2018届高三数学（理）高考总复习：板块命题点专练（十四） Word版含解析

板块命题点专练（十四） 命题点一 椭圆 命题指数： 难度：高 、 中 题型：选择题 、 填空题 、 解答题 1 (2015广东高考 )已知椭圆 1(m 0)的左焦点为 4,0)， 则 m( ) A 2 B 3 C 4 D 9 解析： 选 B 由左焦点为 4,0)知 c 4 又 a 5， 25 16， 解得 m 3 或 3 又 m 0， 故 m 3 2 (2016全国丙卷 )已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 C： 1(a b 0)的左焦点 ， A， B 分别为 C 的左 、 右顶点 P 为 C 上一点 ， 且 x 轴过点 A 的直线l 与线段 于点 M， 与 y 轴交于点 E若直线 过 中点 ， 则 C 的离心率为 ( ) A 13 B 12 C 23 D 34 解析： 选 A 如图所示 ， 由题意得 A( a,0)， B(a,0)，F( c,0) 设 E(0， m)， 由 得 | | 则 | ma ca 又由 得12| 则 | ma c2a 由 得 a c 12(a c)， 即 a 3c， e 13 故选 A 3 (2016全国乙卷 )直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点 ， 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14， 则该椭圆的离心率为 ( ) A 13 B 12 C 23 D 34 解析： 选 B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0， b)和一个焦点 F(c,0)， 则直线 l 的方程为 1， 即 0 由题意知 | bc|14 2b， 解得 12，即 e 12 故选 B 4 (2015浙江高考 )椭圆 1(a b 0 )的右焦点 F(c,0)关于直线 y对称点 Q 在椭圆上 ， 则椭圆的离心率是 _ 解析： 设椭圆的另一个焦点为 c,0)， 如图 ， 连接 设 直线y 于点 M 由题意知 M 为线段 中点 ， 且 Q 又 O 为线段 中点 ， | 2| 在 ， | | c， 可解得 | | 故 | 2| 2 | 2| 2 由椭圆的定义得 | | 2 2 2a， 整理得 b c， a 2c， 故 e 22 答案： 22 5 (2015全国卷 )已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为22 ， 点 (2， 2)在 C 上 (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 ， l 与 C 有两个交点 A， B， 线段 中点为 M证明：直线 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 解： (1)由题意得 22 ，41， 解得 8， 4 所以 C 的方程为 1 (2)证明：设直线 l： y b(k 0， b 0)， A( B( M( 将 y b 代入 1， 得 (21)428 0 故 21， kb 1 于是直线 斜率 12k， 即 k 12 所以直线 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 命题点二 双曲线 命题指数： 难度：中 题型：选择题 、 填空题 1 (2016全国乙卷 )已知方程 nn 1 表示双曲线 ， 且该双曲线两焦点间的距离为 4， 则 n 的取值范围是 ( ) A ( 1,3) B ( 1， 3) C (0,3) D (0， 3) 解析： 选 A 由题意得 (n)(3n)0， 解得 b0)， 则 | | 2a， 180 120 60， 点 M 的坐标为 ( )2a， 3a 点 M 在双曲线上 ， 43 1， 解得 a b， c 2a， e 2 故选 D 3 (2016全国甲卷 )已知 ： 1 的左 ， 右焦点 ， 点 M 在E 上 ， x 轴垂直 ， 13， 则 E 的离心率为 ( ) A 2 B 32 C 3 D 2 解析： 选 A 法一： 作出示意图 ， 如图 ， 离心率 e 2| | 由正弦定理得 e | | 231 13 2 故选 A 法二： 因为 x 轴垂直 ， 所以 | 又 13， 所以 | 13， 即 | 3| 由双曲线的定义得 2a | | 2| 2 所以 所以 2所以离心率 e 2 4 (2015全国卷 )已知双曲线过点 (4， 3)， 且渐近线方程为 y 12x， 则该双曲线的标准方程为 _ 解析： 法一： 双曲线的渐近线方程为 y 12x， 可设双曲线的方程为 4( 0) 双曲线过点 (4， 3)， 16 4 ( 3)2 4， 双曲线的标准方程为 1 法二： 渐近线 y 12x 过点 (4,2)， 而 30， b0) 由已知条件可得 12，161，解得 4，1， 双曲线的标准方程为1 答案 ： 1 5 (2016北京高考 )双曲线 1(a0， b0)的渐近线为正方形 边在的直线 ， 点 B 为该双曲线的焦点若正方形 边长为 2， 则 a _ 解析： 不妨令 B 为双曲线的右焦点 ， A 在第一象限 ， 则双曲线如图所示 四边形 正方形 ， | 2， c | 2 2， 4 直线 渐近线 ， 方程为 y 1， 即 a b 又 8， a 2 答案： 2 命题点三 抛物线 命题指数： 难度：中 题型：选择题 、 填空题 、 解答题 1 (2015全国卷 )已知椭圆 E 的中心在坐标原点 ， 离心率为 12， E 的右焦点与抛物线 C： 8x 的焦点重合 ， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点 ， 则 | ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 解析： 选 B 由题意 ， 设椭圆 E 的方程为 1(ab0)， 抛物线 82,0)， 椭圆中 c 2， 又 12， a 4， 12， 从而椭圆的方程为 1 抛物线 8x 的准线为 x 2， 2， 将 2 代入椭圆方程可得 | 3， 由椭圆的对称性可知 | 2| 6 2 (2015浙江高考 )如图 ， 设抛物线 4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B， C， 其中点 A， 点 C 在 y 轴上 ， 则 面积之 比是 ( ) A | 1| 1 B | 1| 1 C | 1| 1 D | 1| 1 解析： 选 A 由图形可知 ， 公共的顶点 F， 且 A， B， C 三点共线 ， 易知 面积之比就等于 | 由抛物线方程知焦点 F(1,0)， 作准线 l， 则 x 1 点 A， B 在抛物线上 ， 过 A， B 分别作准线垂直 ， 垂足分别为点 K， H， 且与 y 轴分别交于点 N， M 由抛物线定义 ， 得 | | 1， | | 1 在 ， N， | | | 1| 1 3 (2015山东高考 )平面直角坐标系 ， 双曲线 1(a 0， b0)的渐近线与抛物线 2py(p 0)交于点 O， A， B若 垂心为 则 _ 解析： 双曲线的两条渐近线方程为 y 与抛物线方程联立得交点A 2 2 B 22 抛物线焦点为 F0， 由三角形垂心的性质 ， 得即 1， 又 所以有 ba 1， 即 4， 故 e 1 15432 答案： 32 4 (2015全国卷 )在直角坐标系 ， 曲线 C： y l： y a(a0)交于 M， N 两点 (1)当 k 0 时 ， 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P， 使得当 k 变动时 ， 总有 明理由 解： (1)由题设可得 M(2 a， a)， N( 2 a， a)， 或 M( 2 a， a)， N(2 a， a) 又 y 故 y x 2 a， C 在点 (2 a， a)处的切线方程为 y a a(x 2 a)， 即 y a 0 y x 2 a， C 在点 ( 2 a， a)处的切线方程为 y a a(x 2 a)， 即 y a 0 故所求切线方程为 y a 0 和 y a 0 (2)存在符合题意的点理由如下： 设 P(0， b)为符合题意的点 ， M( N( 直线 斜率分别为 将 y a 代入 C 的方程 ， 得 44a 0 故 4k， 4a 从而 2a bx2ka ba 当 b a 时 ， 有 0， 则直线 倾斜角与直线 倾斜角互补 ， 故 所以点 P(0， a)符合题意 命题点四 圆锥曲线中的综合问题 命题指数： 难度：高 题型：解答题 1 (2016全国甲卷 )已知 A 是椭圆 E： 1 的左顶点 ， 斜率为 k(k 0)的直线交 E 于 A， M 两点 ， 点 N 在 E 上 ， (1)当 | | ， 求 面积； (2)当 2| | ， 证明： 3 k 2 解： (1)设 M( 则由题意知 0 由已知及椭圆的对称性知 ， 直线 倾斜角为 4 又 A( 2,0)， 因此直线 方程为 y x 2 将 x y 2 代入 1 得 712y 0 解得 y 0 或 y 127 ， 所以 127 因此 面积 S 2 12 127 127 14449 (2)证明：设直线 方程为 y k(x 2)(k 0)， 代入 1 得 (3 4k2)161612 0 由 2) 16123 4 得 3 4 4 故 | |2| 1 12 1 4 由题意 ， 设直线 方程为 y 1k(x 2)， 故同理可得 | 12k 1 4 由 2| | 得 23 44， 即 463k 8 0 设 f(t) 463t 8， 则 k 是 f(t)的零点 f (t) 1212t 3 3(2t 1)2 0， 所以 f(t)在 (0， )上单调递增 又 f( 3) 15 3 26 0， f(2) 6 0， 因此 f(t)在 (0， )上有唯一的零点 ， 且零点 k 在 ( 3， 2)内 ， 所以 3 k 2 2 (2016全国乙卷 )设圆 2x 15 0 的圆心为 A， 直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合 ， l 交圆 A 于 C， D 两点 ， 过 B 作 平行线交 点 E (1)证明 | |定值 ， 并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 直线 l 交 ， N 两点 ， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P， Q 两点 ， 求四边形 积的取值范围 解： (1)证明：因为 | | 所以 所以 | | 故 | | | | | 又圆 A 的标准方程为 (x 1)2 16， 从而 | 4， 所以 | | 4 由题设得 A( 1,0)， B(1,0)， | 2， 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 1(y 0) (2)当 l 与 x 轴不垂直时 ， 设 l 的方程为 y k(x 1)(k 0)， M( N( 由 y kx 1，1得 (43)8412 0， 则 83， 124