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线段的垂直平分线典型习题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线).线段的垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.它的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于1的证明，利用了全等三角形，而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析】本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题.例1 已知ABC中，AB，B，的中垂线分别为l1,l2,l3（图3.14-1）.求证l1,l2,l3三线共点.图3.14-1分析 可考虑先设l1,l2,交于点O，再设法证明O在l3上，从而达到证l1,l2,l3共点的目的.证 设l1,l2交于O，连OA，OB，OC.l1为AB中垂线OA=OB,同理OB=OC OA=OC O在AC中垂线上.即O在l3上，l1l2l3共点.注：该点叫三角形的“外心”，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形图3.14-2分析 如图3,14-2 P为中垂线交点，且在AB上，连PC，则PA=PB=PC.1=A 2=B. 1+2=A+B=90ACB=90 故选C例3 如图3.14-3,ABC中A=120 AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.则= .图3.14-3分析 A=120 AB=AC B=C=30又DE为中垂线AE EA=EB EBA=EAB=30EAC=90 C=30AE=BE=EC =例4 如图3.14-4，AD为ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证CAF=B.图3.14-4分析 本题从结论入手较困难，应从EF为AD中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即ADF为等腰三角形，2+3=4,而4为ABD的外角，4=B+1,再由已知1=2可得结论3=B.证 EF为AD中垂线AF=DF 2+3=4，又4=1+B 2+3=1+B 1=23=B 即CAF=B.【难题巧解点拨】例1 A BC中，A=90,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图3.14-5).来源:学科网ZXXK图3.14-5分析 由已知CD为EF的中垂线，可知CEF为等腰三角形，1=2.D为ACB平分线上一点，可利用角平分线性质，作DBC于G. A=90DAAC AD=DG,将线段AD转移到线段DG上，又由于B=45BDG为等腰直角三角形 DG=BG下面只需证明DG=GF，即可.证DG=GF，可考虑证DGFADE.证 连DE，DF，作DGBC于G.DC为EF的中垂线DE=DF,CE=CF.DCEF 1=2.又A=90 DAAC，DGBC DA=DG.又DG=DF RtADERtGDF（HL） GF=AE又AE=AD AD=DG=GF. A=90 AB=AC B=45在BDG中B=45 DGB=90 BDG=45DG=BG DG=BG=GF DG=BF AD=BF.例2 如图3.14-6，AD为ABC的高，B=2C，BD=5，BC=20，求AB.图3.14-6分析 本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑ADBC,BDDC.(BD=5,DC=15)，在DC上取DE=BD，利用中垂线将求AB长转化为求AE的长，再利用B=1及已知B=2C，将求AE的长巧妙地转移到求EC的长.解 BD=5 BC=20在DC上取DE=BD=5，连AE，ADBE，BD=DE AD为BE中垂线 AB=AEB=1=2+C=2C C=2 AE=EC AB=EC又BD=DE=5 BC=20 EC=10 AB=10【同步达纲练习】一、判断(4分6=24分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.来源:学_科_网( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则A+C=180.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题(5分6=30分)1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点 B.三条高的交点C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，ADB=80, CAD=10,则ACB=( )A.90 B.100 C.110 D.1203.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，C=34,则ABE=( )A.17 B.34 C.68 D.1364.O为ABC三边中垂线的交点，则O称为ABC的( )A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形来源:学。科。网Z。X。X。K图3.14-76.ABC中，ACB=90, A=30AC的中垂线交AC于E.交AB于D，(图3.14-7)则图中60的角共有( )A6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空(5分6=30分)1.ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在 的中垂线上，P还在 的平分线上.2.ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，BCD周长为4cm,则BC= .3.ABC中，AB=AC，A=120,AB中垂线交BC于E，则= .4.正ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则BOC= .5. ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则A= .6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的 .四、解答(8分2=16分)1.ABC中，C=90,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且EBC=40,求A及BED的度数.2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.来源:学.科.网Z.X.X.K【素质优化训练】1.AD为ABC的角平分线，DEAC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F(图3.14-8),求证（BAC+AFC）=90-B.图3.14-8 2.如图3.14-9，ABC中，AB=AC，AEBC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC2AB.图3.14-9 来源:Zxxk.Com参考答案:【同步达纲练习】一、 二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.13 4.120 5.30 6.中垂线四、1. C=180, EBC=40 BEC=50 又AE=BE A=25 DEB=652.提示：设CB中垂线交BC于D，OC中垂线交BC于E，连OD，OE.OD=BD OE=EC. 再证BOC=120 BOD=COE=30DOE=60 ODE=60 OD=OE=DE得BD=DE=EC.【素质优化训练】1.AD为角