理学离散序列的褶积与相关分析课件

已学过的内容 ）， 信号与数字信号处处理概述 连续连续 傅里叶级级数变换变换 离散频谱频谱 （+Gibbs现现象） 连续连续 傅里叶积积分变换变换 ：积积分变换变换 连续连续 傅里叶积积分变换变换 ：性质质及其计计算（+Gibbs现现象） Matlab语言及其操作（上机） 级级数与积积分的关系、连续谱连续谱 抽样样定理； 连续连续 褶积积与相关。 连续连续 信号的离散化与离散序列傅里叶变换变换 抽样样定理 离散信号的连续连续 化、假频问题频问题 单位脉冲信号（Impulse） 的表示式为 回顾：单位脉冲信号 ）， 并且 与单位脉冲信号对应的是单位脉冲序列 ， 数学上称其为Kronecker函数，其表示式为 回顾：单位脉冲序列 ）， 因此有 例2：计算 的频谱。 单位脉冲序列 ）， 例1： （暗指：=1） 一点说明 ）， （因为恒定，故予以省略。但必须注意 ：在对应的表达式中，依然存在！） 欢度春节 节春度欢 回顾：SFT（或DTFT） 取 时便可得到如下的变换 这就是无限离散序列的傅里叶积分变换（Sequence Fourier Transform，简写成SFT；也可称其为Discrete Time Fourier Transform，简称DTFT），或称序列傅 里叶（积分）变换。 变种：SFT（或DTFT） 取 时便可得到如下的变换 （编程时必须予以核实） 回顾：连续信号的褶积 ）， 连续信号x(t)与y(t)的线性褶积(简称褶积): 表明:任何连续信号等于其与单位脉冲信号的褶积，称 此性质为连续信号关于线性褶积的脉冲不变性，简称 线性褶积的脉冲不变性。 并且有 离散信号的褶积 ）， 将前面的公式进行离散化： 称其为离散序列x(n)与y(n)的线性褶积,简称褶积。 这就是离散序列线性褶积的脉冲不变性。 离散褶积 ）， 这说明离散褶积具有可交换性质。 离散褶积 ）， 因此有 离散褶积 ）， 这表明：两个无限离散序列的褶积，其频谱就是两个 对应离散序列的频谱的乘积。 反过来讲，两个离散序列的频谱的乘积，其信号就是 相应的两个离散序列的褶积。 离散褶积 ）， 定义：设信号 和 均是周期为N的离散序列， 则称 为序列 与 的周期褶积。 周期褶积也具有脉冲不变性，即 表示对 n-k 做模 N 运算，即 n-k 除以 N 所得的非负余数。例如 离散褶积 ）， 对N点有限序列来说，还有一种循环褶积（Cyclic Convolution）定义如下 循环褶积具有可交换性，即 其中，式 表示对 n-k 做模 N 运算，即 n-k 除以 N 所得的非负余数。例如 离散褶积 ）， 在循环序列中，这种对整数做模N运算 非常普遍。例如：周日、周一至周六分别 用数字表示为0,1,2,6。后50天是星期 几？前50天是星期几？ 其中，式 模运算与抽样定理是否有点相似？ 离散褶积 ）， 通常我们所讲的普通离散褶积表示的是线性褶积 并且将其简化为 例：计算两有限长度离散序列的线性褶积。 离散褶积 ）， 例：计算两有限长度离散序列的线性褶积。 可以选择两种方法计算它们的褶积（课堂做） ： （1）、直接利用褶积表达式； （2）、先单独计算各自的频谱，再计算它们频谱 的乘积，最后进行逆变换。 离散褶积 ）， 第一种方法： 分别计算时上述表达式的值。 离散褶积 ）， 将第一种计算方法中用到的计算公式写成如下的形式： 离散褶积 ）， 将第一种计算方法中用到的计算公式写成如下的形式： 离散褶积 ）， 根据线性褶积的可交换性，第一种计算方法中用到 的计算公式也可写成如下的形式： 离散褶积 ）， 对于普通的具有如下形式的离散序列 则有 问题： 对于有 限分布离 散序列， 是否需要 无限写下 去？ SFT（或DTFT） ）， 取 时便可得到如下的变换 这就是无限离散序列的傅里叶积分变换（Sequence Fourier Transform，简写成SFT；也可称其为Discrete Time Fourier Transform，简称DTFT），或称序列傅 里叶（积分）变换。 离散褶积 ）， 因此有 第二种方法： 离散褶积 ）， 对比公式 可以得到 离散褶积 ）， 在数列的有效长度较小时，选择第一种计算方法 比较直观；第二种计算方法显得有点不太灵活！ 但是，第二种方法在数列的有效长度较大时就 会显示出无比的优越性：实际工作中的绝大多数科 学计算，均采用第二种计算方法。为什么？这与后 面将要讲到的快速Fourier变换方法有密切关系。 离散褶积（了解） ）， 例1：根据万有引力定律，对一条直线上排列的4个质 点进行观测（也只观测四个点上的数据），并且只分 析垂直方向上的水平引力。 例2：在上例中，如果四个质点均匀地坐在一个大的圆 环上，而观测点位于四个质点正上方的一个水平面上 ，情况又怎么样？试写出相对应的表达式 。 离散褶积 ）， 例：线性褶积 A*X=B 所对应的表达式： 其中的系数矩阵为Toeplitz矩阵。 离散褶积 ）， 例：循环褶积 所对应的表达式： 其中的系数矩阵为循环矩阵。 离散褶积 ）， 例：循环褶积 所对应的表达式： 离散褶积 ）， 例：计算两有限长度离散序列的循环褶积。 此处两序列的实际有效长度分别为3和4。若我们需 要计算有限长度的循环褶积，实际意义是：我们需 要从上面的离散序列中截取对应的长度做分析。 离散褶积 ）， 选择N=5时，则有： 对应的循环褶积为 （应该怎样写？） （应该怎样写？） 离散褶积 ）， 选择N=6时，则有： 对应的循环褶积为 离散褶积 ）， 从上面的例子中，可以清楚地看出“从离散序列中截 取对应的长度做分析”的含义！ 一定不要有如下的错误认识（以N=6为例） 因为我们不知道：上面的离散序列是从何处截取而来 的！它们与原始序列之间存在有很大的差别！ 离散褶积 ）， 问题：在上例中，若已知两序列的有效长度 分别为N1和N2。请问：循环褶积的长度N应满 足什么条件时，所得到的线性褶积与循环褶 积在有效离散数值上是对等的？ 离散褶积 ）， 对于有限长度离散序列，通常我们表示成（起始元素的 下标为零） （2）这种线性褶积可以通过循环褶积来实现（循环 序列的长度大于或等于N1+N2-1即可）。 很显然，若两个序列的长度分别为N1和N2， （1）两者做线性褶积后得到的离散序列的长度为 （N1+N2-1）； 离散褶积 ）， 已知两个如下的离散序列： 1、计算它们的线性褶积； 2、取N=3，计算对应的循环褶积； 3、取N=5，计算对应的循环褶积； 4、当N满足什么条件时，计算得到的循环 褶积等同于线性褶积？ 离散褶积 ）， 线性褶积的表达式（系数矩阵为Toeplitz矩阵）： 离散褶积 ）， （1）线性褶积的表达式（系数矩阵为Toeplitz矩阵）： 离散褶积 ）， （1）删除线性褶积表达式中的零元素项，得到： 离散褶积 ）， （2）N=3时的循环褶积 离散褶积 ）， （3）N=5时的循环褶积 离散褶积 ）， （3）N=5时的循环褶积 离散褶积 ）， 对N=5时循环褶积表达式做改动，得到 此即两序列的普通线性褶积，亦即线性褶积可以通过 循环褶积来实现（循环褶积有快速算法）。 离散褶积 ）， 离散序列的相关分析 有的同学反映：课堂上好象懂了，课外做作业时 又都不会了。这种现象很正常，就象我认识同学们 一样：在教室里好象都认识，教室外面又有点陌生 了；不认识的时候，感觉好多同学的长相有点像， 认识多了才能够区别开。生活中也是这样：有的双 胞胎长的只有他们的父母才能区别开。远的不说， 就拿我们自己来说吧：小时候的我们同现在的我们 ，长相有什么变化？变化有多大？ 那么，如何判别彼此之间的相似性？这就牵涉 到一个判别准则的选择问题。 离散序列的相关分析 小时候的我（用一个序列 x1(n) 来表示）与现在 的我（用一个序列 x(n) 来表示）在主要特征上保 留了很多的相同之处。尽管我们身材高大了，但还是 存在着一定程度的相对比例。因此，我们可以采样如 下的表达式 ： 来定量地表示两序列之间的区别（其中为一常数）。 问题：应该取多大时，才能使 Q达到最小？ 离散序列的相关分析 问题：应该取多大时，才能使 Q达到最小？ 可以得到 离散序列的相关分析 此时 显然， 代表了两组序列的相 似程度： （2）若其等于1， 误差为零。 （1）若其等于零， 误差最大； 离散序列的相关分析 称 为序列x1(n)与x2(n)的 相关系数。 有时也称为序列x1(n)与x2(n)的 未标准化的相关系数 ，简称为相关系数。 回顾:连续信号的相关 ）， 信号x(t)和y(t)的线性相关（Linear Correlation，简 称相关）定义为 特别地，若信号x(t)=y(t),我们称其为自相关(Auto- Correlation)，否则就是互相关(Cross-Correlation)。 通常记 回顾:连续信号的相关 ）， 设 则有 i.e.， 这说明了信号的相关运算不具有可交换性质。 离散序列的相关分析 同连续信号一样，离散序列也存在线性相关、周期 相关和循环相关这三种运算： 离散序列的相关分析 线性相关等同于 离散序列的相关分析 设 （1）、两个无限离散序列x(n)与y(n)的相关，其 频谱就是x(n)频谱 乘以y(n)频谱的共轭 。 （2）、线性相关不具有可交换性。 这说明： 离散序列的相关分析 设 证明过程： 离散序列的相关分析 通常所说的相关指的是线性相关，并且将其简化为 离散序列的相关分析 其中的系数矩阵为Hankel矩阵。 线性相关对应的表达式： 离散序列的相关分析 其中的系数矩阵为循环Hankel矩阵。 循环相关对应的表达式（N=9）： 离散序列的相关分析 在做相关分析时，若两离散序列是完全相等的， 则称其为自相关，否则为互相关。 离散序列的相关分析 自相关序列具有如下的性质： 1、是对称共轭的，即 特别地，对于实序列而言，对应的自相关是实对称的。 离散序列的相关分析 自相关序列具有如下的性质： 2、在n=0时是实的，并且达到最大值(0)，即 离散序列的相关分析 自相关序列具有如下的性质： 3、若序列x(n)是能量有限的，则有 4、序列x(n)自相关只与其振幅谱有关（与相位谱无 关），即 褶积与相关的关系 两序列x(n)与y(n)的褶积表达式： 而它们之间的相关表达式 因此，若记 ，则有 褶积与相关的关系 也就是说，相关可以通过褶积计 算的方法来实现！ 离散序列的褶积与相关分析 1、离散序列的褶积是重点； 3、线性褶积与循环褶积是重点！ 必须熟练掌握相应公式的推导与计算方法及过程。 （离散序列的褶积是DSP的重点！） 2、相关分析只需了解（如褶积与相关两者之