高中数学（北师大版）选修1-1教案：第3章 拓展资料：高考中导数问题的六大热点

高考中导数问题的六大热点由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考一、运算问题例1已知函数，求导函数分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决解：评注：对于导数运算问题关键是记清运算法则主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数法则等二、切线问题例2设曲线在点处的切线与直线垂直，则 分析：由垂直关系可得切线的斜率为，又k，即可求出a的值解：，切线的斜率，由垂直关系，有，解得评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： (1) 曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的斜率k，倾斜角为，则tank(2)其切线l的方程为：yy0(xx0)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为xx0三、单调性问题例3已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围分析：对于第(1)小题，求导后利用f (x)0或0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为0在上恒成立即可解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为，即在递增，递减，递增（2）若函数在区间内是减函数，则两根在区间外，即，解得a2，故取值范围是2，)评注：一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导如果f (x)0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题四、极值问题例4已知函数其中nN*,a为常数当n=2时，求函数f(x)的极值；分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以(1)当a0时，由0，得1，1，此时 f（x）=.当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值评注：运用导数解决极值问题一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是： 若0，且在x0附近的左侧0，右侧0，那么f(x0)是极大值， 如果在x0附近的左侧0，右侧0，那么f(x0)是极小值五、最值问题例5 求函数f(x)x42x25在2，2上的最大值与最小值分析：可先求出导数及极值点，再计算解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)内计算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通过比较，可见f(x) 在2，2上的最大值为13，最小值为4评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：若f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 求，令0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的最小值六、应用问题例6 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识解：设容器底面短边长为m，则另一边长为