2017届高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题六 解析几何 162 圆锥曲线的概念与性质与弦有关的计算问题课件 理 新人教版

第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关 的计算问题 【知识识回顾顾】 1.圆锥圆锥 曲线线的定义义式 (1)椭圆椭圆 :|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|); (2)双曲线线:|PF1|-|PF2|=2a(2a0,b0)的渐渐近线线方程为为_; 焦点坐标标F1_,F2_; 双曲线线 =1(a0,b0)的渐渐近线线方程为为_, 焦点坐标标F1_,F2_. (-c,0)(c,0) (0,-c)(0,c) (3)抛物线线的焦点坐标标与准线线方程: 抛物线线y2=2px(p0)的焦点坐标为标为 _,准线线方 程为为_; 抛物线线x2=2py(p0)的焦点坐标为标为 _,准线线方 程为为_. 3.弦长问题长问题 (1)直线线与圆锥圆锥 曲线线相交时时的弦长长 设设而不求,利用根与系数的关系,进进行整体代入.即当斜 率为为k,直线线与圆锥圆锥 曲线线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时时, (2)过过抛物线线焦点的弦长长 抛物线线y2=2px(p0)过过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2), 则则x1x2= ,y1y2=-p2,弦长长|AB|=_. x1+x2+p 【易错错提醒】 1.忽略条件致误误:应应用圆锥圆锥 曲线线定义义解题时题时 ,易忽视视 定义义中的条件导导致错误错误 . 2.忽略焦点的位置致误误:当焦点位置没有明确给给出时时 应对应对 焦点位置进进行分类讨论类讨论 ,椭圆椭圆 、双曲线线有两种情 况,抛物线线有四种情况. 3.混淆a,b,c的关系致误误:在椭圆椭圆 中a2=b2+c2,在双曲线线 中c2=a2+b2,在使用时谨时谨 防张张冠李戴. 4.注意隐隐含条件:圆锥圆锥 曲线线上点的横坐标标、纵纵坐标标是 有范围围的,在涉及求最值值或范围问题时围问题时 可能要用到. 【考题题回访访】 1.(2016全国卷)已知方程 表示 双曲线线，且该该双曲线线两焦点间间的距离为为4，则则n的取值值 范围围是( ) A.(-1，3) B.(-1， ) C.(0，3) D.(0， ) 【解析】选A. 表示双曲线， 则(m2+n)(3m2-n)0， 所以-m20)与C交于点P,PFx轴轴,则则k= ( ) 【解析】选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0). 又因为PFx轴, 所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k0), 即 =2,所以k=2. 3.(2016天津高考)已知双曲线线 =1(b0),以原 点为圆为圆 心,双曲线线的实实半轴长为轴长为 半径长长的圆圆与双曲线线 的两条渐渐近线线相交于A,B,C,D四点,四边边形ABCD的面积积 为为2b,则则双曲线线的方程为为 ( ) 【解析】选D. 渐近线OB: 所以x0=1,所以 所以 所以b2=12, 所以 4.(2014全国卷)已知抛物线线C:y2=x的焦点为为F, A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则则x0= ( ) A.1B.2C.4D.8 【解析】选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+ 解得x0=1. 5.(2014全国卷)设设F为为抛物线线C:y2=3x的焦点,过过F且 倾倾斜角为为30的直线线交C于A,B两点,则则|AB|= ( ) A.B.6C.12D.7 【解析】选C.设|AF|=2m,|BF|=2n, 则由抛物线 的定义和直角三角形知识可得, 2m=2 2n=2 解得 所以m+n=6. |AB|=|AF|+|BF|=2m+2n=12.故选C. 热热点考向一 圆锥圆锥 曲线线的定义义、标标准方程与性质质 命题题解读读:主要考查圆锥查圆锥 曲线线的定义义、标标准方程和离 心率、渐渐近线线等性质质,以选择题选择题 、填空题为题为 主. 【典例1】(1)(2016承德一模)已知抛物线线C:y2=8x的 焦点为为F,准线为线为 l,P是l上一点,Q是直线线PF与C的一个交 点,若 则则|QF|= ( ) (2)(2016郑郑州二模)经过经过 点(2,1),且渐渐近线线与圆圆 x2+(y-2)2=1相切的双曲线线的标标准方程为为 ( ) (3)(2016福州一模)已知椭圆椭圆 (ab0)的左 右焦点分别为别为 F1,F2,过过点F2的直线线与椭圆椭圆 交于A,B两点, 若F1AB是以A为为直角顶顶点的等腰直角三角形,则椭圆则椭圆 的离心率为为 ( ) 【解题导引】(1)先由向量的线性关系及相似三角形的 性质,确定线段间的比例关系,再根据抛物线的定义求 解线段长度. (2)先求双曲线的渐近线方程,根据渐近线方程判断焦 点的位置,然后列方程组求解. (3)根据F1AB的周长为4a,把AF1,AF2用a表示,再根据 勾股定理找出a,c满足的关系式. 【规范解答】(1)选B.如图所示, 因为 所以 过点Q作QMl,垂足为M, 则MQx轴,所以 所以|MQ|=3, 由抛物线定义知|QF|=|QM|=3. (2)选A.设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由题 意知 解得k= , 则双曲线的焦点在x轴,设双曲线方程为 所以,所求方程为 (3)选D.设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m. 由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a, 所以4a=2m+ m,m=2(2- )a. 所以|AF2|=2a-m=(2 -2)a. 因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以4(2- )2a2+4( -1)2a2=4c2, 所以e2=9-6 ,e= 【母题变题变 式】 1.本例(3)中若椭圆椭圆 改为为双曲线线 (a0,b0)过过 F2的直线线与双曲线线交于A,B两点,其他条件不变变,则则双曲 线线离心率e2的值为值为 _. 【解析】如图所示: 因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a, |BF1|=|AF2|+|BF2|, 所以|AF2|=2a,|AF1|=4a. 所以|BF1|=2 a,|BF2|=2 a-2a. 因为|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2, 所以(2c)2=(2 a)2+(2 a-2a)2, 所以e2=5-2 . 答案:5-2 2.在本例(3)中若条件变为变为 “在双曲线线 (a0,b0)中,A1,A2是左、右顶顶点,F是右焦点,B是虚轴轴 的上端点,若在线线段BF上存在点P,使得PA1A2构成以 A1A2为为斜边边的直角三角形”,试试求双曲线线离心率e的取 值值范围围. 【解析】由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公 共点,则原点到直线BF的距离小于或等于a, 又直线BF的方程为 即bx+cy-bc=0, 所以 整理得a4-3a2c2+c40, 即e4-3e2+10,解得 又e1,所以1b0)的左焦点,A,B分别为别为 C的左,右顶顶点. P为为C上一点,且PFx轴轴.过过点A的直线线l与线线段PF交于点 M,与y轴轴交于点E.若直线线BM经过经过 OE的中点,则则C的离心率 为为 ( ) 【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直 线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为(0,ka), 所以OE的中点H坐标为 又右顶点B(a,0),所以可得 直线BM的斜率为- ,可设其方程为y=- x+ a,联立 可得点M横坐标为- ,又点M的横坐标和 左焦点相同,所以- =-c,所以e= . 2.(2016合肥二模)已知抛物线线y2=2px(p0)上一点M 到焦点F的距离等于2p,则则直线线MF的斜率为为 ( ) 【解析】选A.设M(x0,y0),由题意x0+ =2p, 则x0= ,从而y02=3p2, 【加固训练训练 】 1.已知F1,F2是椭圆椭圆 和双曲线线的公共焦点,P是它们们的一 个公共点,且F1PF2= ,则椭圆则椭圆 和双曲线线的离心率的 倒数之和的最大值为值为 ( ) 【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n,F1F2=2c且mn,则椭 圆与双曲线离心率的倒数和为 由余弦定理4c2=m2+n2-2mncos =m2+n2-mn. 即n2-mn+m2-4c2=0,关于n的一元二次方程有解, =m2-4(m2-4c2)0,故16c23m2, 2.已知椭圆椭圆 C1: 与双曲线线C2: 有相 同的焦点,则椭圆则椭圆 C1的离心率e的取值值范围为围为 ( ) 【解析】选A.因为椭圆C1: 与双曲线C2: 有相同的焦点,所以m0,n0)上,若 的最小值为值为 0,则则的值为值为 ( ) A. B.0 C.p D.2p (2)(2016承德二模)已知椭圆椭圆 C: (ab0)的 离心率为为 且过过点 求椭圆椭圆 C的方程; 设设与圆圆O:x2+y2= 相切的直线线l交椭圆椭圆 C于A,B两点, 求OAB面积积的最大值值及取得最大值时值时 直线线l的方程. 【解题导引】(1)根据 的最小值为0知,AEB的 最大值为90,此时直线EA,EB均与抛物线相切,且直线 EA,EB的斜率分别为1和-1. (2)直接列方程组求a,b的值;分直线l的斜率存在 与不存在两种情况求解,当斜率存在时,求OAB面积的 最大值,实际上是求|AB|的最大值. 【规范解答】(1)选A.当 的最小值为0时,直线 EA,EB相互垂直且都与抛物线相切,根据抛物线的对称 性不妨令直线EA的方程为y=x+, 由 得y2-2py+2p=0, 则=4p2-8p=0,解得= . (2)由题意可得: a2=3,b2=1,所以 +y2=1. ()当直线l的斜率k不存在时,x= , 所以y= ,所以|AB|= .又圆半径为 . 所以SOAB= ()当直线l的斜率k存在时, 设直线l方程为y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2), (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 又直线l与圆相切,则有 即4m2=3(1+k2) 所以|AB|= 当且仅当 即k= 时等号成立, SOAB= 所以OAB面积的最大值为 , 此时直线l的方程为y= x1. 【规规律方法】处处理圆锥圆锥 曲线线与圆圆相结结合问题问题 的注意 点 (1)注意圆圆心、半径和平面几何知识识的应应用,如直径所 对对的圆圆周角为为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、 弦长长的一半构成直角三角形等. (2)注意圆圆与特殊线线的位置关系,如圆圆的直径与椭圆长椭圆长 轴轴(短轴轴),与双曲线线的实轴实轴 (虚轴轴)的关系;圆圆与过过定 点的直线线、双曲线线的渐渐近线线、抛物线线的准线线的位置关 系等. 【题组过题组过 关】 1.(2016长长沙二模)双曲线线 (a0,b0)与椭椭 圆圆 的焦点相同,若过过右焦点F且倾倾斜角为为60 的直线线与双曲线线的右支有两个不同交点,则则此双曲线实线实 半轴长轴长 的取值值范围围是 ( ) A.(2,4)B.(2,4C.2,4)D.(2,+) 【解析】选A.椭圆 的半焦距c=4. 要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐 近线方程的斜率小于直线的斜率,即 即b2, 又ab0), 直线x+ky-3=0所经过的定点是(3,0),即点F(3,0). 因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8,所以a+3=8,a=5, 所以b2=52-32=16,所以椭圆C的方程为 (2)因为点P(m,n)在椭圆C上, 所以 即n2=16- 又原点到直线l:mx+ny=1的距离d= 所以直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1恒相交, 则l2=4(12-d2)= 因为-5m5,所以 【加固训练训练 】已知椭圆椭圆 C1过过点 且其右顶顶点与椭椭 圆圆C2:x2+2y2=4的右焦点重合. (1)求椭圆椭圆 C1的标标准方程. (2)设设O为为原点,若点A在椭圆椭圆 C1上,点B在椭圆椭圆 C2上,且 OAOB,试试判断直线线AB与圆圆x2+y2=1的位置关系,并证证明 你的结论结论 . 【解析】(1)因为椭圆C2: 的右焦点为( ,0), 所以可设椭圆C1: 又椭圆C1过点 所以 解得b2= 故椭圆C1的标准方程为 (2)直线AB与圆x2+y2=1相切.证明如下: 设原点到直线AB的距离为d. 若OA斜率不存在,则 B(2,0), 此时|AB|= 由|OA|OB|=|AB|d得,d=1. 若OA斜率存在,由已知OAOB, 可设OA:y=kx,OB:ky=-x, 即d=1. 综上,直线AB与圆x2+y2=1相切. 热热点考向三 圆锥圆锥 曲线线中的最值值(范围围)及与 弦有关的问题问题 命题题解读读:主要考查查直线线与圆锥圆锥 曲线线相交时时的弦长长公 式和最值值的求法,三种题题型都有可能出现现. 命题题角度一 圆锥圆锥 曲线线中的最值值(范围围)问题问题 【典例3】(2016衡阳二模)已知抛物线线E:y=ax2上三 个不同的点A(1,1),B,C满满足关系式 (1)求抛物线线E的方程. (2)求ABC的外接圆圆面积积的最小值值及此时时ABC的外接 圆圆的方程. 【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成四个小题: 设B(x1,x12),C(x2,x22),根据 找出x1,x2的关 系式,用x1表示x2; 求x2的取值范围; 用x2表示ABC的外接圆的直径|AC|; 利用导数求|AC|的最小值,从而求出ABC的外接圆 面积的最小值. 【规范解答】(1)因为1=a12, 所以a=1,抛物线E的方程为y=x2. (2)设B(x1,x12),C(x2,x22),则 =(x1-1,x12-1), =(x2-x1,x22-x12) 因为 (x1-1)(x2-x1)+(x12-1)(x22-x12)=0, 因为x11,x1x2, 所以1+(x1+1)(x1+x2)=0,且x1-1, 所以x2= 当x1+10时,x2-1;当x1+10,f(x)递增. 又f(-1)=4,f(3)=68, 所以|AC|min=2,此时x2=-1, 所以r=1,ABC的外接圆面积Smin=. 所以C(-1,1). 所以ABC的外接圆的圆心为(0,1),半径r=1, 所以ABC的外接圆方程为x2+(y-1)2=1. 【易错错警示】解答本题题易出现现以下二种错误错误 : (1)不会应应用消元法把|AC|用一个变变量表示. (2)不会应应用导导数求|AC|的最小值值. 命题题角度二 与弦、弦中点有关的问题问题 【典例4】(2016全国卷)已知抛物线线C:y2=2x的焦 点为为F,平行于x轴轴的两条直线线l1,l2分别别交C于A,B两点, 交C的准线线于P,Q两点. (1)若F在线线段AB上,R是PQ的中点,证证明:ARFQ. (2)若PQF的面积积是ABF的面积积的两倍,求AB中点的 轨轨迹方程. 【解题导引】(1)先写出直线AB的方程,再通过斜率相 等证明ARFQ. (2)设出AB中点的坐标,利用SPQF=2SABF列等式求轨迹 方程. 【规范解答】(1)由题意可知 设l1:y=a,l2:y=b 且ab0, 记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为 2x-(a+b)y+ab=0, 因为点F在线段AB上,所以ab+1=0, 记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2, 所以 又因为ab+1=0, 所以 所以k1=k2, 即ARFQ. (2)设直线AB与x轴的交点为D(x1,0), 所以SABF= 又SPQF= 所以由题意可得SPQF=2SABF即: 解得x1=0(舍)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得 (x1). 而 所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为 y2=x-1. 【规规律方法】 1.与圆锥圆锥 曲线线有关的取值值范围问题围问题 的三种解法 (1)数形结结合法:利用待求量的几何意义义,确定出临临界 位置后数形结结合求解. (2)构建不等式法:利用已知或隐隐含的不等关系,构建以 待求量为为元的不等式求解. (3)构建函数法:先引入变变量构建以待求量为为因变变量的 函数,再求其值值域. 2.弦中点问题问题 的解法 点差法在解决有关弦中点、弦所在直线线的斜率、弦中 点与原点连线连线 斜率问题时问题时 可简简化运算,但要注意直线线 斜率是否存在. 3.与弦端点相关问题问题 的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题问题 的一 般方法,就是将其转转化为为端点的坐标标关系,再根据联联立 消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程 (组组)求解. 【题组过题组过 关】 1.(2016商丘二模)抛物线线y2=2px(p0)的焦点为为F,已 知点A,B为为抛物线线上的两个动动点,且满满足AFB=120. 过过弦AB的中点M作抛物线线准线线的垂线线MN,垂足为为N,则则 的最大值为值为 ( ) 【解析】选A.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b, 由余弦定理得, AB2=a2+b2-2abcos120=a2+b2+ab, 配方得,|AB|2=(a+b)2-ab, 又因为ab 所以(a+b)2-ab(a+b)2- (a+b)2= (a+b)2, 得到AB (a+b). 所以 即 的最大值为 2.(2016天津高考)设椭圆设椭圆 的右焦点 为为F,右顶顶点为为A.已知 其中O为为原点,e为为 椭圆椭圆 的离心率. (1)求椭圆椭圆 的方程. (2)设过设过 点A的直线线l与椭圆椭圆 交于点B(点B不在x轴轴上),垂 直于l的直线线与l交于点M,与y轴轴交于点H.若BFHF,且 MOAMAO,求直线线l的斜率的取值值范围围. 【解析】(1)由题意,如图所示: 已知 所以 解得a=2, 所以椭圆方程为: (2)由已知,设l斜率为k(k0),方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2),x01(MOAMAO), H(0,yH),与椭圆的方程联立可得 整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,0成立. 由根与系数的关系得2xB= 所以 lHM:y-k(x0-2)=- (x-x0), 令x=0,得yH= x0-2k, 因为HFFB,所以 =(-1,yH)(xB-1,yB)=0, 即1-xB+yHyB 所以x0= 1,所以8k23, 所以k 或k- . 所以直线l的斜率的取值范围为 【加固训练训练 】 1.(2016安阳一模)如图图,已知抛物线线y2=4x的焦点为为F, 过过F的直线线交抛物线线于M,N两点,其准线线l与x轴轴交于K点. (1)求证证:KF平分MKN. (2)O为为坐标标原点,直线线MO,NO分别别交准 线线于点P,Q,求|PQ|+|MN|的最小值值. 【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x= -1.设直线MN的方程为x=my+1,M,N的坐标分别是 M( ,y1),N( ,y2), 由 消去x得y2-4my-4=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. (1)由题意,设KM与KN的斜率分别为k1,k2,显然只需证明 k1+k2=0即可. 因为K(-1,0), 所以 所以KF平分MKN. (2)由M,O,P三点共线可求出P点的坐标为 由N,O,Q三点共线可求出Q点的坐标为 则 而|MN|= 所以|PQ|+|MN|= +4(1+m2) 所以当m=0时,|MN|+|PQ|取最小值8. 2.(2016银银川二模)已知动动点M(x,y)到直线线l:x=4的距 离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动动点M的轨轨迹C的方程. (2)过过点P(0,3)的直线线m与轨轨迹C交于A,B