高中数学北师大版必修5《等比数列的定义和通项》导学案

第6课时等比数列的定义和通项1.理解等比数列、公比、等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.会运用等比数列的通项公式解决相关数列问题.某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为多少?问题1:等比数列的定义如果一个数列从,每一项与它前一项的比等于,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比数列的,常用字母“q”表示.即数列an为等比数列anan-1=q(n2,nN+).问题2:等比数列通项公式的推导(1)累乘法类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式?设等比数列an中,anan-1=q(nN+,n2,q为常数),那么a2a1=q,a3a2=q,anan-1=q.将以上这n-1个等式相乘,得a2a1a3a2anan-1=qn-1,整理得an=a1qn-1,当n=1时上面的式子也成立,所以等比数列的通项公式为.(2)归纳法若一等比数列an的首项是a1,公比是q,则据其定义可得:a2a1=q,即a2=a1,a3a2=q,即a3=a2q=a1,a4a3=q,即a4=a3q=a1,由此归纳等比数列的通项公式可得:an=.问题3:(1)等比中项: 若三个数a,G,b构成等比数列,则G叫作a与b的,并且G=.(2)在等比数列中,anam=,an2=an+1an-1=an+2an-2=问题4:若an是等比数列,则数列kan是,公比为.1.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an等于().A.4(32)nB.4(23)nC.4(32)n-1D.4(23)n-12.已知an是等比数列,a2=2,a5=14,则公比q等于().A.-12 B.-2 C.2 D.123.在等比数列an中,a1=1,公比q=2,若an=64,则n的值为.4.一个等比数列an中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个数列的通项公式.用定义探究通项公式已知数列an为等比数列.(1)若a2=2,a6=162,求a10;(2)若a1+a2=30,a3+a4=120,求a5+a6;(3)若a1a2a3a30=230,求a2a5a8a29.等比数列的定义考查一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-1312是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.等比中项的考查若a、b、c成等比数列,试证:a2+b2,ab+bc,b2+c2也成等比数列.设an是公比大于1的等比数列,若a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.求数列an的通项公式.已知等比数列1,x1,x2,x2n,2,求x1x2x3x2n.已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84.求这两个数列.1.一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q等于().A.32B.352C.5-12D.5+122.等比数列an的各项为正数,公比为q,若q2=4,则a3+a4a4+a5的值为().A.12B.12C.2D.23.在等比数列中,已知首项为98,末项为13,公比为23,则项数n=.4.数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1,nN+),求数列an的通项公式.(2013年江西卷)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于().A.-24B.0C.12D.24考题变式(我来改编):第6课时等比数列的定义和通项知识体系梳理问题1:第二项起同一个非零常数公比问题2:(1)an=a1qn-1(2)qq2q3a1qn-1问题3:(1)等比中项ab(2)qn-m问题4:等比数列q基础学习交流1.C由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,a1=4,q=32,an=4(32)n-1.2.D由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=14,q3=18,解得q=12.3.7因为an=a1qn-1且a1=1,q=2,所以64=26=12n-1,所以n=7.4.解:由题设知a1+a1q3=133,a1q+a1q2=70,两式相除得q=25或52,代入a1+a4=133,可求得a1=125或8,an=125(25)n-1或an=8(52)n-1.重点难点探究探究一:【解析】(1)设数列an的公比为q.a6=a2q4,即有162=2q4,q4=81,a10=a6q4=16281=13122.(2)a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等比数列,a5+a6=(a3+a4)2a1+a2=120230=480.(3)a22=a1a3,a52=a4a6,a82=a7a9,a1a2a3a30=a23a53a83a293=(a2a5a8a29)3=230,a2a5a8a29=210.【小结】在等比数列中,应用性质解决问题更简便.解题时注意已知数列中项与项之间的关系,可以帮助找出解题的关键.探究二:【解析】a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项,a(3a+3)=(2a+2)2,解得a=-1或a=-4.当a=-1时,数列的前三项依次为-1,0,0,与等比数列的定义矛盾,故a=-1舍去.当a=-4时,数列的前三项依次为-4,-6,-9,则公比为q=32,an=-4(32)n-1,令-4(32)n-1=-1312,即(32)n-1=278=(32)3,n-1=3,即n=4,-1312是这个数列中的第4项.【小结】注意等比数列中的项不能为0,公比也不能为0.探究三:【解析】由a、b、c成等比数列,则abc0且b2=ac,(a2+b2)(b2+c2)=(a2+ac)(ac+c2)=ac(a+c)2=b2(a+c)2=(ab+bc)2,显然a2+b2、b2+c2都不等于零,且ab+bc0,a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.【小结】证明数列成等比数列,可利用等比数列的定义,而证明三个数a,b,c成等比数列,可证明b2=ac,要注意说明a、b、c全不为零.思维拓展应用应用一:设数列an的公比为q.由题意得:a1+a1q+a1q2=7,a1+3+a1q2+4=6a1q,把-得:a1=2q,把a1=2q代入得:2q+2+2q=7,解得q1=2,q2=12.又q1,q=2,a1=1,数列an的通项公式为:an=2n-1.应用二:1,x1,x2,x2n,2成等比数列,公比q,2=1q2n+1,xn=qn,x1x2x3x2n=qq2q3q2n=q1+2+3+2n=q2n(1+2n)2=qn(2n+1)=2n.应用三:设成等差数列的三个数为b-d,b,b+d,由已知,b-d+b+b+d=126,b=42,这三个数可写成42-d,42,42+d.再设另三个数为a,aq,aq2.由题设,得a+42-d=85,aq+42=76,aq2+42+d=84,整理得a-d=43,aq=34,aq2+d=42,解方程组,得a=17或68.当a=17时,q=2,d=-26;当a=68时,q=12,d=25.从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67.基础智能检测1.Can=an+1+an+2,a1qn-1=a1qn+a1qn+1,即q2+q-1=0,又该数列各项为正,可解得q=5-12.2.Aq2=4,q=2.又各项为正数,q=2.a3+a4a4+a5=a3+a4a3q+a4q=1q=12.3.4由题意可知,13=98(23)n-1,解得n=4.4.解:由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1