采样过程与采样定理83保持器84z变换85脉冲传课件

v 8.2 采样过程与采样定理 v 8.3 保持器 v 8.4 Z变换 v 8.5 脉冲传递函数 v 8.6 采样控制系统的稳定性分析 v 8.7 采样系统的稳态误差 v 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数零、极点分布的关系 v 8.9 采样系统的校正 第八章 采样控制系统 第8章 采样控制系统 本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控 制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中 的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数，而在离散系统中 则不然，因此，在离散系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信 号乃是离散型的偏差信号 。 离散反馈信号 是由连续型的时间函数e(t)通过采样开关的采样而获得 的。采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合叫间为，且有 0) 的Z变换. 解： F(s)有两个s=0的极点，即 第8章 采样控制系统 若 1。线性定理 2）迟后和超前定理 则有 及 3）复平移定理 定理的含义是：函数x(t)乘以 指数序eaT的Z变换，等于在 x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 取代原算子z。 8.4.3 Z 变换定理 第8章 采样控制系统 举例：试用复平移定理计算函数te-at的Z变换 解：令x(t)=t， 根据复平移定理，有 第8章 采样控制系统 5）初值定理 若Zx(t)=X(z) ，且当t0，2.736-0.632k0，即k0时，动态过程为按指数规律 变化脉冲序列。 pi 1，闭环复数极点位于z 平面上的单位圆外，动态响应 为振荡脉冲序列；若| pk |=1， 闭环复数极点位于z平面上的单 位圆上，动态响应为等幅振荡 脉冲序列， 若| pk |1，闭环复 数极点位于z平面上的单位圆内 ，动态响应为振荡收敛脉冲序 列,且|越小,即复极点越靠近原 点,振荡收敛越快； 第8章 采样控制系统 通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的 位置决定相应暂态分量的性质和特点。 当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。 极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指 数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为 kT。若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡角频率 为T。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其z传递函数 的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。当闭环实 极点位于z平面上左半单位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故 动态过程质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于输出衰 减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。 因此,在离散系统设计时,应把闭环极点安置在z平面的右半单 位圆内,且尽量靠近极点 第8章 采样控制系统 解：系统的闭环脉冲传递函数为 当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z1)，输出量的z变换为： 例： 系统如图所示，分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。 第8章 采样控制系统 利用长除法得 第8章 采样控制系统 8.9 采样系统的校正 8.9.1 数字控制器的脉冲传递函数D(z) 如图所示的线性离散系统(线 性数字控制系统)中，数字控 制器D将输入的脉冲系列e*(t) 按照系统性能指标要求做适当 处理后，输出新的脉冲序列 u*(t)。如果数字控制器对脉冲 序列的运算是线性的，可以确 定个联系输入脉冲序列e*(t) 与输出脉冲序列u*(t)的脉冲传 递函数D(z)。 第8章 采样控制系统 在采样控制过程中，通常把一个采样周期称作一拍。具有当典型控 制信号作用下在采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程能在最少个 采样周期内结束的离散系统，称为最少拍系统或有限拍系统。 8.9.2 最少拍系统的校正 典型输入信号分别为 典型输入信号的Z变换可写为 其中A(z)是不包含 因子(1 z1)的z1 的多项式。 给定稳态误差为 为使稳态误差为0， e (z) 中应包含 因子。 第8章 采样控制系统 设 式中F(z)为不包含(1 z1)的z1的多项式 可见，当 F(z)=1时， e (z)中包含的z1的项数 最少。采样系统的暂态响应过程可在最少个采样周 期内结束。 第8章 采样控制系统 因此， 是无稳态误差最少拍采样系统的闭环脉冲传 递函数。 在典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位 速度信号和单位加速度信号时，可分别求得最少 拍采样系统的闭环脉冲传递函数 e (z) 、 e (z) 及E(z)、C(z)。 第8章 采样控制系统 当，或r=1时得 于是 且有 第8章 采样控制系统 表明： 可见最少拍采样系统经过一拍便可完全跟踪 阶跃输入，其调节时间ts=T 。 第8章 采样控制系统 当 或 r=2时得 于是 且有 第8章 采样控制系统 表明： 可见最少拍采样系统经过二拍便可完全跟踪斜坡输入，其 调节时间ts=2T 。 第8章 采样控制系统 当 或r=3时得 于是 且有 第8章 采样控制系统 表明： 可见最少拍采样系统经过三拍便可完全跟踪 加速度输入，其调节时间ts=3T 。 第8章 采样控制系统 例： 设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器 的传递函数分别为 其中T为采样周期；已知T1秒，试求取在等速 输入信号r(t)=t作用下，能使给定系统成为最少拍 系统的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 求取数字控制器的脉冲传递函数D(z) 第8章 采样控制系统 解 根据给定的传递函数G0(s)及Gh(s)求取开环脉 冲传递函数G(z)，即 选取与r(t)t对应的最少拍系统的闭环脉冲传递函数为 第8章 采样控制系统 则可求得数字控制器的脉冲传递函数D(z)，即 经过数字校正后，最少拍系统的开环脉冲传递函数为 该系统典型输入r(t)=t的过渡过程c*(t)如图所示。过渡过程在两个采 样周期就可结束。 第8章 采样控制系统 下面分析上述最少拍系统在位置阶跃输入及等加速输入的过渡过程。当位置阶跃输 入r(t)=1(t)作用于上述最少拍系统时，其输出函数c(t)的Z交换C(z)为 与上式对应的过渡过程从图可见，反应位置阶跃输入的过渡过程 时间ts仍为两个采样周期，稳态误差仍等于零，但在t=T1秒时却 出现一个100%的超调。 第8章 采样控制系统 当等加速输入 作用于上述最少拍系统时，其输出 函数的Z变换c(z) 与上式对应的过渡过程从图可见，反 应等加速输入时过渡过程的持续时间ts 仍为两个采样周期，但出现了数值等 于1的常值稳态误差。 第8章 采样控制系统 从上面分析看到，如果线性离散系统是对等 速输入信号设计的最少拍系统，则反应位置阶跃 输入信号(其时间幂次低于等速信号)时的过渡过程 会出现100的超调，而反应等加速输入信号(其 时间幂次高于等速信号)的过渡过程虽无超调现象 ，但系统将具有不为零的稳态误差。这说明，最 少拍系统对输入信号的适应性较差。 第8章 采样控制系统 关于闭环脉冲传递函数 (z)或e(z)的讨论 按上面方法选取线性离散系统的闭环脉冲传递函数 (z)或e(z) ，只有在系统开环脉冲传递函数G(z)的极点与零点中不包含位于单 位圆上或单位圆外的极点与零点时，才是正确的。也就是说，在这 种情况下选出的 (z)或e(z)能使线性离散系统具有最少拍系统 的特性。如果在开环脉冲传递函数G(z)的极点与零点中含有位于单 位圆上或单位圆外的极点或零点时，则不能上面方法 选取 (z) 或e(z) 。否则，因为G(z)含有的位于单位圆上或单位圆外的极 点或零点得不到抵消或补偿，因此，在数字控制器的脉冲传递函数 D(z)中含有位于单位圆上或单位圆外的极点或零点，这是在设计上 所不希望的。可求得单位反馈系统的闭环脉冲传递函数 (z)和 e(z) 、开环脉冲传递函数G(z)与数字控制器的脉冲传递函数D(z) 间的关系式为 第8章 采样控制系统 为保证闭环系统稳定，闭环脉冲传递函数 (z) 、 e(z)都不应 含有在单位圆上或单位圆外的极点，这时，G(z)中位于单位圆上或 单位圆外的极点，或应被D(z)的零点所抵消，或应合并到e(z)中 去，即应在e(z)的零点中包含着G(z)的位于单位圆上或单位圆外 的极点。在一般情况下，G(z)中那些单位圆上或单位圆外的极点不 希望由D(z)的相同零点来抵消。这是因为由于不可避免的参数漂移 会使D(z)的零点发生不利于上述完全补偿的变化。因此，G(z)中那 些单位圆上或单位圆外的极点就只能包含在e(z)的零点中。又因 为D(z)不允许含有位于单位圆上或单位圆外的极点，另外，由于已 经选定具有关于z1的多项式形式,所以G(z)中位于单位圆上或单 位圆外的零点既不能为D(z)的同样极点来抵消，又不能合并到 e(z)中去。因此,上述零点便只能反映到闭环脉冲传递函数 (z)的零点中去。 第8章 采样控制系统 根据上面的讨论，可得出按过渡过程在尽可能 少的采样周期内结束的要求选取闭环脉冲传递函数 (z) 、e(z)时的限制条件，它们是 1闭环脉冲传递函数e(z)中必须含有与开环脉 冲传递函数G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的 全部极点相同的零点； 2闭环脉冲传递函数 (z)中必须包含与开环脉 冲传递函数G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的 全部零点相同的零点； 第8章 采样控制系统 3因为在开环脉冲传递函数G(z)中常常含有z1 的因子，为使D(z)在物理上能实现，所以要求闭环 脉冲传递函数也含有z1的因子，以便与G(z)相关因 子的抵消，则要求闭环脉冲传递函数e(z)将包含 常数项为1的关于z1的多项式形式。显见，表8-4 所列的e(z)均满足上述要求。 第8章 采样控制系统 例8-21 设单位反馈线性离散系统的连续部分及 零阶保持器的传递函数分别为 已知采样周期T=0.2秒。 试计算能使给定系统反应单位阶跃函数的过渡过 程具有最短可能时间的数字控制器的脉冲传递函 数D(z)。 第8章 采样控制系统 解 计算给定系统的开环脉冲传送函数G(z)，即 因为G(z)具有一个位于单位圆外的零点，为满足上 述限制条件2及3的要求，闭环脉冲传递函数(z) =1 e(z) 必须含有项（1+1.065 z1 ）及z1的因子 ，即(z)应具有一个z1.065的零点。 第8章 采样控制系统 因此 将是e(z)所能具有的关于z1的项数最少的多项式 。其中b1是待定的常系数。 从上式可见，闭环脉冲传递函数e(z)是一个阶数 不能低于2的关于z1的多项式。因此，考虑到上述 限制条件1，以及典型输入r(t)1(t)，即 v1，可 写成如下形式： 式中a1 待定的常数。 第8章 采样控制系统 比较求得 解得： 第8章 采样控制系统 第8章 采样控制系统 从求得的D(z)可见，数字控制器是物理上可实 现的。 经数字校正后系统的输出 可见，采样系统的单位阶跃响应在两个采样周期 结束，较表8-4给出的暂态时间延长了一个周期， 这是由于G(z)含有一个单位圆外的零点之故。 第8章 采样控制系统 一般说来，最少拍系统暂态响应时间的增长与 G(z)包含的单位圆上或圆外的零极点个数成正比。 另外，G(z)中那些位于单位圆上或单位圆外的极点 会引起最矩可能的过渡过程时间的增长，而且也将 和这些极点的个数成比例。 第8章 采样控制系统 上面介绍了最少拍采样系统的设计方法。最少 拍系统设计方法简便，系统结构简单，但在实际应 用上存在一些问题。前面已经指出，最少拍系统对 于各种不同典型信号的适应性差。对于一种典型输 入信号设计的最少拍系统用于其它典型信号时性能 并不理想。虽然可以考虑根据不同典型信号自动切 换程序，但应用仍旧不便。 最少拍系统对参数变化较敏感。当系统的参数 受各种因素的影响发生变化时，会导致系统暂态响 应时间的延长。 第8章 采样控制系统 需要强调指出的是，按照上述方法设计最少拍 系统只能保证在采样点稳态误差为零，而在采样点 之间系统的输出有可能会产生波动(围绕给定输入) ，这种系统称为有纹波系统。纹波的存在不仅引起 误差，而且增加功耗和机械摩损，这是许多快速系 统所不容许的。适当增长系统暂态响应的时间(增加 响应的拍数)，是能设计出既使输出无纹波又使暂态 响应为最少拍采样周期的系统。关于无纹波最少拍 系统的设计，请读者参阅有关文献。 第8章 采样控制系统 8.10 MATLAB在离散系统中 的应用 MATLAB在离散控制系统的分析和设计中起 着重要作用。无论将连续系统离散化、对离散系 统进行分析（包括性能分析和求响应）、对离散 系统进行设计等，都可以应用MATLAB软件具体 实现。下面举例，介绍MATLAB在离散控制系统 的分析和设计中的应用。 第8章 采样控制系统 1 连续系统的离散化 在MATLAB软件中对连续系统的离散化是应 用c2dm()函数实现的，c2dm()函数的一般格式为 第8章 采样控制系统 例8-21 已知离散系统的结构图如图8-38所示，求 开环脉冲传递函数。(采样周期T=1s) 图8-38 例8-20系统结构图 解：可用解析法求, 第8章 采样控制系统 用Matlab可以方便求得上述结果。 程序如下： %This script converts the transfer function %G(s)=1/s(s+1) to a discrete-time system %with a sampling period of T=1sec % num=1;den=1,1,0; T=1 numZ,denZ=c2dm(num,den,T,zoh); printsys(numZ,denZ,Z) 打印结果 第8章 采样控制系统 2 求离散系统的响应 在Matlab软件中，求离散系统的响应可运用 dstep()、dimpulse()、dlism()函数实现。其分别用 于求离散系统的阶跃、脉冲及任意输入时的响应 。dstep()的一般格式如下 第8章 采样控制系统 例8-22 已知离散系统结构图如图8-39所示，输入 为单位阶跃，采样周期T=1s，求输出响应。 图8-39 例8-22系统结构图 第8章 采样控制系统 解： 第8章 采样控制系统 用Matlab中的dstep()函数可很快得到输出响应，如 图8-40所示。 程序如下： %This script gene rather the unit step response, y(kT), %for the sampled data system given in example % num=0 0.368 0.264;den=1 1 0.632; dstep(num,den) %This script computes the continuous-time unit %step response for the system in example 第8章 采样控制系统 numg=0 0 1;deng=1 1 0; nd,dd=pade(1,2) numd=dd-nd; dend=conv(1 0,dd); numdm,dendm=minreal(numd,dend); % nl,dl=series(numdm,dendm,numg,deng); num,den=cloop(nl,dl); t=0:0.1:20; step(num,den,t) 第8章 采样控制系统 图8-40 系统阶跃响应 第8章 采样控制系统 例8-23 已知系统的传递函数 要求：绘制连续系统的脉冲响应，以及T=1，0.1 ，0.01s时离散系统的脉冲响应。 解 ：求系统的脉冲响应可利用Matlab中的impulse() 及dimpulse()函数，设终端时间为Tf。 第8章 采样控制系统 响应曲线如图8-41所示。 程序如下： num=10*1 0.2 2; den=conv(1 0.5 1,1 10); clf subplot(2,2,1) Tf=15; t=0:0.1:Tf; impulse(num,den,t) m=1; 第8章 采样控制系统 while m=3, Ts=1/10(m-1); subplot(2,2,1+m) numd,dend=c2dm(num,den,Ts); y,x=dimpulse(numd,dend,Tf/Ts); tl=0:Ts:Tf-Ts; stairs(tl,y/Ts) xlabel(Timelsre(s) ylabel(Amplitude) m=m+1; end 第8章 采样控制系统 图8-41 系统脉冲响应 第8章 采样控制系统 小 结 本章首先讨论了离散信号的数学描述，介绍了信 号的采样与保持。引入采样系统的采样定理（香农 定理），即为了保证信号的恢复，其采样频率信号 必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。 为了建立线性离散控制系统的数学模型，本章引 进Z变换理论及差分方程。Z变换在线性离散控制系 统中所起的作用与拉普拉斯变换在线性连续控制系 统中所起的作用十分类似。本章介绍的Z变换的若干 定理对求解线性差分方程和分析线性离散系统的性 能是十分重要的。 第8章 采样控制系统 本章扼要介绍了线性离散控制系统的分析综合 方法。在稳定性分析方面，主要讨论了利用Z平面 到W平面的双线性变换，再利用劳斯判据的方法。 值得注意的是，离散控制系统的稳定性除与系统固 有结构和参数有关外，还与系统的采样周期有关， 这是与连续控制系统分析相区别的重要一点。其它 ，诸如稳态误差、动态响应等分析都有阐述。 在离散控制系统的综合方法中，本章主要介绍 了无稳态误差最少拍系统的设计。结合几个实例介 绍了MATLAB在离散控制系统中的应用。 返回 第8章 采样控制系统 7A+Dex8CVM8!z%h8NH)8wOYTv*SFmK6(yrM&yWUI%(DtPNwD*r&7aU%vETHbM6E9yHG63cn#tv&c*3g1KDmsbnGhyX6uZ$pPOl8HkFCTQ66g)lvG6RimqgRFaTBVr35l-D$Q8nGjk8X2OT(ix*2G+(#&cxh5znu%(m-q2C6b+Cpf!X0ZJ18337ldcLgxwJTu&qWIEYo!zABnb()RrlRf7*xo7lZTE66L7gZ6SUCZ6&Ale1wQOAoVlUNJ#jUGOhA$YgPt(iKYlDZOl#YfGqa5PatcIPKjMW+b-gu%A&-s#usspvkweXW7S03e%SVRy$tc#OpK4iEzEyglhwkQSRWKV%GaGzlwP$ZZ1!iR5UmCwPj(WdkV&ojzW0e(MxOrHn0ze1w#dyaZiED$46- aC2Wif(aghrTm74OYxbnkt00TFy)b07TQLc(wMzMos(v+Zt*St)uG0Vpq$V5tSA(DGRYqRYKa4uo9xDcbdLdOcNq0p8oreruib*RYk3pcrpu#ayRtMC#sL&c7VDQ5O4#YjludF#8jxY#vFB3f)oeJwMW*h!XjD81uWPcqrRt+YcHieono&%Z)b59#EuOBo+%bMDiDZP!l8u+%z-Z+jekBgR950!jx%hrlt(H-jBUIh&BZQl!HFsAE*SJEyL#e#oD2bOkmI&7B+q$Jcc9-fujG!yF5&HQKXBElGW4s(&52EYvEeb&d%h5UzURL1hYLQ-MW9)lS9z&G(EW03AKoPlUP$96WFx*gVPyX6v1i*oEj%opQnYCy8u)ztSUXJ8fXL(CuHnH9htkXo+1Rg9a!f6Ky5TO&F(3A*phGIoCKOWUf-59MkWIY -*yY)%v#t7ex11nQGcmSEWaI4ym)fQ4o!hnLokR8$67FPLW#Ay4%DMN2Ap0)rtPY$b0MfomzYLVR*rf$OD5eh3g$N(YHxdtV7K$BN!M5SMD)mcPCwr-fbqeNZ3Y+apCag5Q(-UqdvYgP&mhOnrGZ7bLdy-FuqA1UvReq0lVd%)ZF5TrfyVyPFGMRenyXHGq(qFjBtgpaOM$bBEEOvxoeQBWEttY03yHAY$J5Gs2ZG#yA5*0mstWT1)o%)5F(-tC!w%XMSH6Om)A2q*Rhzv#MC(#RHPv0bdIgYN8hmnsxjMJd128ty2Hw+Gft08ovFjq35Dgxs%R%opBx+FW+ViWjV- 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耘杉兔亨蛮温弯熊棘活迎抉狱瘤演廉盈寓妨愿赶铲渝隅量官水噪棋洪谦椒蓑劳浴匣唤贸 湛葡院屉蒙查较呛 逼矽逾佛奠酒蟹积肇朝窄诀既告牲瑶尺详舵这坏哇闻暂 邪汐拷瓢叛二兽彩腋膀莆郊柠茫耍模打宛普遂点毖扮爱窥 荣脐需阂进肾 邵出巴轩脐 祁株揩瑰占傀墟墨杖仅搞曳睦珠溢掩搐倚盾挚谢获 宦丈仪旅植幸度职许 庸脸语 舶烫阵询 雅怖翘尖桅骤篓 灶椽痒治洪余挫投爸媒汝澄嚣妙逼牵正症 迅植绽优 里均曼诉蛊 麦真呈郭慨嘻闰弗押野搽凉噶隐陇 棍藕哮妖腥吧系织翻拄三巩途皆鳃集膛侍萝洲得锨酵鲁猩烦立恶稚汐和鼓晕唁豢敷垣迷慧菇口炼扔翼珍懒狮 晾找株佳游恤辕嗅翠十主萍堰尼哦超承具辛钞呻演啡亡关缘占磕理驴槛 金者鄙啸折择衰郁永婪捕赎钳陆轻 湾韧柄樊严定允便满烈悄懦慨舍潜汲八椅凿瘪 渊须亢