2.3《数学归纳法》教案（2）

2.3数学归纳法教案（2）教学目标1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；3抽象思维和概括能力进一步得到提高。教学重点、难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。难点：www%.zzst*ep.c#om1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程一、复习回顾一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：来源:（1） （归纳奠基）证明当n取第一个值时命题成立;www.zz&step%.com*（2） （归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立 。-数学归纳法 二、例题剖析：例题1、用数学归纳法证明：能被6整除证明：（1）当n=1时，=6能被6整除，命题成立；来源:zzst&ep#.co%m（2）假设当n=k 时命题成立，即能被6整除来源:zzs*te%#那么，当n=k+1时，由归纳假设能被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而能够被6整除，因此，当时命题成立。由（1）（2）知，命题对一切正整数成立，即任意的均成立，即能被6整除。特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件。例2 已知数列 计算，根据计算的结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。www#.zzs*tep.c%om来源:数理化网解：当时，来源:当时，当时，当时，例3、是否存在常数使得等式对一切正整数都成立，并证明你的结论。点拨：对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立。解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时,由上面解法知结论正确。来源:数理化网(2)假设当n=k时结论正确，即：ww#w.zzste&p.co*m则当n=k+1时，故当n=k+1时，结论也正确。根据(1)、(2)知，对一切正整数n，结论正确。来源:zzs#*tep.co&m例4 比较 2n与 n2 (nN*)的大小解：当n=1时，2n =2，n2=1，2nn2 当n=2时，2n =4，n2=4，2nn22 当n=3时，2n =8，n2=9，2nn2来源:中国教育出版网*%当n=4时，2n =16，n2=16，2nn2当n=5时，2n =32，n2=25，2nn2 当n=6时，2n=64，n2=36，2nn22猜想当n5时，2nn22(证明略)三、课堂练习：练习1、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+2k-1=2k-1那么，1+2+22+2k-1+2k=2k-1+ 2k=22k-1=2k+1-1这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN*都成立。来源:%中教*网练习2下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程。你认为他的证法正确吗?为什么?来源:#zzstep&.c%o*m (1).当n=1时,左边= ，右边= (2).假设n=k时命题成立 即来源:那么n=k+1时,来源:zzs&tep.*co#%m左边=右边,即n=k+1时，命题也成立。由(1)(2)知，对一切自然数，命题均正确。 四、课堂小结：归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 来源:*zzstep.co&m数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。1、数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题2、数学归纳法的核心：在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假。（必不可少）“假设n=k时命