2015-2016学年高中数学 1.4生活中的优化问题举例课后习题 新人教a版选修2-2

【优化设计】2015-2016学年高中数学 1.4生活中的优化问题举例课后习题 新人教A版选修2-2课时演练促提升A组1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出:y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是() A.6时B.7时C.8时D.9时解析:y=-t2-t+36,令y=0解得t=8或t=-12(舍),当0t0;当t8时,y0,t=8为函数的最大值点.t=8时,通过该路段用时最多.答案:C2.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2B.4 cm2C.3 cm2D.2 cm2解析:设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面积之和为S=x2+(4-x)2=(x-2)2+42(cm2),故选D.答案:D3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高为()A. cmB.10 cmC.15 cmD. cm解析:设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积V=x(202-x2)(0x20),V=(400-3x2),令V=0得x1=,x2=-(舍去).又当0x0;x20时,V0),y=x2.由y=0,得x=25,当x(0,25)时,y0,x(25,+)时,y0),为使耗电量最小,则其速度应定为.解析:由题设知y=x2-39x-40,令y0,解得x40,或x0)在40,+)上递增,在(0,40上递减.当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案:407.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 n mile/h,当速度为10 n mile/h时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为.解析:由题意设燃料费y与航速x间满足y=ax3(0x30),又25=a103,a=.设从甲地到乙地海轮的航速为v,费用为y,则y=av3400=20v2+.由y=40v-=0,得v=2030.当0v20时,y0;当20v0,当v=20时,y最小.答案:20 n mile/h8.已知球的直径为d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少?解:如图所示,设正四棱柱的底面边长为x,高为h,由于x2+x2+h2=d2,所以x2=(d2-h2).所以球内接正四棱柱的体积为V=x2h=(d2h-h3),0hd.令V=(d2-3h2)=0,所以h=d.在(0,d)上,当h变化时,V,V的变化情况如下表:hdV+0-V极大值由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为d.9.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的销售价,使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x)元,月平均销售量为a(1-x2)件,则月平均利润y=a(1-x2)20(1+x)-15元,所以y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x2-4x3)(0x1).(2)由y=5a(4-2x-12x2)=0,得x1=,x2=-(舍).当0x0;x1时,y0,所以函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0x0;当300x390时,P(x)390时,P(x)40 000,因此当x=300时利润最大.答案:3002.将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是.解析:设剪成的上面一块正三角形的边长为x.则S=(0x1),S=-,令S=0,得x=或x=3(舍去).x=是S的极小值点且是最小值点.Smin=.答案:3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面直径之比为时,所用材料最省.解析:设圆柱的高为h,底面半径为R,则表面积S=2Rh+2R2.由V=R2h,得h=,则S(R)=2R+2R2=+2R2.令S(R)=-+4R=0,解得R=,从而h=2,即h=2R.因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.故当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.答案:114.请你设计一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?解:设OO1为x m,则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m).于是底面正六边形的面积为(单位:m2)6()2=(8+2x-x2).帐篷的体积为(单位:m3)V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3).求导数,得V(x)=(12-3x2).令V(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.当1x0,V(x)单调递增;当2x4时,V(x)0,V(x)单调递减.所以当x=2时,V(x)最大,即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时,帐篷的体积最大.5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,解得a=2.(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2(3x6).所以f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).令f(x)=0,得x=4或x=6.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)极大值42由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值为f(4)=42.即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.6.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=-1.所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(2+)x=+