2.2.1《直接证明》教案

2.2.1直接证明教案教学目标1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点2结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点来源:教学重点、难点综合法的证明过程和应用分析法的证明过程和应用教学过程一、自学导航1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA来源:证明：:连结AC, 四边形ABCD是平行四边形 ABCD,BCCD故1=2, 3=4又AC=CA ABCCDAAB=CD,BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？2、观察下面问题的证法：来*源:中&国教育出版网设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2证明：要证 a3+b3a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2ab成立(a+b0) 只需证a2-2ab+b20成立， 即需证(a-b)20成立 而由已知条件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20显然成立，由此命题得证思考：以上证明方法有什么特点？_二、探究新知1直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明常用的直 接证明方法有综合法与分析法（1）综合法与分析法要点解析表（2）对分析法证题的说明“若成立，则成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）成立，只需证明成立（是成立的充分条件），要证成立，只需证明成立（是成立的充分条件），要证明成立，只需证明A成立（A是成立的充分条件），A成立，B成立注：每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件；在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；“只需证明”、“为了证明”、“A成立，B成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来（3）综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错中国%教*育出版网综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证三、例题精讲：中国教#育*&出版网例1、 课本例1（分别用综合法和分析法证明）例2、已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc 证明:因为b2+c2 2bc,a0，所以a(b2+c2)2abc.又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.来源:%中*&教网 例3、已知，求证：分析：本题用综合法不容易找到证题思路，因此用分析法探路要证原不等式成立，由，得，来源:因此移项，只需证来源:中教&网%通分，得，即证来%源:中教网&只需证成立思路找到证明：， ，即，点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地 表述过程例4、若a，b，c是不全相等的正数，求证：来源: 证明：要证，来源:中*&国教%育#出版网只需证，只需证又，且上述三式中的等号不全成立，所以c因此来源:#中国%教育出版网注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法四、课堂精练zzste*p.%com课本P81练习1、2、3、4 练习： ，求证：，求证：分析：要证只需证明只需证明只需证明证明：来源:%中国教育&出版#网来源:中*&国%教育出版网所以原命题成立。 3.ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：B b 所以 cosB0 因此 五、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地ww&w.