高中数学（北师大版）选修1-2教案：第4章 典型例题：数系的扩充

“数系的扩充”例题精析例1 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(52i)m+615i是实数；虚数；纯虚数；对应的点在第三象限；对应的点在直线x+y+4=0上；共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、bR)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解: z=(1+i)m2+(52i)m+615i=(m2+5m+6)+(m22m15)i.mR,z的实部为m2+5m+6,虚部为m22m15.要使z为实数，必有m=5或m=3.要使z为虚数，必有m22m150,m5且m3.要使z为纯虚数，必有即m=2.要使z对应的点在第三象限，必有3m2.要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6,m22m15)满足方程x+y+4=0，(m2+5m+6)+(m22m15)+4=0.解得m=或m=1.要使z的共轭复数的虚部为12，则(m22m15)=12,m=1或m=3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a、bR)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.例2 已知复数z1满足(z12)i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.解:由(z12)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(i)+2=3i.z2的虚部为2，可设z2=a+2i(aR),z1z2=(3i)(a+2i)=(3a+2)+(6a)i为实数，6a=0,即a=6.因此z2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.例3 复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(bR),然后再求所对应的点的集合.解:如图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(bR).因此.设=x+yi(x、yR),于是x+yi=i.根据复数相等的条件,有消去b,有x2+y2=x.所以x2+y2=x(x0),即(x)2+y2=(x0).所以所对应的点的集合是以(,0)为圆心,为半径的圆,但不包括原点O(0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一