高一数学上册（人教新课标a版）集合教案

集合（知识讲解）一、目标认知学习目标： 1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法、特征性质描述法和Venn图法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集重点、难点： 1.对集合中元素的三要素的应用；2.运用集合的两种常用表示方法-列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；3.弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；4.集合的交集与并集、补集的概念；5.集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”.二、知识要点梳理集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.知识点一：集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不 应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一 个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.知识点三：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B结论：任何一个集合是它本身的子集.知识点四：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：说明：补集的概念必须要有全集的限制.4.集合基本运算的一些结论： 若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.三、规律方法指导1.注意和初中数学知识的衔接，这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，如一元二次方程、二元一次方程组、平面几何中常见的平面图形等在此基础上，再根据本章特点，较快地吸收新知识，形成新的知识结构2.认真理解、反复推敲思考本章各知识点的含义及各种表示方法容易混淆的知识应仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与集合知识相适应的理论体系与思想方法3.常用的数学思想方法主要有：数形结合的思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合间的包含关系等逐步培养用集合的思想来分析问题、解决问题的能力经典例题透析类型一：集合的概念及元素的性质1下列各组对象中，能构成集合的是（）(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到坐标点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体； (5)的近似值的全体.思路点拨：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.解：“接近于0的数”、“比较小的正整数”对象不确定，所以(1)、(2)不是集合，同理(5)也不是集合.(3)、(4)可构成集合，故答案是(3)、(4).举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)申办2008年奥运会的所有城市；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题； (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体； (5)大于0且小于1的所有的实数.思路点拨：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.解：(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难 题”无法客观判断.(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合， 是有限集.(5)大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合， 是无限集.总结升华：(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断；(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.2比较下列两个集合的差异： （1）A=(x，y)|y=x2， xR， B=y|y=x2， xR；（2）A=x|x2-6x-7=0 B=(x，y)|.解析：(1)集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素不同.(2)A=-1，7， B=(-1，7)集合A，B都是方程（组）解的集合，但A中有两个元素-1，7，而B中只有一个元素(-1， 7).类型二：元素与集合的关系3用符号“”或“”填空 (1)0_N；(2)-1_ N；(3)_ Q；(4)_Z；(5)0_；(6)_Q.思路点拨：确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).举一反三：【变式1】用符号“”或“”填空(1)(2)(3)思路点拨：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.解：(1) (2) 令，则令，则(3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，总结升华：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“”左边的元素组成的，符号“”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.类型三：集合中元素性质的应用4定义，若M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，则N-M=( ) A. M B. N C. 1，4，5 D. 6思路点拨：由的定义可得，在集合N中含有M中的2，3两个元素，而不含有6，故N-M=6，选D。5，则M=( ) A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以由aZ，所以-1a4当a=-1时，符合题意；当a=0时，不符合题意；当a=1时，不符合题意；当a=2时，符合题意；当a=3时，符合题意；当a=4时，符合题意.故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M=-1，2，3，4，选项D正确.6已知集合M=x|ax2+2x+1=0中只含有一个元素，则a=_.思路点拨：由集合M中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意，当a0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.7已知：-3a-3， 2a-3， a2-4，求a. 解：若-3=a-3即a=0.当a=0时2a-3=-3，即不符合元素的互异性，a=0(舍)；若-3=2a-3a=0同理舍掉；若a2-4=-3即a2=1即a=1，当a=1时，集合为-2，-1，-3，当a=-1时，集合为-4，-5，-3， a=1.类型四：集合的表示方法8试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件 因此，用描述法表示为； 方程有两个实数根 因此，用列举法表示为.(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件，且10x20， 因此，用描述法表示为； 大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列举法表示为.举一反三：【变式1】用列举法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)B=(x，y)|x+y=3， xN， yN(3)C=y|x+y=3，xN， yN(4)(5)(6)P=x|x(x-a)=0， aR思路点拨：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.解：(1)A=1，-2，-1，2(2)B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)C=0，1，2，3(4)D=(0，0)(5)M=0(6)当a0时，P=0，a；当a=0时，P=0.总结升华：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.【变式2】用列举法表示下列集合.(1) A=x|x=(-1)n， nN；(2) B=(x，y)|3x+2y=16， xN， yN；(3) C=16的正整数约数.解：(1)A=1，-1；(2)B=(0，8)， (2，5)， (4，2)；(3)C=1，2，4，8，16.【变式3】用描述法表示下列集合.(1)A=3，6，9，12，15，18，21；(2)B=，.解：(1)A=x|x=3n， 1n7， nN；(2)B=x|x=， nN+.类型五：集合间的关系9下列关系正确的是( ) A. 0 B. 0= C. =0 D. 0解析：表示空集不含任何元素，故元素0，既A不正确；0是元素，是集合，元素与集合只有“属于”或“不属于”两种关系，即B不正确；不含任何元素，0含有元素0，故与0不是相等关系，即C不正确；0是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故0是正确的，即D正确.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1)_0； (2) x|x|1_x|x21(3)y|y=2x2_y|y=3x2-1(4)x|x|1_x|x1(5)(x，y)|-2x2_(x，y)|-1x2(6)若A=0， ， (1，-1)， 1， 则1_A，_A， 0，_A， 0 _A；(7)_ 答案：(1) (2)= (3) (4) (5) (6) ， ， (7) ()总结升华：区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.10. 写出集合a，b，c的所有不同的子集. 解析：不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为a，b，c，含有2个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3个元素的子集为a，b，c，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.举一反三：【变式1】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求实数a的取值.解析：， a2A， 则有： （1）a2=1a=1，当a=1时与元素的互异性不符，a=-1； （2）a2=3a= （3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0 综上：a=-1， a=或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.11设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( ) A. M=N B. MN C. NM D. MN=解析：当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.12已知：M=x，xy， N=0，|x|，y且M=N，求x，y的值. 思路点拨：M=NM、N元素相同；M、N各含三个互异元素；分类讨论思想.解：(1)若x=0则N=0，0，y与元素互异性不符，x0 同理y0， 即x=y.(2)若x=|x|，则xy=y x0， x=1， y=1与元素互异性不符.(3)若x=y， xy=|x|，即x2=|x|，解得：x=y=-1.举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )解：由元素的三要素及两集合相等的特征：当b=1时，a=-1，当时，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)综上：a=-1，b=1，b-a=2.【变式2】已知集合A=x，xy，集合B=0，|x|，y，若A=B， 试求解析：由A=B，知A，B所含元素相同.由O0，|x|，y可知若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了A中元素互异性，所以x0.若xy=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即B中元素0，y是相同元素，破坏了B中元素的互异性，故xy0若，则x=y，A，B可写为A=x，x2，0，B=0，|x|，x由A=B可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=1当x=1时，A中元素|x|与x相同，破坏了A中元素互异性，故 x1当x=-1时，A=-1，1，0，B=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=(-2)+2+(-2)+(-2)+2+(-2)=-2.类型六：集合的运算13. 已知集合A=y|y=x2-4x+3，xR，B=y|y=-x2-2x+2，xR，则AB等于( ) A. B. R C. -1，3D. -1，3解析：集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A=y|y-1，B=y|y3，所以AB=y|-1y3，选D.14. 设集合M=3，a，N=x|x2-3x0，xZ，MN=1，则MN为( ) A. 1，3，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3解析：由N=x|x2-3x0，xZ可得：N=x|0x3，xZ=1，2，又由MN=1，可知1M，即a=1，故选C.举一反三：【变式1】已知A=x|x2+px+q=0，B=x|x2-qx+2p=0，若AB=1，则AB=( )A. B. 1 C. 1，-3，-4 D. 解析：由题意知集合A，B是两个一元二次方程的解集，若AB=1，则x=1是以上两个一元二次方程的公共解，即x=1同时满足两个一元二次方程.由此可得正确选项为A.【变式2】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；（2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=-x2+4， 求：AB，AB；（3）已知集合A=-3， a2 ，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中aR，若AB=-3，求AB.解：（1）P=2，-1，MP=x|x2或x=-1，MP=2.（2）A=y|y0， B=y|y4， AB=y|0y4， AB=R.（3）AB=-3，-3B，则有：1a-3=-3a=0， A=-3，0，1， B=-3，1，-1AB=-3，1，与已知不符，a0；22a-1=-3a=-1， A=-3，1，0， B=-4，2，-3， 符合题设条件，AB=-4，-3，0，1，2.总结升华：此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【变式3】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且AB=，求AB.解：AB=，是方程2x2+px+q=0的解，则有：(1)，同理有：6()2+(2-p)+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：方程(1)为2x2+7x-4=0，方程的解为：x1=， x2=-4， ，由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，B=， ，则AB=， ，-4.【变式4】设集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.解析：由AB=2，3，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18当a=-1时，A=2，3，6，B=2，2，-9这既不满足条件AB=2，3，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.15. 设全集U=a，b，c，d，e，M=a，c，d，N=b，d，e，那么(CuM)(CuN)=( ) A. B. d C. a，c D. b，e解析：CuM=b，e，CuN=a，c(CuM)(CuN)=b，ea，c=或由补集法则，MN=a，b，c，d，e=U(CuM)(CuN)=Cu(MN)=CuU=即A为正确选项.16. 设全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7， 求集合A，B.解析：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在AB中.由集合的图示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.类型七：集合运算综合应用17已知全集A=x|-2x4， B=x|xa.（1）若AB，求实数 a的取值范围；（2）若ABA，求实数a的取值范围；（3）若AB且ABA，求实数a的取值范围；思路点拨：（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.解：(1)A=x|-2x4， B=x|xa，又AB，如图，a4；(2)画数轴同理可得：a-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2a4.总结升华：此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.18. 设全集为R，M=x|ax+b0，a0，N=x|cx+d0，c0，试用集合M、N表示集合x|(ax+b)(cx+d)=0.解析：由，同理，x|(ax+b)(cx+d)=0=x|ax+b=0或cx+d=0 =x|ax+b=0x|cx+d=0 =(CRM)(CRN)19. 设(1)若aZ，则是否有aS？(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1x2，是否属于集合S？解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，aS；(2)x1，x2S，则 m1，n1，m2，n2Z，m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z x1x2S.学习成果测评基础达标一、选择题1下列各项中，不可以组成集合的是( )A所有的正数 B等于2的数 C接近于0的数 D不等于0的偶数2下列四个集合中，是空集的是( )A BC D3下列表示图形中的阴影部分的是( )ABCD 4下面有四个命题：(1)集合中最小的数是1；(2)若不属于，则属于；(3)若则的最小值为2； (4)的解可表示为；其中正确命题的个数为( )A0个 B1个 C2个 D3个5若集合中的元素是的三边长，则一定不是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形6若全集，则集合的真子集共有( )A3个 B5个 C7个 D8个二、填空题1用符号“”或“”填空(1)0_， _， _；(2)(是个无理数).2. 若集合，则的非空子集的个数为_.3若集合，则_4设集合，且，则实数的取值范围是_.5已知，则_.三、解答题1已知集合，试用列举法表示集合.2已知，求的取值范围.3已知集合，若，求实数的值.4设全集， .能力提升一、选择题1下列命题正确的有( )(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合与集合是同一个集合；(3)这些数组成的集合有个元素；(4)集合是指第二和第四象限内的点集.A0个 B1个 C2个 D3个2若集合，且，则的值为( )A1 B-1 C1或-1 D1或-1或03若集合，则有( )A B C D4方程组的解集是( )A B C D5下列式子中，正确的是( )ABC空集是任何集合的真子集D6下列表述中错误的是( )A若 B若C D二、填空题1用适当的符号填空(1)；(2)；(3).2设， 则.3某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为_人.4若且，则_.5已知集合至多有一个元素，则的取值范围_；若至少有一个元素，则的取值范围_.三、解答题1设.2设，其中，如果， 求实数的取值范围.3集合， 满足，求实数的值.4设，集合，；若， 求的值.综合探究一、选择题1若为全集，下面三个命题中真命题的个数是( )(1)若；(2)若；(3)若.A个 B个 C个 D个2设集合，则( )A B C D二、填空题1用列举法表示集合：=_.2若，则=_.3设全集，集合， 那么等于_.三、解答题1若2全集，如果则这样的实数是否存在？ 若存在，求出；若不存在，请说明理由.3设集合求集合的所有非空子集元素和的和.答案与解析：基础达标一、选择题 1.C 元素的确定性.2.D 选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.3.A 阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分.4.A (1)最小的数应该是；(2)反例：，但；(3)当；(4)元素的互异性.5.D 元素的互异性.6.C ，真子集有.二、填空题 1.2.15 ，非空子集有.3. ，显然.4. ，则得.5. ，.三、解答题 1.解：由题意可知是的正约数，当；当；当；当；而，即 .2.解：当，即时，满足，即；当，即时，满足，即；当，即时，由，得，得，即；综上得.3.解：，而，当，这样与矛盾，；当符合.4.解：当时，即；当时，即，且 ，而对于，即，.能力提升一、选择题 1.A (1)错的原因是元素不确定，(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同，(3)，有重复的元素，应该是个元素，(4)本集合还包括坐标轴.2.D 当时，满足，即；当时，而，；.3.A ，.4.D 原方程组可化为，该方程组有一组解，解集为.5. D 选项A应改为，选项B应改为，选项C可加上“非空”，或去掉“真”， 选项D中的中有个元素“”，而并非空集.6.C 当时，.二、填空题1. (1)，满足，(2)估算， 或，(3)左边，右边.2. .3.26 全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人； 仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 . ，.4. 由，则，且.5. ， 当中仅有一个元素时，或； 当中有个元素时，； 当中有两个元素时，.三、解答题1.解：由得的两个根，即的两个根，.2.解：由，而，当，即时，符合；当，即时，符合；当，即时，中有两个元素，而；得 .3.解：，而，则至少有一个元素在中，又，即，得而矛盾，.4.解：，由，当时，符合；当时，而，即或.综合探究一、选择题 1. D(1)；(2)；(3)证明：，； 同理， .2. B ；，整数的范围大于奇数的范围.二、填空题1. (的约数).2. ，.3. ，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；代表直线外的点，代表直线上的点，.三、解答题1.解：，.2.解：由得，即，.3.解：含有的子集有个；含有的子集有个；含有的子集有个；，含有的子集有个，.课外拓展集合论简介初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念都是：集合.这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论.它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一.下面就让我们一起去探究一下这门独特而重要的数学理论的来龙去脉，追觅它所走过的曲折历程吧.集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基本知识.学习过程中，同学们或许觉得一切都是很自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在.前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R