湖南省张家界市2015-2016学年高一下期末数学试卷（A）含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（ A 卷） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置 1不等式 3x+2 0 的解集是（ ） A（ ， 1） B（ 2， +） C（ ， 1） （ 2， +） D（ 1， 2） 2直线 x= 的倾斜角为（ ） A 0 B C D 3圆 x2+4x=0 的圆心坐标和半径 r 分别为（ ） A圆心（ 2， 0）， r=4 B圆心（ 2， 0）， r=2 C圆心（ 0， 2）， r=4 D圆心（ 0， 2），r=2 4已知一个球的体积为 ，则该球的表面积为（ ） A B 2 C 3 D 4 5若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 =1，则角 C=（ ） A B C D 7下列命题中正确的是（ ） A若直线 l 与平面 平行，则 l 与平 面 内的任意一条直线都没有公共点 B若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 C若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l D如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 8海上两小岛 A， B 到海洋观察站 C 的距离都是 10岛 A 在观察站 C 的北偏东 20，小岛 B 在观察站 C 的南偏东 40，则 A 与 B 的距离是（ ） A 10 C D 20关于空间直角坐标系 O 的一点 P（ 1， 2， 3），有下列说法： 点 P 到坐标原点的距离为 ； 中点坐标为（ ）； 点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为（ 1， 2， 3）； 点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为（ 1， 2， 3）； 点 P 关于坐标平面 称的点的坐标为（ 1， 2， 3） 其中正确的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 10已知等差数列 前 n 项的和为 0， 0，则在数列 绝对值最小的项为（ ） 第 2 页（共 14 页） A 1已知 x ，则函数 y=2x+ 的最大值是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 12若实数 a， b， c 成等差数列，动直线 l： ax+by+c=0 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则使得弦长 |整数的直线 l 共有（ ）条 A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卷中对应题号后的横线上 . 13数列 通项公式为 3 2n，则其前 n 项和 到最大值时， n= 14某几何体的三视图如图所示，则其体积为 15若点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程是 16记 a（ m， n）（ m， n N*）表示从 n 起连续 m（ m 1）个正整数的和 （ 1）则 a（ 2， 3） = ； （ 2）将 2016 写成 a（ m， n）的形式是 （只须写出一种正确结果即可） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知直线 3x+4y 12=0 与直线 y+11=0 互相平行 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）求直线 间的距离 18已知数列 足 =3（ n N*， n 2）， （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 2数列 前 k 项和 45，求 k 的值 19在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 2b （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b=3， 面积为 3 ，求 a 20如图，四边形 正方形， 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求直线 底面 成 角的大小； （ 3）若 ，求四棱锥 B 体积 第 3 页（共 14 页） 21设不等式组 所表示的平面区域为 的整点个数为 n N*），（整点即横、纵坐标均为整数的点） （ 1）计算 值； （ 2）求数列 通项公式 （ 3）记数列 前 n 项和为 ，若对于一切的正整数 n，总有 m，求实数 m 的取 值范围 22已知圆 C：（ x+2） 2+，相互垂直的两条直线 过点 A（ a， 0）， （ 1）当 a=2 时，若圆心为 M（ 1， m）（ m 0）的圆和圆 C 外切且与直线 相切，求圆 M 的方程； （ 2）当 a= 1 时，记 圆 C 所截得的弦长分别为 ： 值； d1+最大值 第 4 页（共 14 页） 2015年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（ A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置 1不等式 3x+2 0 的解集是（ ） A（ ， 1） B（ 2， +） C（ ， 1） （ 2， +） D（ 1， 2） 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 利用一元二次不等式的解法即可得出 【解答】 解：不等式 3x+2 0 可化为（ x 1）（ x 2） 0， 1 x 2 不等式 3x+2 0 的解集是 x|1 x 2 故选 D 2直线 x= 的倾斜角为（ ） A 0 B C D 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 直线 x= 与 x 轴垂直，从而可求得其倾斜角 【解答】 解： 线 x= 与 x 轴垂直， 其倾斜角为 ， 故选： C 3圆 x2+4x=0 的圆心坐标和半径 r 分别为（ ） A圆心（ 2， 0）， r=4 B圆心（ 2， 0）， r=2 C圆心（ 0， 2）， r=4 D圆心（ 0， 2），r=2 【考点】 圆的一般方程 【分析】 把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径 【解答】 解：圆 x2+4x=0 可化为（ x 2） 2+， 圆 x2+4x=0 的圆心坐标和半径分别为（ 2， 0）， 2 故选： B 4已知一个球的体积为 ，则该球的表面积为（ ） A B 2 C 3 D 4 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出球的半径，即可求解取得表面积 第 5 页（共 14 页） 【解答】 解：一个球的体积为 ，则 ，解得取得半径 r=1 得表面积为： 4 故选： D 5若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可 【解答】 解：先根据约束条件画出可行域， 当直线 z=2x+y 过点 A（ 2， 1）时， z 最大是 3， 故选 B 6在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 =1，则角 C=（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由题意可得 a2+c2=根据余弦定理即可求出 【解答】 解：由 =1，得 a（ a+c） +b（ b+c） =（ b+c）（ a+c）， 即 a2+c2= 由余弦定理可得 = ， C= ， 故选： C 7下列命题中正确的是（ ） 第 6 页（共 14 页） A若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 B若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 C若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l D如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 A 用反证法易 知命题正确； B 直线 l 与平面 内的任意一条直线无公共点时，两直线的位置关系是平行或异面； C 直线与平面相交时，有无数个点不在平面内； D 两条平行线中的一条与一个平面平行，另一条与这个平面平行或在平面内 【解答】 解：对于 A，用反证法易知，直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点，命题正确； 对于 B，若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线无公共点， 所以 l 与平面 内的任一条直线有两种位置关系：平行或异面， B 错误； 对于 C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内， 所以命题错误； 对于 D，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在平面内，所以命题错误 故选： A 8海上两小岛 A， B 到海洋观察站 C 的距离都是 10岛 A 在观察站 C 的北偏东 20，小岛 B 在观察站 C 的南偏东 40，则 A 与 B 的距离是（ ） A 10 C D 20考点】 解三角形的实际应用 【分析】 根据题意画出图形，找出 度数，以及 长，在三角形 ，利用余弦定理即可求出 长 【解答】 解：根据题意画出图形，得出 80 20 40=120， C=10 在 ，利用余弦定理得： 2C00+100 2 10 10 （ ） =300， 则 =10 故选： C 9关于空间直角坐标系 O 的一点 P（ 1， 2， 3），有下列说法： 点 P 到坐标原点的距离为 ； 中点坐标为（ ）； 点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为（ 1， 2， 3）； 点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为（ 1， 2， 3）； 点 P 关于坐标平面 称的点的坐标为（ 1， 2， 3） 第 7 页（共 14 页） 其中正确的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 空间中的点的坐标 【分析】 由点 P 到坐标原点的距离求出 错误；由中点坐标公式得 正确；由对称的性质得与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为（ 1， 2， 3），与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为（ 1， 2， 3），与点 P 关于坐标平面 称的点的坐标为（ 1， 2， 3） 【解答】 解：由空间直角坐标系 O 的一点 P（ 1， 2， 3），知： 在 中，点 P 到坐标原点的距离为 d= = ，故 错误； 在 中 ，由中点坐标公式得， 中点坐标为（ ， 1， ），故 正确； 在 中，由对称的性质得与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为（ 1， 2， 3），故 不正确； 在 中，由对称的性质得与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为（ 1， 2， 3），故 错误； 在 中，由对称的性质得与点 P 关于坐标平面 称的点的坐标为（ 1， 2， 3），故 正确 故选： A 10已知等差数列 前 n 项的和为 0， 0，则在数列 绝对值最小的项为（ ） A 考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由 0，得 0，由 ，得 a8+0，由此能求出在数列 绝对值最小的项 【解答】 解： 等差数列 前 n 项的和为 0， 0， = 0， 0， ， a8+0， 0， 数列 减列，且 0 ， a8+0， | | 在数列 绝对值最小的项为 故选： B 11已知 x ，则函数 y=2x+ 的最大值是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 将函数解析式变形，凑出乘积为定值，变量为正数；利用基本不等式，验证等号能否取得，求出最大值 【解答】 解： y=2x+ = （ 1 2x） + +1， 第 8 页（共 14 页） 由 x 可得 1 2x 0， 根据基本不等式可得（ 1 2x） + 2， 当且仅当 1 2x= 即 x=0 时取等号， 则 1 故选 C 12若实数 a， b， c 成等差数列，动直线 l： ax+by+c=0 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则使得弦长 |整数的直线 l 共有（ ）条 A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据题意，利用等差数列的定义求出直线 l 恒过定点（ 1， 2），画出图形，讨论弦长 |取值范围，从而求出满足条件的直线条数 【解答】 解：实数 a， b， c 成等差数列，所以 2b=a+c， 所以直线 l： ax+by+c=0 恒过定点 P（ 1， 2）； 当直线 1 与 直时，圆心 O 到定点 P 的距离 d= ， 弦长 |2 =4，满足题意，此时直线有 1 条； 当直线 1 过圆心 O 时，弦长 |2r=6，满足题意，此时直线有 1 条； 当弦长 |5 时，对应的直线应有 2 条，如图所示； 综上，直线 l 被圆 x2+ 所截得弦长为整数时， 对应的直线 l 有 4 条 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卷中对应题号后的横线上 . 13数列 通项公式为 3 2n，则其前 n 项和 到最大值时， n= 6 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由 3 2n 0，得 n 此能求出前 n 项和 到最大值时 n 的值 【解答】 解： 数列 通项公式为 3 2n， 由 3 2n 0，得 n 第 9 页（共 14 页） 3 12=1， 3 14= 1， 前 n 项和 到最大值时， n=6 故答案为： 6 14某几何体的三视图如图所示，则其体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积 【解答】 解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2 所以体积 故答案为： 15若 点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程是 x y 3=0 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 求出圆心 C 的坐标，得到 斜率，利用中垂线的性质求得直线 斜率，点斜式写出 方程，并化为一般式 【解答】 解：圆（ x 1） 2+5 的圆心 C（ 1， 0），点 P（ 2， 1）为 弦 中点， 1， 直线 斜率为 1，点斜式写出直线 方程 y+1=1 （ x 2），即 x y 3=0， 故 答案为： x y 3=0 16记 a（ m， n）（ m， n N*）表示从 n 起连续 m（ m 1）个正整数的和 （ 1）则 a（ 2， 3） = 7 ； （ 2）将 2016 写成 a（ m， n）的形式是 （ 3， 671） （只须写出一种正确结果即可） 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 （ 1）由 a（ m， n）（ m， n N*）表示从 n 起连续 m（ m 1）个正整数的和，能求出 a（ 2， 3） （ 2）由 2016=671+672+673，能求出结果 【解答】 解：（ 1） a（ m， n）（ m， n N*）表示从 n 起连续 m（ m 1）个正整数的和， a（ 2， 3） =3+4=7 故答案为： 7 （ 2） a（ m， n）（ m， n N*）表示从 n 起连续 m（ m 1）个正整数的和， 第 10 页（共 14 页） 2016=671+672+673=a（ 3， 671） 故答案为： a（ 3， 671） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知直线 3x+4y 12=0 与直线 y+11=0 互相平行 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）求直线 间的距离 【考点】 两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ 1）通过直线的平行得到 4a 24=0，求出 a； （ 2）利用两条平行线之间的距离公式求解即可 【解答】 解：（ 1） 直线 3x+4y 12=0 与直线 y+11=0 互相平行， 4a 24=0，得 a=6 （ 2）直线 6x+8y 24=0 与直线 y+11=0 之间的距离 18已知数列 足 =3（ n N*， n 2）， （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 2数列 前 k 项和 45，求 k 的值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 数列 足 =3（ n N*， n 2）， 数列 公比为 3 的等比数列， =9 3n 4=3n 2 （ 2） 2 2（ n 2） =5 2n 数列 前 k 项和 = 45，化为 4k 45=0 k N* 解得 k=9 19在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 2b （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b=3， 面积为 3 ，求 a 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知及正弦定理可得 2合 B 为锐角可求 ，结合 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解 A 的值 （ 2）由三角形面积公式可求 c，利用余弦定理即可求 a 的值 【解答】 解：（ 1） ， B 为锐角， 0， 第 11 页（共 14 页） ， 由于 A 为锐角， （ 2）由 ，得 c=4 由余弦定理得： +16 12=13， 20如图，四边形 正方形， 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求直线 底面 成角的大小； （ 3）若 ，求四棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 【分析】 （ 1）设 交点为 O，取 中点 F，连接 明： 平行四边形，可得 用线面平行的判定定理证明 平面 （ 2）由 平面 得 平面 成的角，即可求直线 底面 成角的大小； （ 3）利用锥体的体积公式求四棱锥 B 体积 【解答】 （ 1）证明：设 交点为 O，取 中点 F，连接 ， C， 平行四边形 从而 故 面 （ 2）解： 平面 平面 成的角 （ 3）解： 面 第 12 页（共 14 页） 21设不等式组 所表示的平面区域为 的整点个数为 n N*），（整点即横、