第五篇 第4讲 平面向量应用举例

第4讲 平面向量应用举例A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012西安模拟)已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|ab|a|b|，则tan x的值等于 ()A1 B1 C. D.解析由|ab|a|b|知，ab.所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，故tan x1.答案A2(2013九江模拟)若|a|2sin 15，|b|4cos 15，a与b的夹角为30，则ab的值是 ()A. B. C2 D.解析ab|a|b|cos 308sin 15cos 154sin 30.答案B3.(2012哈尔滨模拟)函数ytanx的部分图象如图所示，则() ()A4 B6C1 D2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，()()()221046.答案B4在ABC中，BAC60，AB2，AC1，E，F为边BC的三等分点，则 ()A. B. C. D.解析法一依题意，不妨设E，2，则有()，即；2()，即.所以(2)(2)(22225)(222212521cos 60)，选A.法二由BAC60，AB2，AC1可得ACB90，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，(1)(1)1，选A.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013上饶适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB2，AD1，BAD60，E为CD的中点，则_.解析()()()22112cos 604.答案6(2013东北三校一模)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC，则_.解析依题意得(3sin Bsin C)cos Asin Acos C，即3sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，于是有cos A，sin A，又SABCbcsin Abc，所以bc3，bccos(A)bccos A31.答案1三、解答题(共25分)7(12分)(2012北京海淀模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若k(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若c，求k的值解(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，AB，AB，即ABC为等腰三角形(2)由(1)知，bccos Abck，c，k1.8(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a2b3c0，则cos B ()A B. C. D解析由4a2b3c0，得4a3c2b2b()2b2b，所以4a3c2b.由余弦定理得cos B.答案A2(2013汉中三模)ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为 ()A1 B2 C. D3解析如图，由题意可设D为BC的中点，由0，得20，即2，A，O，D共线且|2|，又O为ABC的外心，AO为BC的中垂线，|2，|1，|，在方向上的投影为.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为_解析若ab，则4(x1)2y0，即2xy2.9x3y32x3y226.当且仅当x，y1时取得最小值答案64(2013山西大学附中月考)已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_解析由题意得：f(x)x2|a|xab必有可变号零点，即|a|24ab0，即4|b|28|b|2cosa，b0，即1cosa，b.所以a与b的夹角范围为.答案三、解答题(共25分)5(12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin B，)，n且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求SABC的最大值解(1)mn，2sin Bcos 2B，sin 2Bcos 2B，即tan 2B.又B为锐角，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cos B，得a2c2ac40.又a2c22ac，代入上式，得ac4(当且仅当ac2时等号成立)SABCacsin Bac(当且仅当ac2时等号成立)，即SABC的最大值为.6(13分)(2012南通模拟)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解(1)mnsin cos cos2 sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Aco