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第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结 一、一个方程的情形 引例:已知 确定 , 求 一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导? 隐函数的求导公式 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) ,并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 两边对 x 求导 在的某邻域内 则 前述引例: 就可确定可导函数 , 且 例1. 验证方程在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 ; 由 定理1 可知, 导的隐函数 则 在点 (0,0)的某邻域内方程存在单值可 且 并求 解令 则 解法一 则 令 法二 方程两边对x求导,视y为x的函数: 解 2. 推广到三元以上 解法一：用公式法 解法二：两边同时对 x (或 y )求偏导 解法三：用全微分形式不变性 思路： 解令 则 整理得 整理得 整理得 3. 求隐函数的高阶偏导数 求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种： 二、方程组的情形 解1直接代入公式. 解2运用公式推导的方法. 将所给方程的两边分别对 求导， 视 例3 : 设 y = g ( x , z ) , 而 z 由 f ( x z, x y )= 0 所 确定 , 求 解:这类问题可看成是由两个方程确定了y = y ( x ) , z = z ( x ) , 用方程组确定的隐函数求导法. 利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式. 例、 证明方程 确定 的满足 ，其中 为可微. 利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式. 例: 设 分析: 该方程组确定 方程组两边分别对x求偏
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