高二数学精品教案：3.2 2（选修2-2）

学习目标：1知道数集的扩充过程和复数的概念；2掌握实系数一元二次方程的解的求法；3能进行复数的四则运算。重点知识归纳 自我备注重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充难点：复数的概念及复数的几种不同的表示 内容：1数集的扩充过程：自然数集（N）整数集（Z）有理数集（Q）实数集（R）复数集（C）。每次扩充都使数集本身能适合更多种代数运算2复数的概念（1）虚数单位的定义及性质：；实数可以与它进行四则运算，原有的运算法则仍然成立的周期性：，（2）形如的数叫复数，复数集用符号C表示。a叫复数的实部，b叫复数的虚部。复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。（3）复数相等的定义：如果，两个推论：；或（4）两个实数能比较大小，但两个虚数不能比较大小，一个实数与一个虚数也不能比较大小，一般的，对于两个复数来说，我们只提它们相等或不相等，而不比较它们的大小。（5）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴；y轴叫虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数。复数集C与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即 复数z=a+bi复平面内的点Z（a，b） （6）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。共轭复数是相互的，即：共轭复数对应点在复平面上关系是：关于实轴对称。3实系数一元二次方程的解当时，在复数系C中有两实根当时，方程有两个互为共轭的虚根含虚数系数的一元二次方程，只要把换为的平方根代入求根公式即可；（高考不要求）韦达定理，对实数系数一元二次方程及含虚数系数的一元二次方程均适用。4复数的运算：设，（a，b，c，dR） 复数的加法满足交换律、结合律，乘法满足交换律、结合律、分配律乘方性质：（） （） （）5的性质：和是实系数一元二次方程的一个根，也是的一个根。 例题：1：计算：（1）；（2）；（3）解析：（1）分析：需要对n进行讨论从而得到的所有的值来源:，同理可得：时，时，时，时，（2）分析：可利用（1）中所具有的类似“周期”性质 （法一） （法二）（3） 2：（1）m（mR）取什么值时，复数是1）实数；2）虚数；3）纯虚数。（2）m（mR）取什么值时，复数在复平面上对应的点Z1）在实轴上；2）虚轴上；3）第一象限。分析：根据实数、虚数、纯虚数的定义判断实部与虚部取值情况。解析：（1）1）即m=1或m=3时，z为实数 2）即m1且m3时，z为虚数 3）且时，即m=1时，z为纯虚数（2）1）点z在实轴上，即z为实数时，由（1）第1）题知m=1或m=3 2）点z在虚轴上，即z为纯虚数或0，故，解得m=1或m=3 3）点z在第一象限，则实部虚部均大于0 ，解得m1或m3 点评：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征。3：求证：复数z为实数的充要条件是分析：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：（充分性）设（a，bR），则若即，于是故b=0，z=a（aR），z为实数（必要性）若z为实数a，综上，复数z为实数的充要条件为注意：充分必要条件中需要明确充分性及必要性。4：，复数与复数相等，求x，y。分析：本题考点同例3，但更强调概念的应用。解析：故 所以，故思考：本题若改为“”方法是否一样？是否有唯一解？5：在复数集中：（1）任何两个复数都不能比较大小；（2）任何复数的偶次幂不小于0；（3），如果，那么。以上命题错误的个数为（ ）A0 B1 C2 D3分析：判断题中正确的需要证明，而错误的只需举出一个反例即可。解析：（1）不对。如5C，3C，53能比大小。（2）不对。如，10。（3）不对。如，但、不能比较大小。综上，选D。6：已知，解方程：；解析：依题意或或依题意或时，时，综上，方程的根为x=1或或点评：数系扩充到复数集后，在实数范围无解的方程如，有两共轭解，因此解方程要注意解的范围要求。7：计算：（1）；（2）；（3） ； （4），求解析：（1）（2）（3）（法一） （法二） （4）点评：代数式能化简时，先化简再计算；熟练运用常见结论1）的“周期性”（）2）3），则，等4）8：如果，求：之值。解析： 又， 思考：方程的根还具有什么性质？本题还有其它解法吗？9：已知，且，求z。解析：设，则 由得 ，或点评：对于关于、的方程可通过设转化为解关于x，y的实数方程组。10：已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？解析：设，z1且z0又因为纯虚数，可设于是， 故 （由得），将代入得 整理得点Z的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去点（0，0）及（1，0）点评：求点Z轨迹即求复数Z的实部与虚部的关系，经常采用消参法求方法。注意参数取值范围对点Z轨迹方程的影响。注意区别轨迹