -5 5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 8 8- -6 6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 8 8- -7 7广义胡克定律广义胡克定律 8.18.1引言引言 目 录 单向拉压与纯剪切是材料受力最基本形式，在工程实际中， 常常会有更复杂的受力形式。 1 f f 1 单向受力 8.18.1引言引言 目 录 f l a s m fl t fa s平面 z mz t 4 3 2 1 y x 1 z z z z w w m m 3 z z z z w w m m p w t 双向受力 8.18.1引言引言 目 录 三向受力 目 录 8.18.1引言引言 低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 铸铸铁铁 目 录 8.18.1引言引言 脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545 螺旋面断开？螺旋面断开？ 低碳钢低碳钢铸铸铁铁 目 录 很明显，仅仅依靠对单向受力与纯剪切的知识，尚不能解决 上述构件的强度问题，而应研究微体受力的一般情况，微体 内各横截面的应力与各方位的变形，以及材料在复杂应力作 用下的破坏或失效规律。 8.18.1引言引言 目 录 应力状态：构件内一点处所有微截面的应力情况或集合。 8.18.1引言引言 应变状态：构件内一点处沿所有方位的应变情况或集合。 微体的边长为无穷小量，因此，当围绕一点所取微体各截面 的应力均为已知时，则过该点所作各微截面的应力也完全确 定。同样，当围绕一点所取微体各方位的应变均为已知时， 则该点沿各个方位的应变也完全确定。所以，在分析一点处 的应力与应变状态时，通常以微体作为研究对象。 目 录 共同点：在微体的三对侧面中，仅在两对侧面上作用有应 力，且其作用线均平行于微体的不受力侧面。这种应力状 态，称为平面应力状态。平面应力状态是一种常见的应力 状态。单向受力与纯剪切应力状态是平面应力状态的特殊 情况。 一一. .平面应力状态平面应力状态 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 3 1 y x z a b c d x x x y y y e f 平面应力状态的微体 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 目 录 目 录 二二. .斜截面应力一般公式斜截面应力一般公式 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 xx x y n t x x y y y y x x y da y x y 0 n f 0cossinsinsin sincoscoscos dada dadada yy xx e f e f bb ef 面积：da eb 面积：cosda bf 面积：sinda x= y 0 t f 0cossinsinsin sincoscoscos dada dadada yy xx 目 录 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 xx x y n t x x y y y y x y f e f bb 得到平面应力状态下斜截面应力的一般公式： 2cos2sin 2 2sin2cos 22 x yx x yxyx y x x y da 目 录 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 xx x y n t x x y y y y x y f e f bb 将上式中的 用 +90 代替，得到 +90 截面上的正 应力，可以证明： yx 90 即：任意两互相垂直的截面的正应力之和为常数。 y x x y da 目 录 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 xx x y n t x x y y y y x y f e f bb 规定： 正应力以拉伸为正； 切应力以使微体顺时针转动为正； 方位角 则以坐标轴 x 为起始边、指向沿逆时针方向为正。 y x x y da 例8-1 已知应力状态如图，计算 ab 斜面上的正应力和切应力。 8.28.2平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 60 a b mpa50 mpa40 mpa20 n 解： mpa x 50 mpa x 20 30 mpa y 40 mpa2 .10 )60sin()20()60cos( 2 )40(50 2 )40(50 30 mpa49 )60cos()20()60sin( 2 )40(50 30 目 录 目 录 一一. .应力圆应力圆 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） 2cos2sin 2 2sin2cos 22 x yx x yxyx 将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加 22 )2sin2cos 2 () 2 ( x yxyx 22 )2cos2sin 2 ( x yx 目 录 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） 得 2222 ) 2 ()0() 2 ( x yxyx 取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的切应力，则上式 为一圆方程。圆上任一点的纵、横坐标，分别代表微体相应 截面的切应力与正应力，即为应力圆（莫尔圆）。 o 2/ )( yx c 半径为 22 ) 2 ( x yx r 圆心坐标为)0 , 2 ( yx 目 录 二二. .应力圆的绘制与应用应力圆的绘制与应用 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） xx x y y n t y o c d（x截面对应） x x y -x e（y截面对应） h(任意斜截面) 2 f g x=y df=eg cdfceg 2 222 ) 2 ( 2 )( 2 1 x yx yx fdcfcd ogofoc 所作即为应力圆 目 录 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） 截面的应力求法：将半径 cd 沿方位角 的转向旋转 2 至ch处，可以证明，所得 h点的纵、横坐标分别代表 截 面的切应力与正应力。 xx x y y n t y o c d（x截面对应） x x y -x e（y截面对应） h(任意斜截面) 2 f g x=y df=eg 目 录 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） 值得注意的是：在应用应力圆分析应力时，微体内两截面的 夹角为时，应力圆上相对应点所夹的圆心角为2，且二者 转向相同。因此，两相互垂直截面相对应的点，必然位于应 力圆上同一直径的两端。 目 录 8.38.3应力圆（图解法）应力圆（图解法） 绘制应力圆的步骤： 作横轴为轴，纵轴为轴； 在横轴上取ob1= x ，过b1引垂线b1d1=x ； 在横轴上取ob2= y，过b2引垂线b2d2=-x ； 连接d1d2交横轴于c 以c为圆心，cd1为半径作圆，此圆即为应力圆。 xx x y y y o c d1 x x y -x d2 b1 b2 例8-2 已知应力状态如图，利用图解法计算 ab 斜面上的正应力和切应力。 8.38.3应力圆应力圆 60 a b mpa50 mpa40 mpa20 n 解： 目 录 60 c a(50，-20) b(-40，20) e 按比例尺量取e点坐标，得 =10.2mpa =49mpa =-30 o 目 录 一一. .平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 平面应力状态的应力圆如图所示。在平行于 z 轴的各截面中， 最大与最小正应力分别为 2 2 min max ) 2 ( 2 x yxyx caoc 最大正应力所在截面的方位角： yx x yx x cf df 2 2 2tan 0 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 由图中可以看出，直线 bd 所示方位即最大正应力的方位，因 此，方位角也可由下式确定： y x x x bf fd maxmin 0 tan 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 因为最大与最小正应力所在截面互相垂直，因此，各正应力极 值所在截面的方位如图（）。 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 在平行于轴的各截面中，最大与最小切应力分别为 2 2 min max ) 2 ( x yx ck 所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 夹角。 目 录 二二. .主应力主应力 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 主平面：切应力为零的截面。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 主平面：主平面上的正应力。按其代数值，表示为： 在处于平面应力状态的微体内，一定存在主平面微体。 321 单向应力状态：三个主应力中，仅有一个主应力不为零。 二向应力状态：三个主应力中，两个主应力不为零。 三向应力状态：三个主应力都不为零。 目 录 三三. .纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 1 3 45 d b(0，-) a(0，) o c ct max, dc max, 最大拉、压应力最大拉、压应力 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 1 3 45 d b(0，-) a(0，) o c 最大切应力位于微体的纵、横最大切应力位于微体的纵、横 截面上，绝对值为截面上，绝对值为 minmax 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 低碳钢圆轴扭转屈服时，在表面纵、横方向出现 滑移线，灰口铸铁圆轴扭转时，在与轴线约成 45倾角的螺旋面上发生断裂，即分别与最大切 应力及最大拉应力有关。 例8-3 求图示微体的主应力大小及方位。 目 录 mpa50 mpa40 mpa20 ,50mpa x ,20mpa x ,40mpa y 解：已知 mpa mpa x yxyx 2 .44 2 .54 )20() 2 4050 ( 2 4050 ) 2 ( 2 22 2 2 min max 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 mpa50 mpa40 mpa20 .55 4 max mpa min .44 2mpa 12) 402 .54 20 arctan()arctan( max 0 y x 因此 123 54 2044 2mpampa 12 0 最大主应力的方位角： 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 mpa50 mpa40 mpa20 1 1 3 3 c a(50，-20) b(-40，20) e o 解(二)：图解法 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 例8-4 求图示微体的主应力大小及方位。 目 录 mpa x 80 mpa x 40 0 y 解（一）解析法 mpa mpa 57.96 57.16 )40() 2 080 ( 2 080 22 min max mpa80 mpa40 5 .67) 057.16 40 arctan()arctan( max 0 y x 5 .6757.96057.16 0321 mpampa 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 mpa80 mpa40 3 3 1 1 5 .6757.96057.16 0321 mpampa 解(二)：图解法 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 1 2 4 5 1 2 3 4 5 m m 1 5 3 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2tan 0 04 2 1 2 04 2 1 2 0 2 22 3 22 1 2 3 4 梁的主应力与主应力迹线。 此式表明，在梁内任一点处 的两个非零主应力中，其一 必为拉应力，而另一则必为 压应力。 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应 力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成 两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主 应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个 主应力的方向。 x 1 1 截面 2 2 截面 3 3 截面 4 4 截面 i i 截面 n n 截面 b a c d 主应力迹线的画法： 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 拉力 压力 1 3 图示为悬臂梁的主应力迹线 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 q 3 1 图示混凝土梁自 重下的主应力迹线。 混凝土属脆性 材料，抗压不抗拉。 沿拉主应力迹线方 向铺设钢筋，可增 强混凝土梁的抗拉 强度。 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 目 录 目 录 一一. .三向应力圆三向应力圆 8.58.5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 1 2 x y z 3 主平面微体 1 2 3 1 2 与主应力 3平行的斜截面上的应力， 仅与 1和 2 有关，所以，在 - 平面内，与这类斜截面对应的点， 必然位于由 1与 2 所确定的应力 圆上。 1 2 3 三向应力圆 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8.58.5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 目 录 目 录 二二. .最大应力最大应力 8.58.5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 在 - 平面内，代表任一截面的应力的点，或位于应力圆上， 或位于由三圆所构成的阴影区域内。则最大与最小正应力分 别为最大与最小主应力，即 3min 1max 1 2 3 1 2 3 maxmin 2 31 max 1 2 3 最大切应力所在的截面与2 平行，与第一、第三主平面成45角。 8.58.5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 目 录 8.58.5复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 上述结论也适用于单向与二向应力状态。 如对于在拉应力 作用下的单向应力状态： 0, 321 则最大正应力与最大切应力分别为 max 2 max 目 录 例8-5 如图所示应力状态，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力 与最大切应力。 目 录 已知 mpampa mpampa xz yx 3540 2080 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 x y x y z z x 解：1.画三向应力圆 显然，z为主应力，其余两个主应力 可由x、y和 x 确定。 x x y a(80,35) b(20,35) cd mpampa dc 90. 31 .96 e 目 录 8.48.4极值应力与主应力极值应力与主应力 x y x y z z x 2.主应力与最大应力 x x y a(80,35) b(20,35) cd mpa mpa mpa e d c 4 .40 90. 3 1 .96 3 2 1 e mpa1 .96 1max 最大正应力 最大切应力mpa1 .136 2 31 max 目 录 一一. .广义胡克定律广义胡克定律 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 弹性力学指出：对于各向同性材料，当变形很 小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关， 而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正 应力无关。这样，处于平面应力状态的微体，其正 应变 x、y与切应变 xy均可利用叠加原理进行分 析。 x x y y x x =+ 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 e x x e x y y x y y y x xy 正应力 x单独作用时，微体 x 和 y 方向的正应变分别为 正应力 y单独作用时，微体 x 和 y 方向的正应变分别为 e y x e y y 目 录 x x y y x x =+ 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 )( 1 yxx e y x y y y x xy 所以，当正应力 x与 y 同时作用时，微体 x 和 y 方向 的正应变分别为 )( 1 xyy e e x x e x y e y x e y y 正应力单 独作用时： 目 录 x x y y x x =+ 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 )( 1 yxx e y x y y y x xy 微体的切应变为 )( 1 xyy e 正应力同 时作用时： g x xy 目 录 x x y y x x =+ 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 y x y y y x xy 同理可得 ) 1 ()( 1 yxx e )2()( 1 xyy e )2() 1 ()( 1 2 yxx e )( 1 2 xyy e g x xy xyx g 目 录 目 录 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 同样可以证明，对于三向应力状态，应变与应力的关系为 x y z xy xz x y z yx yz zx zy )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx e e e 1 3 )( 1 )( 1 )( 1 2133 1322 3211 e e e 2 微体的六个平面皆为主 平面时的情况： 目 录 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx e e e )( 1 )( 1 )( 1 2133 1322 3211 e e e )( 1 yxx e )( 1 xyy e g x xy )( 1 2 yxx e )( 1 2 xyy e xyx g 广 义 胡 克 定 律 目 录 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 广义胡克定律的使用范围： 1. 材料为各向同性，且处于线弹性范围内； 2. 式中的 x，y 并不局限于所取定的坐标轴，只要 x，y 方向互相垂直，均可使用此定理。 例8-6 如图所示槽形缸体，槽宽 a=10mm，槽内放置一边长为 a 的正方 形钢块，二者光滑贴合。设钢块顶面承受合力为 f=8kn 的均布压力作用， 钢的弹性模量 e=200gpa，泊松比 =0.3。试求钢块的主应力。 目 录 解：在压力作用下，钢块顶面受压，且 x 方向变形受阻，则 会引起压 应力 x，即钢块处于二向应力状态。 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 f x y x y z a a 目 录 钢块处于二向应力状态，并且 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 f x y x y z a a 0 x mpapa a f y 80 01. 0 8000 22 钢块顶面的压应力为 0 z 目 录 根据广义胡克定律 8.78.7广义胡克定律广义胡克定律 x y mpa yx 24)80(3 . 0 将已知数值代入第一式，得 )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx e e e 0 x mpa y 80 钢块各受力面均为主平面，主应力分别为： mpampa80,24, 0 321 0 z 例8-7 已知 e=10 gpa、 = 0.2，求