高中数学 3.4 基本不等式习题 新人教a版必修5

基本不等式A组基础巩固1若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64解析：xyxy2y8x28，8，即xy64，当且仅当即时等号成立答案：D2已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：x2y2xy8，y0，1x0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A. B1C4 D8解析：由a0，b0，ln(ab)0，得2224，当且仅当ab时，取等号答案：C4已知x3y20，则3x27y1的最小值是()A3 B12C6 D7解析：3x27y13x33y1212317，当且仅当3x33y且x3y20，即x1，y时，等号成立，所求最小值为7.答案：D5设M是ABC内一点，且ABC的面积为1，定义f(M)(m，n，p)，其中m、n、p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若f(M)，则的最小值是()A8 B9C16 D18解析：ABC的面积为MBC，MCA，MAB的面积之和，xy1，即xy，(2x2y)1018.当且仅当x，y时等号成立答案：D6设abc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4C2 D5解析：abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)22204，当且仅当a(ab)1，ab1，a5c0时取等号即当a，b，c时，所求式的最小值为4.答案：B7函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_解析：函数ya(1x)(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)，因为点A在直线mxny1上，所以mn1.又因为mn0，所以1(mn)2224.当且仅当mn时，取等号答案：48若对任意的x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：根据题意，令f(x)，x0，x2，f(x)，当且仅当x1时，取得最大值.若使不等式恒成立，只需a即可答案：a9已知a0，b0，ab1，求证：9.证明：方法一：因为a0，b0，ab1，所以112.同理12，故52549.所以9.方法二：111，因为a，b为正数，ab1，所以ab2，于是4，8，因此18910已知函数y(x2)(1)求的取值范围(2)当x为何值时，y取何最大值？解：(1)设x2t，xt2，t0(x2)，则t323，的取值范围为23，(2)欲使y最大，必有最小，此时t，t，x2，y，当x2时，y最大，最大值为.B组能力提升11在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cosC的最小值为()A. B.C. D解析：由余弦定理得a2b2c22abcosC.又c2(a2b2)，所以2abcosC(a2b2)，即cosC，所以选C.答案：C12设ab2，b0，则当a_时，取得最小值解析：ab2，则t.当a0时，即a(0,2)时，t21，当且仅当，即b2a时等号成立又ab2，此时a.当a3，y2)，矩形AMPN的面积为S，则Sxy.NDCNAM，x，S(y2)由32，得2y8.AN的长度应在或(8，)内(2)当y2时，S33(44)24，当且仅当y2，即y4时，等号成立，解得x6.存在M，N点，当AM6，AN4时，Smin24.14记F(x，y)xya(x2)，x、y(0，)若对任意的x，y(0，)，恒有