第一章 第4讲

第十一章 机械振动 目标定位 1.知道什么是单摆. 2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动. 3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用 它进行计算. 4.会用单摆测定重力加速度. 第4讲 单 摆 1 预习导学 梳理识记点拨 2 课堂讲义 理解深化探究 3对点练习 巩固应用反馈 预习导学 梳理识记点拨 4 第4讲 单 摆 一、单摆的回复力 1.单摆：用细线悬挂着小球，如果细线的质量与 相比 可以忽略， 与细线长度相比可以忽略，这样的装 置就叫做单摆.单摆是实际摆的 模型. 2.单摆的回复力：在偏角很小的情况下，摆球所受的回复 力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总是指向 ，因此单摆做简谐运动. 小球 球的直径 理想化 正比 平衡 位置 5 第4讲 单 摆 想一想 单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？ 答案 不是.单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可 分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力 沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力. 6 第4讲 单 摆 二、单摆的周期 荷兰物理学家 确定了计算单摆周期的公式：T ，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成 ，与重 力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 (填 “有关”或“无关”). 惠更斯 正比 反比无关 7 第4讲 单 摆 想一想 在课本“探究单摆的振幅、摆球的质量、摆长 对周期的影响”的实验中运用了什么方法？ 答案 控制变量法 8 第4讲 单 摆 三、用单摆测定重力加速度 原理：根据单摆的周期公式：T2 ，可得：g ，测出单摆的 、 ，可以求出当地的重力加速度 g. 摆长l周期T 课堂讲义 理解深化探究 9 第4讲 单 摆 一、单摆及单摆的回复力 1.单摆 (1)单摆是实际摆的理想化模型 (2)实际摆看作单摆的条件 摆线的形变量与摆线长度相比小得多 摆线的质量与摆球质量相比小得多 摆球的直径与摆线长度相比小得多 10 第4讲 单 摆 2.单摆的回复力 (1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力Fmgsin 提 供的. (2)如图1所示，在最大偏角很小的条件下， sin ，其中x为摆球对平衡位置O点的位移.单摆 的回复力F x，令k ，则Fkx.由此可见， 单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动.图1 11 第4讲 单 摆 注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不 为零. (2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是 小球受到的合外力. 12 第4讲 单 摆 例1 对于单摆，以下说法中正确的是( ) A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零 13 第4讲 单 摆 解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重 力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力 与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为 ，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大， 而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零.故应选C. 答案 C 14 第4讲 单 摆 借题发挥 单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说 是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在 摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是 合外力完全用来提供回复力.因此摆球经过平衡位置时，只 是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做 圆周运动的向心力). 15 第4讲 单 摆 二、单摆的周期 1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周 期公式并发明了摆钟. 2.单摆的周期公式：T2 . 16 第4讲 单 摆 3.对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5时，由周期 公式算出的周期和精确值相差0.01%). (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离ll线r球. (3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位 置决定. (4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关.所以单摆的周 期也叫固有周期. 17 第4讲 单 摆 例2 若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆 球离开平衡位置的最大角度由4减为2，则单摆振动的( ) A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变 C.频率改变，振幅不变 D.频率改变，振幅改变 解析 单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T2 不变 ，频率f 不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项 B正确. B 18 第4讲 单 摆 图2 例3 如图2所示是两个单摆的振动图象. 19 第4讲 单 摆 (1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？ 解析 (1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期 的 ，即T甲T乙12，又由单摆的周期与摆长的关系可 知，l甲l乙14. 答案 14 20 第4讲 单 摆 (2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向， 从t0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了 什么位置？向什么方向运动？ 解析 由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处 时，t2 s，振动到 周期，甲振动到 周期，位移为0，位 于平衡位置，此时甲向左运动. 答案 甲振动到 周期，位于平衡位置，此时甲向左运动. 21 第4讲 单 摆 三、用单摆测定重力加速度 1.实验原理 单摆在偏角很小(不大于5)时的运动，可看成简谐运动，其 固有周期T2 ，可得g .据此，通过实验测出摆 长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度值. 22 第4讲 单 摆 2.实验器材 铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、 秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为1 mm)、游标 卡尺. 3.实验步骤 (1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个比孔稍大 一些的线结，制成一个单摆. 23 第4讲 单 摆 (2)把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂. (3)用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离). (4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于等于 5，再释放小球.当摆球摆动稳定以后，过最低点位置时，用 秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出 一次全振动的时间，即单摆的振动周期. (5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格. 24 第4讲 单 摆 4.数据处理 (1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g 中，求出g值，最后求出g的平均值. 图3 (2)图象法：由T2 得T2 l作出T2l图象 ，即以T2为纵轴，以l为横轴，如图3所示.其斜率 k ，由图象的斜率即可求出重力加速度g. 25 第4讲 单 摆 注意：(1)选择器材时应选择细而不易伸长的线，长度一般 为1 m左右.小球应选用质量大、体积小的金属球. (2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应不大于5. (3)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形 成圆锥摆. (4)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点位置时开 始计时，以摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次 (如30次或50次)全振动的时间，并用取平均值的办法求周期. 26 第4讲 单 摆 例4 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向 下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图4甲所示，将悬线 拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中 悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出 筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的 摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那 么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g. 27 第4讲 单 摆 图4 28 第4讲 单 摆 (1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时， 按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最 低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，停 止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为( ) 解析 58个“半周期”，这段时间t含有29个周期，该单摆的 周期为 ，选项A正确. A 29 第4讲 单 摆 (2)如果实验中所得到的T2L关系图象如图乙所示，那么真 正的图象应该是a、b、c中的 . a 30 第4讲 单 摆 (3)由图象可知，小筒的深度h m；当地重力加速度g m/s2. 解析 将T20，L30 cm代入上式可得 h30 cm0.3 m 将T21.20 s2，L0代入上式可求得 g29.86 m/s2. 0.3 9.86 对点练习 巩固应用反馈 31 第4讲 单 摆 单摆及其回复力 1.单摆振动的回复力是( ) A.摆球所受的重力 B.摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C.悬线对摆球的拉力 D.摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力 32 第4讲 单 摆 解析 摆球振动的回复力是其重力沿轨迹切向方向的分 力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确. 答案 B 33 第4讲 单 摆 单摆的周期公式 2.单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆的周期发生 变化( ) A.摆长减为原来的四分之一 B.摆球的质量减为原来的四分之一 C.振幅减为原来的四分之一 D.重力加速度减为原来的四分之一 34 第4讲 单 摆 解析 由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度 有关. 答案 AD 35 第4讲 单 摆 3.图5为甲、乙两单摆的振动图象，则( ) A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、 乙两单摆的摆长之比l甲l乙21 B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、 乙两单摆的摆长之比l甲l乙41 C.若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则 甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙41 图5 36 第4讲 单 摆 D.若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、 乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙14 解析 由题图可知T甲T乙21，根据公式T2 ，若 两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲l乙41；若两摆 长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲g乙14. 答案 BD 37 第4讲 单 摆 用单摆测定重力加速度 4.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期 T计算重力加速度的公式是g .若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图 6甲所示，则单摆摆长是 m.若测定了40次全振动的时间 如图乙中秒表所示，则秒表读数是 s，单摆摆动周期是 . 38 第4讲 单 摆 图6 39 第4讲 单 摆 为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值.现将 测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系 上，如图7所示，则： 图7 40 第4讲 单 摆 单摆做简