中学常用的数学思想方法及应用

四川理工学院毕业论文 中学数学中常用数学思想方法及应用学 生：朱文德学 号：10071040132专 业：数学与应用数学班 级：2010.1指导教师：熊廷见 四川理工学院理学院二O一四年六月四 川 理 工 学 院毕业论文任务书论文题目： 中学数学中常用数学思想方法及应用 学院： 理学院 专业： 数学与应用数学 班级：2010级1班 学号： 10071040132 学生： 朱文德 指导教师： 熊廷见 接受任务时间： 2014年3月15日 （系）教研室主任 （签名）教学院长 （签名）1毕业论文的主要内容及基本要求主要内容：（1）对数学在中学的学习以及其对人的发展的重要性进行探索（2）论述数学思想与方法的含义，并注意它们的关系，特别明确它们的区别.（3）探索中学数学中常用的一些数学思想及常用的一些数学方法，注重理论叙述与案例分析相结合. 基本要求：在明确了主要内容基础上要做到：（1）查阅文献资料，了解课题前沿；（2）理清课题研究思路，确定论文结构；（3）撰写出思路清晰，论据充分，结构合理的论文2指定查阅的主要参考文献及说明1 美 莫里兹. 数学的本性M. 朱建英译. 大连：大连理工大学出版社,20082 刘长伟. 数学教学中注重培养学生对数学思想的认识J. 中学教学参考，20123 叶立军. 数学方法论M. 杭州: 浙江大学出版社,20084 薛玉财. 活跃在高中数学中的函数思想J. 新课程（中学）, 2012(6)5 徐望斌. 对解题教学中分类讨论思想方法的探讨J. 湖北法学院学报(自然科学版)，2005,25（4）6 辛长红. 高中常用数学思想方法的教学研究 J. 延边大学, 2010(G4)7 代学德. 中学数学化归思想方法及其教学研究M. 武汉：华中师范大学，20063进度安排论文各阶段名称起 止 日 期1确定论文题目，接受任务2014年3月 3 日-2014年3月14日2查阅文献资料，完成文献综述和开题报告2014年3月15 日-2014年3月31日3完成论文初稿2014年4月 1 日-2014年4月30日4修改并完成论文直至定稿2014年5月 1 日-2014年6月10日5论文答辩2014年6月 11 日-2014年6月20日摘 要摘 要数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识的精华，了解与掌握数学思想方法，能够使学习者领悟数学的真谛，真正感受到数学世界的美与和谐，进而增进学习者对学习数学的热情，对学习者未来的发展有着重大而深远的影响.本文通过有关文献资料的查阅与研究以及自己的归纳、思考与总结，阐释了什么是数学思想方法，为何要了解与学习数学思想方法，并着重归纳总结出中学数学常用数学思想方法.宏观的角度考虑中学常见的数学思想有：集合思想，函数与方程思想，分类讨论的思想，整体化思想，化归思想，有限与无限思想，概率统计思想，数学建模思想等；综合考虑中学常用的数学方法有：数形结合法，构造法，归纳与演绎推理，类比法，反证法与同一法，综合法与分析法等. 关键词：中学数学；常见的数学思想；常见的数学方法IABSTRACTABSTRACTMathematics method of thinking is the soul of mathematics but also the essence of mathematical knowledge .To master mathematics thinking method, not only can make the learns to grasp the essence of mathematics can feel the word of mathematics beauty and harmony, and then promote the learns enthusiasm for mathematics has significant and the profound influence to the development of the learn. Through consulting literatures and research as well as own induction and thinking ,explains what is mathematics of thinking ,why the understanding and learning of mathematics thinking method and emphatically summarized the common mathematical thought method in mathematics. Thought of common middle school mathematics: collection thought , functions and equations thought, classification discussion thought, overall thought , transforming thought , the thought of statistics , mathematical modeling thought; The middle school mathematics methods in common use: number shape union method, construction method , inductive and deductive reasoning ,analogy method, reduction to absurdity with the same method , comprehensive method and analysis method. Key words: The middle school mathematics; the common mathematical though t; the common mathematical methodsIII目 录目 录摘 要IABSTRACTII目 录III前 言1第一章 中学常用的数学思想21.1集合思想21.2 函数与方程思想31.2.1 函数思想31.2.2 方程思想31.3 分类讨论思想51.4 整体化思想61.5 化归思想71.6 有限与无限思想81.6.1 有限探求无限81.6.2 无限探求有限91.7 或然与必然思想101.7.1 或然估计必然101.7.2 必然回答或然101.7.3 概率统计知识解决非概率问题111.8 数学建模思想12第二章 中学常用的数学方法132.1 数形结合法132.2 构造法142.3 归纳与演绎推理法152.4 类比法162.5 反证法与同一法172.5.1 反证法172.5.2 同一法172.6 综合法与分析法18结束语20参考文献21致 谢22文献综述2325四川理工学院毕业论文前 言当前，数学被定义为是从量的侧面去探索和研究客观世界的一门学问对于数学的这样一种定义方式，目前已被学术界广泛接受既然大家公认数学是从量的侧面去探索和研究客观世界，而客观世界中之任何事物或对象都是质和量的对立统一，因此没有量的侧面的事物或对象是不存在的如此从数学之定义或数学之本质内涵出发，就必须导致数学与客观世界中的一切事物之存在和发展密切相关同时也决定了数学这一研究领域有其独特的普遍性、抽象性和应用上的极端广泛性，从而数学也就在更抽象的层面上与任何特殊的物质运动形式息息相关因此可见数学与其他任何研究特殊的物质运动形态的科学相比，要高出一个层面.随着数学教育改革与发展的不断深入，数学思想方法在数学教学中的重要性日趋凸现，人们已经越来越认识到数学思想方法是数学教学的重要内容数学思想方法是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动力俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔”，“鱼”永远是无限的难以把握的，给人以“鱼”，这不是真正的智慧和财富.然而数学思想方法他的价值在于“渔”，它的最终目的就是要学习者在掌握与了解某个数学思想方法后，对某类问题的触类旁通，这样利用“渔”去解“鱼”，学习者更能深刻体会洞察数学的本质.恰恰是因为这种“渔”的了解与掌握，学习者在打“鱼”时，不是“只见树木不见森林”的状态，而体会到的是逻辑思维的快乐，这样就是给学习者脱离题海的“救生艇”，那么学习者对于数学的学习更积极，更主动，为学习者以后的学习生涯打下坚实的基础.中外数学家都十分重视数学思想方法的研究与应用日本著名数学家米山国藏曾说过：“科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不多的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必要的数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、思想与方法却随时随地发挥作用，可以使人受益终身”.作为数学教育工作者了解数学思想方法的产生、发展和特点，掌握数学中的典型方法，了解数学的创造法则以及数学运动发展规律，形成正确的数学观，并能自觉地用数学思想方法去指导数学学习与数学教学，从而提高数学教育工作者驾驭数学知识的能力，是十分重要的作者想通过对数学思想方法的研究，来剖析中学的数学教育，并以此来指导教育工作者更有效的进行教学、为新课改提供有力依据、为中学生学习数学指引方向.四川理工学院毕业论文第一章 中学常用的数学思想数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，在数学教学中注重培养学生对数学思想的认识，让学生学会从数学思想的高度认识数学、理解数学并运用数学思想解决问题，是数学学习的最高境界，也是数学教学的最终目的之一而数学思想又蕴含于数学教学的各个环节和过程之中，因此在平时的教学过程中注重对数学思想的渗透，提高学生对数学知识的领悟及本质的认识都是非常有意义的下面对一些在中学数学中常用的数学思想进行说明.1.1 集合思想19世纪末，德国数学家康托尔创建了集合论，被认为是近代数学史上最令人惊异的成就之一，在数学史上引起了一场革命.集合论是现代数学的基础，没有康托的集合论也就没有现代数学.康托尔创立了集合论，不仅给现代数学奠定了坚实的基础，而且在数学领域引发了一场伟大的革命.从产生之日起，集合论的思想就逐渐的渗透到数学的各个领域，一方面促进了数学的发展，另一方面导致了对数学基础的深刻研究. 中学数学中所研究的各个对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简洁明了地表述数学概念，准确简洁地进行数学推理.数学教师可以运用集合思想建立数学概念系统，帮助学生归纳整理数学知识.对于数学学习者来说，要养成一种集合的思维习惯，要善于把某些具有类似性质的对象放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关运算来研究与解决问题.同时，集合对于数学概念的形成，起着基础性的作用.可以说每个数学概念都可以利用集合概念语言来定义.正是因为集合论对于数学的基础作用与重要性，它已经成为理解现代数学必不可少的基础知识，它不仅成为大学数学系必修的基本内容，而且世界各地已把它的基本内容、思想和方法渗透到中小学的数学教材中.中学数学常见的集合如下：1.数集随着中学生数学学习的深入，数集由自然数集扩张到有理数集，再扩张到实数集，直至扩张到复数集.2.方程（方程组），不等式（不等式组）的解集方程或方程组的解集可以看作是满足某性质P的数的有限集合；不等式或不等式组的解集可以看作是满足某性质P的数的无限集合.3.点集在集合论产生之前人们已经开始研究数集与几何图形了，但几何图形仅仅被当作一个完整的集合来研究，并没有被看作是由点组成的集合.而如果以康托尔的集合思想为基础，就可以把中学数学中的任何一个几何图形看作是三维空间的点集的一个子集.更重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足性质P的实数对组成的集合建立一一对应关系，进而使得中学数学能够用代数方法解决几何问题，能够对代数问题给出几何解释，还能够通过几何图形来解答代数问题.1.2 函数与方程思想1.2.1 函数思想函数是中学数学中最基本，最重要的内容之一，是贯穿中学数学的一条主线，是学习高等数学的基础.学习函数最重要的是树立函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识使得问题解决.函数思想的特征如下：（1）函数思想反应的量与量之间的关系是运动变化中的关系.（2）对应是函数思想的本质特征.（3）自变量变化处于主导地位，即函数的值域是定义域通过对应法则所决定的.例1 证明不等式,.证明：原不等式,我们利用函数思想来解决此问题.令,则 . 当时,在上为单调递减函数.那么有, 在恒成立.1.2.2 方程思想方程思想的核心就是运用数学的符号化语言，将题中已知量和未知量（或参变量）之间的数量关系，抽象为方程或方程组，不等式或不等式组等数学模型，然后通过对方程或方程组，不等式的变换求出未知量的值，使得问题获解，方程思想体现了已知与未知的对立统一.掌握方程思想可分为三步：1.学会代数设想 ：假定问题已解，即未知量客观存在且假设它已求出，然后用字母代表未知量，且与已知量平等对待.2.学会代数翻译：透彻分析实际问题中已知量与未知量之间的关系，将用自然语言表达的实际问题翻译成符号化表达的方程与不等式.3.解方程或不等式.例2 若定义在上的函数既关于对称，又关于对称且，证明是周期函数.证明：关于对称， 那么对于任意 都有.令，则.又关于对称且，那么对于任意 有， 则 .令，对于任意的，即对于任意的.为周期函数.例3设是由正数组成的等比数列，是数列的前n项和.求证：证明： 有两个不等的实根.而是由正数组成的等比数列且是数列的前n项和.当时，可知即： 此方程有两个不相等的实根；当时 由等比数列的前n项和公式可知：化简整理的： .此方程有两个不相等的实根，故原结论成立.1.3 分类讨论思想当面临比较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分为几个部分，逐一加以研究，再综合之，以达到认识对象整体的目的.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对某个对象按某个标准分类，然后分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.在分类讨论时，要把握分类的两大原则：（1）同一性原则，即分类应该按照同一个标准每次划分的标准必须统一，也就是划分标准只能是一个，不能交叉的使用几个不同的划分标准.因此，在分类前应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，它有两层意思：一是判别概念应该放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使得划分后的结果混淆不清.（2）合理性原则，即分类时应该做到不重不漏从集合的观点来看，被分类概念的外延应被分类所得各属性概念的外延覆盖，各个属性概念的并集等于被分概念外延的全集.另外分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容关系.从集合的角度来看，被分成的任何两类之间不相交，即无公共元素.一般来说，分类讨论主要有四个步骤：（1）确定分类讨论的对象；（2）进行合理的分类讨论; (3)逐步逐级进行分类讨论；（4）综合，归纳结论.例4 求不等式的解集分析 本题是一个含绝对值的不等式，解题的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号时必须判断绝对值号里面整体的正负性，所以该题采用分类讨论法，分别以5和为绝对值零点来讨论、解答此题解：分类讨论：当时，不等式化为：，解之得： 所以不等式的解集为；当时，不等式化为：，解之得： 所以不等式的解集为；当时，不等式化为：，解之得：. 所以此不等式的解集为；综上：原不等式的解集为1.4 整体化思想对于某些数学问题，若从局部着手，求出“个体”可能比较困难，有时甚至不可能，这时可将注意力和着眼点放在问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，进而使问题获解，这就是整体思想在解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之殊不知，这种思考方法，常常导致解题过程繁杂、运算量大，甚至会半途而废其实有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解整体思想常常从整体上把握问题的内容和解题的方向及策略它的表现形式主要有整体代入、整体加减、整体换元、整体联想、整体补形、整体构造、整体代换等运用整体思想解题不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，而且还可以解决按常规方法解决不了的一些问题整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用运用整体思想解题可使我们不纠缠于局部细节，而能拓宽思路，开阔眼界，洞察题目中的整体与局部的关系.例5 已知 求的值.解：观察可以看出四个方程形式上非常类似，所以原方程组等价于， 这是一个关于t的分式方程.又因为是方程的根，则一定有方程 方程关于的多次幂的系数必相等.首先考查关于的系数均为1; 其次考查关于的系数:式展开关于的系数为 ；式展开关于的系数为. 故 .1.5 化归思想化归思想（方法）简称为“化归”化归从字面上理解就是转化和归结的意思，具体地说，就是把繁难、生疏的问题，通过一定的数学过程转化到简易、熟悉的问题上来，从而使原问题得以解决的措施、方法和手段当说“化归思想”时，侧重指化归的意识；当说“化归方法”时，侧重指化归的策略和手段化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一简单熟悉的问题，以便运用一致的理论、方法和技术使问题得以解决事实上，数学证明一般要归纳为某些中间定理上去，只是指出待证问题可以归纳入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成果来证明，实质上也是一种化归过程.例6 解方程.思考与分析 此题如果等价变形为 需要分类讨论，问题比较复杂.如果通过原等式两边平方（非等价变换），解完后再验根，则简单的多.解：等式两边同时平方得化简整理得 ,而=0 无解；由 得 ，解得 经验根知，原方程有解 .1.6 有限与无限思想数学课程标准中指出：“有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，当对有限的研究有了一定的定理、定律，而对于无限的研究，却往往无处着手，于是人们对于无限的研究往往转化为对有限的研究，这也就成了研究无限的必经之路.反之，当积累了无限的经验后，可以利用无限的方法来解决有限的问题，这种有限化无限，无限化有限的解决数学问题的方法叫做有限与无限思想.”考试中心对高考考试大纲的说明中指出：“虽然开始学习的数学都是有限数学，但其中也包含无限成分，只不过没有进行深入的研究.”在学习有关数及其有关运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算，但实际上各数集内的元素个数都是无限的，以上都是无限集.对图形的研究，直线和平面都是可以无限延展的.在解析几何中，双曲线的渐近线已经有极限的思想体现在其中.学习了数列的极限与函数的极限之后，使得中学阶段对于无限的研究又上了一个新的台阶，集中体现了有限与无限的数学思想，使用极限的思想解决数学问题.总之，有限与无限就是这样相互依存.在解题时，如果我们具有无限与有限的数学思想，用有限与无限的数学思想解决问题，这样有些题目就会达到事半功倍的效果. 1.6.1 有限探求无限将无限的问题转为有限的问题，进而通过研究有限来解决无限的问题.例7 证明质数有无穷多个.解：假设质数只有有限个，不妨设有个，设为.现在考虑一个新数，若是质数，则一定是一个与不同的质数，这与质数只有个矛盾;若是合数，则一定有一个质因数，此时能整除，但中的每一个都不能整除，故是不同于的另一个质数，这仍与质数只有个矛盾.故假设不成立，原结论成立.1.6.2 无限探求有限在学习了函数极限，函数的导数之后，我们就可以利用极限的有关定理性质去解决一些有限的问题.例8 设，求证：（1）令，讨论在内的单调性并求极值.（2）当时，恒有解：（1），那么 ，所以，. 故（0,2）2（2，+）F()-0+F()极小值F（2）所以在(0,2)内是减函数，在上是增函数.故在处取得极小值为.（2）因为，则且由（1）可知对于，都有 所以当时，恒有.故 上为单调递增.那么当时，即 所以，当时，恒有1.7 或然与必然的思想我们面临的数学问题，既有必然性的，也有随机性的.对于一个随机现象，有两个基本的特征，一是结果的不确定性，也就是说随机现象的每次实验结果人们无法准确的得知的，这就是偶然；二是随机现象在大量的重复试验后，每个实验结果发生的频率是基本稳定的，这就是必然，这种必然就导致人们对事物的提前预判.中学的必然与或然思想的主要内容有：用或然来估计必然,用必然回答或然,利用整个或然与必然的体系去解决其它的非概率问题. 1.7.1 或然估计必然大家都知道，随机试验中的某一事件A是否发生在实验之前人们是无法预知的，但是大量的试验之后，事件A发生的频率就会稳定在中的某个常数附近，因而可用A 的频率来估计A的概率，这就是利用或然估计必然.例9 为了了解学生的身高状况，某校以10的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高的统计表如表1-1、1-2所示.（1）估计该校男生人数；（2）估计该校身高在170185之间的概率.表1-1 男生身高情况统计表身高/cm160165165170170175175180180185185190人数25141342表1-2女生身高情况统计表身高/cm150155155160160165165170170175175180人数1712631解：(1)样本中男生的人数为40，由于分层抽样的比例是10故可知全校男生人数为人.（2）由统计表可知，样本身高在170185之间的频率为 所以可估计该校学生身高在170185之间的概率.1.7.2 必然回答或然例10 某沿江城市遭遇特大洪水袭击，江面已经开始超出江堤的警戒水位线，若果持续一天不退有可能导致堤毁城亡，后果不堪设想，如果紧急使用泄洪区，则几十千米范围内的居民撤离，庄稼，房屋遭淹，损失也将是巨大的.所以必须对是否使用泄洪区作出决策，如果一天内水位下降小于3cm，就必须引水进入泄洪区.影响水位的因素很复杂，主要有上游流域的降雨量，下游流域的降雨与排涝情况，表1-3、表1-4列出了基本情况. 表1-3上游流域降雨量上游降雨量概率增大0.253不变0.450.5减小0.30-3表1-4下游流域降雨量下游降雨量概率增大0.352不变0.40-1减小0.25-3.5另外，流域几个大型水库若全部开闸吸洪，也能使水位下降2.5cm，请你做出决策.解：上游水位升高的数学期望为：.下游水位升高的数学期望为：.那么使得水位升高的数学期望为.流域几个大型水库若全部开闸吸洪，也能使水位下降2.5cm所以 -0.5+（-2.5）=-3.故可以使得水位下降3cm，所以可以不使用泄洪区.从上面的例子可以看出，对于可能出现的或然现象，利用研究或然问题的必然规律（数学期望等）进行了合理的预测.1.7.3用概率统计知识解决非概率问题（或然思想解决必然问题）根据命题的形式来构造出概率模型，再利用概率论的有关概念、性质、定理等来解决原命题.例11 求证排列组合恒等式证明：利用常规的方法证明较为繁琐，下面利用概率的方法去证明.设 袋中有同样大小的球个，其中1个黑球，个白球现从袋中随机取出个球，令 A=取出的个球中有黑球，则 取出的个球中无黑球. ，即 故.1.8 数学建模思想数学建模就是利用数学的语言来描述实际问题，通过设计数学的方法，利用公理化的数学系统，进而解决数学问题.数学建模使得数学与实际问题连接了起来，使得数学更有活力.例12 在12点时候，时钟的分针与时针重合，其他的时间他们互相形成一角度请说明何时它们再次又重合.解：我们知道分针每小时转弧度，所以分针的角速度为那么小时后分针走过的角度为；而时针每12小时转弧度，所以时针的角速度为，那么小时后时针走过的角度为，因此，他们之间的夹角.所以直到时，即在过时，两针再次重合.数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质反映，是思维加工的产物，是人们对现实世界的空间形式和数量关系的本质的认识.数学思想渗透于中学的教学过程中，学生对数学思想的理解深刻与否在一定程度上影响着其学习数学的激情和兴趣.作为一名教学工作者，要深入钻研教材，将数学思想渗透到教学的各个环节中，使学生的数学思维更开阔，为其今后的学习做好铺垫. 第二章 中学常用的数学方法所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法数学方法即是人们从事数学活动所用的方法数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即严密的逻辑思维性以及结论的确定性；三是普遍的应用性和可操作性数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供定量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具 2.1 数形结合法数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质通过“数”与“形”之间的对应、转化来解决数学问题的思想所谓“数”，就是指数或式，所谓“形”，就是指图形或图像“数”与“形”之间互相依存，对应：“数”是“形”的抽象和概括,“形”是“数”的几何表现；同时，在一定的条件下，它们又可以互相转化：“数”借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和数量关系直接化、形象化、简单化，而“形”的问题经过数量化处理，并借助于计算，可以使较深的问题归结为较容易处理的数量关系来研究 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，是数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围y 图2-1 的函数图像例13 如图2-1，函数的图像是以原点为圆心，1为半径的两段圆弧，求不等式的解集？1解：由图像可得：为奇函数，x1-1则不等式可化为 且-1因为 的图像是以原点为圆心，1为半径的两段圆弧，那么可知： 方程的解为. 由此可知的解集为. 2.2 构造法所谓构造法，就是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为“元件”，用已知的关系式为“支架”，在思维中构造一种新的数学形式，如方程、函数、图形、抽屉等，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使得问题得以解决.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点来采取相应的解决办法.在解题时，若按照定式思维去求解题目比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想来拓宽自己的思维.运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创造思维的手段之一，同时提高学生的解题能力也有所帮助.例14 已知 求证.证明：构造辅助函数 . 而 故在R上为单调递增的指数函数.那么 ，即整理化简后可得 故原结论成立.例15 集合1！，2！，3！，.,24!中删去一个元素后，余下的元素的乘积恰好是一个完全平方数，求这个删去的数是多少？解： = = = = =恰好是一个完全平方数.所以删去的数为.2.3 归纳与演绎推理法归纳是指通过对特例的分析去引出普通的结论.因此，归纳法是由个别的特殊的事例推出同一类事物的一般结论的方法.简而言之，归纳法是由特殊到一般的推理方法.演绎是指从一般原理推出个别结论的逻辑思维方法.其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论,因此，演绎推理是一种必然推理.事实上，在解决数学问题时，归纳与演绎两种思维方法往往交替出现，由归纳法去猜测问题的结论或猜测解决问题的方法，再利用演绎去完成严格的推理证明.例16 设,求满足不等式的整数解组的组数.解：不妨令整数解组的组数为当时，由，有整数解 ；当时，由，有整数解 .类似有 ，归纳 :对于数列 ， ，不难有 .演绎 :对当时 成立.假设当时， 成立；当时 则除了具有 的组数外还增加了 这些组数即 组.故 . 满足原不等式的整数解组组数为.2.4 类比法类比是根据两个（或两类）不同的对象之间在某些方面具有相同或相似之处，猜想它们在其他方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理方法.简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理形式：A具有性质 B 具有性质 B 具有性质 ，这里性质分别于性质 相同或相似.A,B指不同的对象或不同的事物.例17 求函数.解：观察函数与万能公式的结构相同且自变量取值范围与的值域相同 故作三角代换， 则所以，原函数的值域为. 2.5 反证法与同一法 2.5.1 反证法有些命题在顺证法证明的时候不容易或者不可能使用顺证法来证明，往往可以使用反证法.反证法是从否定结论出发，进而进行正确的推理，得出明显的矛盾，于是间接地证明了原来的命题，解决了顺证法不易或不能解决的命题.反证法的理论依据就是互为逆否关系的两个命题是等价命题.反证法证明一个命题，分三步：（1）反设假设待证的结论不成立，也就是肯定原结论的反面；（2）归缪把假设作为题设去证明，通过一系列正确的逻辑推理，最终得出与某些原条件或已有的公理矛盾； （3）结论由所得的矛盾说明原命题成立. 例18 证明：证明：假设原结论不成立 ，即 . 那么 ，整理合并的 即：（矛盾不等式），故原结论成立.2.5.2 同一法同一法是指在证明原命题有困难的情况下，并且符合同一法则的情况下，可以改证与原命题等价的逆命题成立的方法，间接的达到原命题成立的目的.何谓同一法则？即：互逆关系的两个命题不一定等价，若命题的条件与结论所指的对象都是唯一的且其外延相同，那么在此情况下，则互逆关系的两个命题是等价命题，这个法则叫做同一法则. AB C图2-2 三角形ABC具体操作步骤：通常用同一法证明图形具有特性这样的命题，其方法是先做一个具有特性的图形，然后说明图形与为同一图形. 例19 求证三角形两边中点的连线平行于第三边.已知：在三角形中，分别是的中点.EF求证：.证明：过作 交于 为的中点，且.由平行截割定理可知：是的中点 ，又由题设可知 是的中点 那么与是同一点 ，由， .原命题得证.2.6 综合法与分析法 综合法是指从已知条件出发，经过一系列已确定的命题逐步推理，结果或是导出前所未知的命题，或是解决了当前的命题.综合法的要点是由已知条件（包括各方面确定的命题）推出所要证明的结论.分析法是指思考问题时可以由结论向已知条件追朔.也就是说先假设命题的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看成新的结论，再推求使得它们成立的原因，如此逐步向上追朔，直到推出已知的条件或已知的事实为止.简述之，就是执果索因. 例20 证明 .证明：综合 由当时 ；当时 ，所以原不等式左边成立分析 要使得成立得：必须成立.注意到 ， ， 那么现在只需要证明成立即可.又， 由归纳法不难得到 那么可得 .故 即得，所以.数学方法不是个框，什么都可以往里装上述方法只适合某些类型，切不可生搬硬套，应做到具体问题具体分析学习数学的乐趣就在于数学变幻无穷，解数学题能给人精神上的享受，也能让我们体会到成功的快乐教育工作者在日常的教学活动中，将数学方法渗透在教学的各个环节，使学生在学习数学知识之际也能够运用掌握一些数学方法，为其今后的个人发展夯实基础参考文献结束语如果将所有的数学知识比作金字塔的话，那么数学思想方法就处于金字塔的顶端，最低端的数学知识是相当繁琐与复杂的，那么我们学习数学就需要从顶端的思想方法去把握、了解，因此把握数学的思维方式对于学习数学至关重要，但我们如何去培养这种思维方式？这就需要问题，问题是数学的心脏，数学发展史中很多定理，都是通过解决某些数学问题时发现的.在解决数学问题时，实际上就是不断运用数学思维方法的过程，这样我们就在潜移默化的作用下，真正的了解与掌握数学思想方法的本质、核心，更能指导我们去生活，去不断地认识