《自动控制原理》 胡寿松 53 频域稳定判据 频域稳定判据课件

5-3 频域稳定判据 控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需 解决的首要问题。 闭环控制系统稳定的充要条件： 闭环特征方程的根均具有负的实部，即全部闭 环极点都位于s左半平面。 时域稳定判据（劳斯稳定判据）： 第3章中介绍的劳斯稳定判据则是利用闭环特征 方程的系数构造劳斯表判断闭环系统的稳定性。 频域稳定判据: 利用系统的开环频率特性来判断闭环系统的 稳定性。 奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常 用的两种频域稳定判据。 频域稳定判据的特点是根据开环系统的频率 特性曲线分析、判断闭环系统的稳定性。 频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的， 它是频率分析法的重要内容。 利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统 是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳 定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的 动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。 因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用 的稳定性判据，工程上应用十分广泛。 1 奈氏判据的数学基础 数学基础：复变函数中的幅角原理。 （1）幅角原理 s平面任选一点s=+j，通过F(s) 映射，在F(s)平 面可以找到相应的象。 在s平面上任选一条闭合曲线，且不通过F(s)的 任一零点和极点，s从闭合曲线上任一点A起，顺时 针沿运动一周回到A点，则通过F(s) 映射，在F(s) 平面上也从点F(A)起，到点F(A)止亦形成一条闭合 曲线F ，如下图所示。 为s的有理分式，分子分母同阶。 下面，研究s在s平面上沿封闭曲线顺时针 运动一周，F包围坐标原点的次数和运动方向， 即F(s)的相角变化情况。 由于z1, p1被闭合曲线包围，当复变量s沿闭合 曲线顺时针运动一周时，显然复向量s-z1, s-p1的相 角变化为-2，即 对于未被闭合曲线包围的零z2,过 z2作两条直线 与闭合曲线相切，设s1, s2为切点，则在闭合曲线 的弧段s1s2,复向量s-z2的相角逐渐减小,而在弧段s2s1, 复向量s-z2的相角逐渐增大，且有： 同理，对于未被闭合曲线包 围的其它零、极点zi, pj，均有： 综上分析可得，当复变量s沿s平面内任意闭合 曲线顺时针运动一周时，F(s)绕F平面原点的圈数 只和F(s)被闭合曲线 所包围的零点和极点个数的 代数和有关。 于是在右图中有: 幅角原理： 设s平面闭合曲线包围F(s)的Z个零点、P个极 点，且不通过F(s)的任一零点和极点，则当s沿顺 时针运动一周时，在F(s)平面上， F(s)闭合曲线F 包围原点的圈数为: R=P-Z R0表示闭合曲线F逆时针包围F(s)平面的原点； Rm。相应的闭环传递函数为： 对于如图所示的控制系统结构图，设其开环传 递函数G(s)H(s)表示为： N(s)+M(s) 和N(s)分别为控制系统的闭环和开 环特征多项式，现以两者之比定义为辅助函数。 因此，辅助函数F(s)的分子分母同阶，即其零 点数与极点数相等,即为n。于是，辅助函数进一步 可表示为： 式中，z1,z2 ,zn和p1,p2,pn分别为辅助函数 F(s)的零点和极点。 辅助函数F(s)具有以下特点： F(s)的零点、极点的个数相同，均为n个; F(s)的零点zi为闭环极点，极点pi为开环极点; F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差常量1。 由于F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差常量1 ，由此可得 的几何意义为： F(s)平面上的坐标原点就是G(s)H(s)平面上 的（-1，j0）点，如下图所示。 由辅助函数F(s)=1+G(s)H(s)的特点可以看出 ，F(s)取上述特定形式具有两个优点： 辅助函数F(s) 建立了系统的开环极点和闭 环极点与F(s)的零极点之间的直接联系； 辅助函数F(s)建立了闭合曲线F和GH 之间 的几何转换关系。若已知开 环传递函数G(s)H(s)的条件下， 就可求出辅助函数F(s)。 这些特点为幅角原理的 应用创造了条件。 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数 的极点分布位置，即辅助函数F(s) 的零位置。 因此，当s平面的闭合曲线包围s的右半平面 时，若Z=0，则闭环系统稳定。 考虑到闭合曲线不应通过F(s)的零极点的要 求（F(s)的极点为开环的极点），闭合曲线可取 如下两种形式: 当G(s)H(s)无虚轴上的极点时 s平面闭合曲线由四部分组成，如图所示。 （3）s平面闭合曲线的构造 ) 即圆心为原点，第四象限中半 径为无穷大的1/4圆； ) 即负虚轴； ) 即正虚轴； ) 即圆心为原点，第一象限中半径为无 穷大的1/4圆； 当G(s)H(s)有虚轴上的极点时 为避开开环极点，闭合曲线需 修正，如图所示。 )开环系统含有积分环节时，在原点 附近取 ，（ 为正无穷小量），即圆心为原点，半 径为无穷小的半圆； )开环系统含有等幅振荡环节时，在 附近取 ，（ 为正无穷 小量），即圆心为 ，半径为无穷小的半圆； 由于构造的 s平面闭合曲线关于实轴 对称，且G(s)H(s)为关于s的实系数有理分式 函数，故闭合曲线GH也关于实轴对称，因 此只需绘制GH在Im(s) 0（s）对应的 曲线段，得到G(s)H(s)的半闭合曲线，称之 为奈奎斯特曲线，记作GH。 分两种情况： （4）G(s)H(s) 闭合曲线GH 绘制 当G(s)H(s)无虚轴上的极点时GH 绘制 )GH 在 时，对应系统开环 幅相曲线； )GH 在 时，对应原点 （n m 时）或点(K*, j0)（n =m 时），K*为系统 开环根轨迹增益。 当G(s)H(s)有虚轴上的极点时GH 绘制 当开环系统有积分环节时 设 )=00+ 时: 取图中实轴上半部，此时s沿1/4 无穷小圆弧逆时针变化，即 , 0, =0+90,则有: )=0+时: 即=00+ 时，有=0+90且： 由此可得，当G(s)H(s)在虚轴上有极点时，其幅相 频率特性曲线在=00+ 范围内为： 从正实轴上无穷远点开始（对应=0）顺时针作 半径为、圆心角为90的（对应=90）圆弧。 亦可从=0+0 范围内绘制其幅相曲线： 从G(j0+)H(j0+)点开始逆时针作半径为、圆心角 为90的圆弧。 当开环系统含有等幅振荡环节时 设 取图中实轴上半部，此时s沿圆 心为 半径为无穷小的1/2半 圆弧逆时针变化，即： 则有: 于是可得：当时有: 由此可得，当G(s)H(s)含有等幅振荡环节时，即在 虚轴上有纯共轭极点时，其幅相频率特性曲线在=n -n+ 范围内为： 半径无穷大、圆心角等于1180的圆弧，即： 从G(jn-)H(jn-)点起以半径为无穷大顺时针作 1180的圆弧至G(jn+)H(jn+)点，如下图所示。 综上分析表明： 半闭合曲线GH是由开环系统G(s)H(s)的幅相特性 曲线和根据开环虚轴极点情况所补作的半径为无穷大 的虚线圆弧（此部分圆弧也是开环系统G(s)H(s) 在频 率=0+范围外的幅相特性曲线）两部分组成。 并且，根据上述闭合曲线，函数F(s)位于s右半 平面的极点数亦即开环传递函数G(s)H(s)的极点数P应 不包括G(s)H(s)位于s平面虚轴上的极点数。 （5）闭合曲线F包围原点圈数的计算 根据半闭合曲线GH可计算F包围原点的圈数 R。计算公式涉及几个概念： 正穿越：随增大，GH曲线自上而下通过（- 1,j0）点左侧的负实轴，穿越次数记为N+； 负穿越：随增大，GH曲线自下而上通过（- 1,j0）点左侧的负实轴，穿越次数记为N-； 半次正穿越：随增大，GH曲线自上而下通过 （-1,j0）点左侧的负实轴并停止； 半次负穿越：随增大，GH曲线自下而上通过 （-1,j0）点左侧的负实轴并停止； 闭合曲线F 包围原点的圈数R 可通过半闭合曲 线GH 穿越（-1,j0）点左侧的负实轴的次数N来计 算： 例5-9 右图为开环系统 G(s)H(s)的半闭合曲线 GH ，A、B为曲线GH与 负实轴的交点，计算闭合 曲线F 包围原点的圈数R 。 解： （a）图： N+=0， N-=1 R=2N=2(N+-N-)= -2 （b）图： N+=0， N-=0 R=2N=2(N+-N-)= 0 （c）图：N+=1， N-=1；R=2N=2(N+-N-)= 0 （d）图：N+=1/2， N-=1；R=2N=2(N+-N-)= -1 （e）图：N+=0，N-=(1/2+1)=3/2；R=2N=2(N+-N-)= -3 计算F 包围原点的圈数R的过程中，应注意： 正确判断半闭合曲线GH 穿越（-1,j0）点左侧 的负实轴时的方向、半次穿越和补充的虚线圆弧所产 生的穿越次数，但不计穿越（-1，j0）的次数。 2 奈奎斯特稳定判据 根据前面构造的s平面闭合曲线和已知开环 系统开右半平面的极点数P（不包括虚轴上的极点 ）和半闭合曲线GH 的情况下，根据幅角原理和闭 环稳定条件，可得如下奈奎斯特稳定判据。 反馈控制系统稳定的充分必要条件是：半闭合 曲线GH （奈氏曲线）不穿过（-1,j0）点且逆时 针包围临界点（-1，j0）点的圈数R等于开环传递 函数的右半S平面极点数（正实部及点数）P。 根据前面分析，F(s)=1+G(s)H(s)的零点就是闭 环系统的极点，因此，当F(s)在s开右半平面的零点 数为零时，也意味著闭环系统在s开右半平面的极点 数为零，即闭环系统不存在正实部极点。 奈氏稳定判据 由幅角原理可知，闭合曲线F包围函数F(s)=1+ G(s)H(s)的零点数即闭环系统正实部极点数为： Z = P R = P - 2N 当PR时， Z0，即闭环系统存在正实部极点 ，因此，系统闭环不稳定。 当GH 穿过（-1,j0）点时，表明存在s=jn使 得： G(jn)H(jn) = -1，此时 F(jn)=1+G(jn)H(jn)=1-1=0 由此可见，此时闭环系统存在共轭纯虚根，系统 可能临界稳定。因此，计算GH 穿越次数时，不计穿 越（-1，j0）点的次数。 例5-10 已知单位反馈系统开环幅 相曲线（K=10,P=0, =1）如图所 示，试确定系统闭环稳定时K的取 值范围。 分析：由已知条件可知，当 K=10,P=0,=1时，开环系统含有 积分环节，可画出其奈氏曲线 GH ，如图所示。根据奈氏稳定 判据可知： N+=1，N-=1，R=2N=2(N+-N-)= 0 Z=P-R=0-0=0，故当K=10系统稳定。现在要考虑当K变 化时，系统仍闭环稳定吗？要使系统闭环稳定，K的取 值范围是什么？ 要回答上述问题首先就是要回答K变化时开环 幅相曲线是否会变化？若不变，系统自然闭环稳定 ，此说明系统闭环稳定与K无关；若变化呢？它又 是怎么变？系统是否仍闭环稳定？ 由开环幅相曲线的绘制方法可知，开环幅相曲 线的起点仅与有关（0型系统除外），终点仅与 (n-m)有关，且穿越频率x与K的取值无关，仅仅 是幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。原因分 析如下： 令Im G(jx)H(jx) = 0，只需 与K无关，此时，幅相曲线与负实轴的交点为： 上述两式说明穿越频率x与K的取值无关，但幅相曲线与负 实轴的交点会沿负实轴移动，即穿越频率处的G(jx)H(jx)值 会发生变化，因为它的实部改变了比例系数K。 通过上述分析可知，在本例中，当K变化时穿越频 率1、2、3不变，但幅相曲线与负实轴的交点会沿 负实轴移动，由此引起开环幅相曲线发生变化，影响系 统闭环稳定性。 解决方法： 分别假设三个穿越频率1,2,3点处各自 的频率特性值G(ji)= -1(i=1,2,3)，意味其幅相曲线 穿越（-1，j0）点，此时系统处于临界稳定，由此假 设算出各自对应的Ki，依Ki将K的取值范围划分为不同 的区间，再作出各对应区间的奈氏曲线GH ，由此判 断各区间的系统稳定性，最终确定K的取值范围。 解：设三个交接点频率为1,2,3,且321， 开环传递函数典型环节分解表示为如下形式： 其中， 由题设条件可知：=1，且 因为当取K=10时有: G(j1)= -2，G(j2)= -1.5，G(j3)= -0.5 于是，若令G(ji)= -1(i=1,2,3),即分别令各交接 频率点处GH曲线穿越（-1，j0）点（临界稳定点）时 ，根据上面公式可算出对应的Ki(i=1,2,3)值： 同理，可求出：K2= 20/3，K3=20。对应地，分别取 可作出各区间对应的GH曲线，如下图所示。 曲线如曲线如图图 图中， K1=5，K2= 20/3，K3=20 根据各区间对应的GH曲线，利用奈氏稳定判据判 断各区间的系统闭环稳定性。 闭环系统稳定 闭环系统不稳定 闭环系统稳定 闭环系统不稳定 综上可得，系统闭环稳定时K的取值范围为： 和 当K=5，20/3和20时，系统闭环临界稳定。 补充说明：下面以第一区间为例说明 各区间对应的GH曲线的作法 当有 于是可得，该区间的幅相曲线如上图（a）形式。 同理， 3 对数频率稳定判据 奈氏稳定判据是基于复平面的半闭合曲线GH 判定系统的闭环稳定性。由于半闭合曲线GH 可以 转换为半对数坐标下的曲线，因此，可以推广奈氏 稳定判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的 半闭合曲线GH 确定穿越次数。 对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，只不 过对数频率稳定判据按对数幅频和对数相频曲线的 相互关系来确定穿越次数N而已，它是奈氏判据的 另一种形式。 在奈氏稳定判据中，复平面上的半闭合曲线GH 一般由两部分组成： 开环幅相曲线； 开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所作 的半径为无穷大的虚圆弧。 穿越次数N取决于 A()=| G(jx)H(jx )|1 时GH 曲线穿越负实轴的次数，因此，需建立和明确 复平面半闭合曲线GH 和对数频率特性曲线（对数幅 频和对数相频曲线）之间的对应关系: （1）对数频率特性曲线中穿越点的确定 设=c时， A(c)=|G(jc)H(jc)| = 1 L(c)=20lgA(c) = 0 称c为截止频率。 复平面中半闭合曲线GH位于（-1，j0）点左 侧的穿越频率x处的幅度值和相位角分别具有如 下特点： 设半对数坐标下 曲线的对数幅频曲线和对 数相频曲线分别用 和 表示。则根 据复平面中半闭合曲线GH 位于（-1，j0）点左侧 的穿越点处幅度值和相位值的特点，可以得到复平 面中半闭合曲线GH的穿越点与半对数坐标下GH 曲线穿越点之间如下对应关系： 复平面中半闭合曲线GH 位于（-1，j0）点左 侧的穿越点等于GH曲线在半对数坐标下对数幅频 特性曲线L()0 时对数相频特性曲线 与 平行线的交点。 D L() -90 -180 () -270 0dB B Ec 0o 负实轴对应于-180线 j -1 A BE D 0 图 幅相曲线和对数频率特性曲线的穿越点对应关系 单位圆对应0分贝线 单位圆之外对应0分贝线以上 单位圆之内对应0分贝线以下 负实轴对应于Bode图上 线 （2）对数频率相频特性曲线 的确定 开环系统无虚轴上的极点时， 等于 开环系统存在积分环节时，复平面中GH曲线需从 G(j0+)H(j0+)点开始逆时针作半径为、圆心角为 90的圆弧，对应地，需从对数频率相频特性曲 线较小且L()0的点处向上补作90的虚直 线， 和补作的虚直线构成 开环系统存在等幅振荡环节时，复平面中GH曲线 需从G(jn-)H(jn-)点起以半径为无穷大顺时针作 1180的圆弧至G(jn+)H(jn+)点，对应地， 需从对数频率相频特性曲线（n-）点起向下补 作1180的虚直线至（n+）点处， 和补 作的虚直线构成 。 （3）半对数坐标中穿越次数的计算 半对数坐标中正、负穿越次数可以根据对数 幅频曲线在大于0dB的频率范围内，对数相频曲线 穿越 （常用-180线）次数确定。 正、负穿越定义如下的： 注意： 补作的虚直线 所产生的穿越 皆为负穿越。 正穿越：沿增加方向，对数相频曲线 自下向上穿 越 线的穿越称为正穿越，以N+ 表示; （常用-180线）（相角滞后减小） 半次正穿越：从 线开始的正穿越;(-180线 ) 负穿越：沿增加方向，对数相频曲线 自上向下 穿越 的穿越称为负穿越，以N- 表示； （常用-180线）（相角滞后增大） 半次负穿越：从 线开始的负穿越;(-180线 ) 对数频率稳定判据 设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统 稳定的充分必要条件是: 且 L()0 时，对数相频曲线 穿越 线的次数： 满足： 对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，区别是 对数频率稳定判据是在L()0频率范围内依对数相 频曲线确定穿越次数N。 例5-11 已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所 示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线 ，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。 j -1 A BE D 0 解：系统开环对数频率特 性曲线和对数相频特性曲 线如下图所示。由于相角 表示不具有唯一性，图中 （a）、（b）为其中的两 种形式。 j -1 A BE D 0 单位圆对应0分贝线 单位圆之外对应0分贝线以上 单位圆之内对应0分贝线以下 负实轴对应