广东省东莞市2015-2016学年高二下期末数学理科试卷(A)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑 1复数 z=i2+i 的实部与虚部分别是（ ） A 1， 1 B 1， 1 C 1， 1 D 1， 1 2对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析，得到一组样本数据（ （ x2，（ 则下列说法中不正确的是（ ） A若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =，则 y 与 x 具有正相关关系 B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适 D用相关指数 刻画回归效果， 小说明拟合效果越好 3向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ） A “若 ac=c 0），则 a=b”类比推出 “若 = （ ），则 = ” B “在实数中有（ a+b） c=ac+比推出 “在向量中（ + ） = + ” C “在实数中有（ c=a（ ”类比推出 “在向量中（ ） = （ ） ” D “若 ，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 =0，则 = 或 = ” 4用反证法证明命题： “已知 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A方程 x2+ax+b=0 没有实根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 5已知随机变量 服从正态分布 N（ 5， 9），若 p（ c+2） =p（ c 2），则 c 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+估计当 x=6 时 y 的值为（ ） A 若弹簧所受的力 x 1 与伸缩的距离按胡克定律 F=k 为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩 10在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 8，则克服弹力所做的功为（ ） A 若（ 3x+ ） n（ n N*）的展开式中各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若 P+S=272，则函数 f（ x） =（ 3x+ ） n 在（ 0， +）上的最小值为（ ） A 144 B 256 C 24 D 64 9若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 10经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取 10 件，设取得合格产品的件数为，则 P（ =k）取得最大值时 k 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 11已知函数 f（ x） = 在点（ 1， 2）处的切线与 f（ x）的图象有三个公共点，则 b 的取值范围是（ ） A 8， 4+2 ） B（ 4 2 ， 4+2 ） C（ 4+2 ， 8 D（ 42 ， 8 12设函数 f（ x） = ax+a，若存在唯一的整数 得 f（ 1，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2 B（ 1， C（ 1， D（ 1， 2） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卡中相应的位置上 13用 0， 2， 4， 8 这四个数字能组成 _个没有重复数字的四位数 14已知函数 f（ x） =3x x=a 时 f（ x）取得极大值为 b，则 a b 的值为 _ 15设 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =8 则（ ） m+4 展开式中常数项为 _ 16传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图 所示的三角形数： 将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 可以推测： （ 1） _； （ 2） 1=_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17复数 z=（ 1 i） 3a+2+i（ a R）， （ 1）若 z= ，求 |z|； （ 2）若在复平面内复数 z 对 应的点在第一象限，求 a 的范围 18某市教育局委托调查机构对本市中小学使用 “微课掌上通 ”满意度情况进行调查随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查，调查情况如表： 评分等级 第 3 页（共 17 页） 小学 2 7 9 20 12 中学 x y 18 12 8 （备注： “ ”表示评分等级的星级，如 “ ”表示 3 星级） （ 1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x， y 的值； （ 2）规定：评 分等级在 4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其它星级为不满意完成下列2 2 列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过 前提下认为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校类型有关系？ 学校类型 满意 不满意 总计 小学 50 中学 50 总计 100 注意：请将答案填入答题卡中的表格 19 “莞马 ”活动中的 机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20 件该产品，其中合格产品有 15 件，不合格的产品有 5 件 （ 1）现从这 20 件产品中任意抽取 2 件，记不合格的产品数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （ 2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记 为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求 的分布列及数学期望 20已知 f（ x） =， a R （ 1）若函数 f（ x）在 x=1 处有极值，求实数 a 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间（ 0， +）内单调递增，求实数 a 的取值范围 21已知 f（ x） =x+1） （ a R） （ 1）求证： a 1 且 x 0 时， f（ x） 0 恒成立； （ 2）设正项数列 足 ， an=1+1）（ n 2），求证： （ n N*） 22设 f（ x） =g（ x） =（ a R， k R）， e 为自然对数的底数 （ 1）若 a=1 时，直线 y=g（ x）与曲线 y=f（ x）相切（ f（ x）为 f（ x）的导函数），求 k 的值； （ 2）设 h（ x） =f（ x） g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0， 1）内有零点，求 第 4 页（共 17 页） 2015年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑 1复数 z=i2+i 的实部与虚部分别是（ ） A 1， 1 B 1， 1 C 1， 1 D 1， 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可 【解答】 解：复数 z=i2+i= 1+i 复数的实部与虚部分别是： 1； 1 故选： A 2对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析，得到一组样本数据（ （ x2，（ 则下列说法中不正确的是（ ） A若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =，则 y 与 x 具有正相关关系 B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适 D用相关指数 刻画回归效果， 小说明拟合效果 越好 【考点】 线性回归方程 【分析】 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好 【解答】 解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =， b=0，则 y 与 确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确； 可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较 合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高故正确； 相关指数 值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确 故选： D 3向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ） A “若 ac=c 0），则 a=b”类比推出 “若 = （ ），则 = ” B “在实数中有（ a+b） c=ac+比推出 “在向量中（ + ） = + ” C “在实数中有（ c=a（ ”类比推出 “在向量中（ ） = （ ） ” D “若 ，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 =0，则 = 或 = ” 【考点】 类 比推理 【分析】 对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：由条件，得出（ ） =0， 第 5 页（共 17 页） （ ）与 垂直，则 = ，不一定成立，故 A 不正确； 向量的乘法满足分配律，故 B 正确； 在向量中（ ） 与 共线， （ ）与 共线，故 C 不正确； 若 =0，则 ， = 或 = 不一定成立，故 D 不正确 故选： B 4用反证法证明命题： “已知 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A方程 x2+ax+b=0 没有实根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 直接利用命题的否定写出假设即可 【解答】 解：反证法证明问题时，反 设实际是命题的否定， 用反证法证明命题 “设 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是：方程 x2+ax+b=0 没有实根 故选： A 5已知随机变量 服从正态分布 N（ 5， 9），若 p（ c+2） =p（ c 2），则 c 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 随机变量 服从正态分布 N（ 5， 9），得到曲线关于 x=5 对称，根据 P（ c+2）=P（ c 2），结合曲线的对称性得到点 c+2 与点 c 2 关于点 5 对称的，从 而解出常数 【解答】 解：随机变量 服从正态分布 N（ 5， 9）， 曲线关于 x=5 对称， P（ c+2） =P（ c 2）， c+2+c 2=10， c=5， 故选： B 6已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+估计当 x=6 时 y 的值为（ ） A 考点】 线性回归方程 【分析】 求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于 b 的方程，解方程即可求出 b，从而估计当 x=6 时 y 的值 【解答】 解： =3， =5， 这组数据的样本中心点是（ 3， 5） 把样本中心点代入回归直线方程 = x+ 6 页（共 17 页） 5=3 + = 当 x=6 时 y=9+ 故选： C 7若弹簧所受的力 x 1 与伸缩的距离按胡克定律 F=k 为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩 10在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 8，则克服弹力所做的功为（ ） A 考点】 平面向量数量积的运算 【分 析】 先求出 F（ x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出 【解答】 解： F=10N， x=10 k=100， W= 1000= 故选： D 8若（ 3x+ ） n（ n N*）的展开式中各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若 P+S=272，则函数 f（ x） =（ 3x+ ） n 在（ 0， +）上的最小值为（ ） A 144 B 256 C 24 D 64 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由题意求得 S 和 P 的值，根据 P+S=272 求得 n 的值，再利用基本不等式求得函数f（ x）的最小值 【解答】 解：由题意可得 P=4n， S=2n， P+S=4n+2n=272，解得 2n=16， n=4， 在（ 0， +）上， 函数 f（ x） =（ 3x+ ） n=（ 3x+ ） 4 =144，当且仅当 x= 时，等号成立， 故函数 f（ x） =（ 3x+ ） n 在（ 0， +）上的最小值为 144， 故选： A 9若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率 【解答】 解： 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相， 基本事件总数 n=20， 任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数 m=44， 第 7 页（共 17 页） 任何两个学生都互不相邻的概率 P= = 故选： C 10经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取 10 件，设取得合格产品的件数为，则 P（ =k）取得最大值时 k 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 随机变量 B（ 10， ）， P（ =k） = ，由式子的意义知：概率最大也就是 最可能的取值这和期望的意义接近，由此能求出 p（ =k）取最大值时 【解答】 解：由题意，随机变量 B（ 10， ）， P（ =k） = ， 由式子的意义知：概率最大也就是 最可能的取值这和期望的意义接近 0 = k=7 或 8 可能是极值， P（ =7） = = ， P（ =8） = = P（ =k）取最大值时 k 的值是 7 故选： B 11已知函数 f（ x） = 在点（ 1， 2）处的切线与 f（ x）的图象有三个公共点，则 b 的取值范围是（ ） A 8， 4+2 ） B（ 4 2 ， 4+2 ） C（ 4+2 ， 8 D（ 42 ， 8 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先利用 导数研究在点（ 1， 2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着 b 减小时，半圆向下移动，当点 A（ 4， b）落在切线上时，在点（ 1， 2）处的切线与 f（ x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线 f（ x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） =， 则 f（ x） =2x， f（ 1） =2 1=2， 则在点（ 1， 2）处的切线方程为 y=2x， 当 x 0 时， y=f（ x） = +b， 第 8 页（共 17 页） 即（ x+2） 2+（ y b） 2=4（ y b） 作出函数图象如右图 随着 b 减小时，半圆向下移动，当点 A（ 4， b）落在切线上时，在点（ 1， 2）处的切线与f（ x）的图象有三个公共点，即 b=2 （ 4） = 8， 再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线 f（ x）的图象有三个公共点，相切时与 f（ x）的图象有两个交点 即 =2，解得 b= 4 2 8 b 的取值范围是（ 4 2 ， 8 故选 ： D 12设函数 f（ x） = ax+a，若存在唯一的整数 得 f（ 1，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2 B（ 1， C（ 1， D（ 1， 2） 【考点】 特称命题 【分析】 把存在唯一的整数 得 f（ 1，转化为存在唯一的整数 得，即 令 g（ x） = ， h（ x） =a+1，求得分析 g（ x）的单调性，作 g（ x） = ， h（ x） =a+1 的图象，数形结合得到 ，则答案可求 【解答】 解： f（ x） = ax+a，若存在唯一的 整数 得 f（ 1， 第 9 页（共 17 页） 即存在唯一的整数 得 ，也就是存在唯一的整数 得 令 g（ x） = ， h（ x） =a+1， g（ x） = ， g（ x） = 在（ ， 1上是增函数，在（ 1， +）上是减函数， 又 h（ x） =a+1 是恒过点（ 1， 1）的直线， 作 g（ x） = ， h（ x） =a+1 的图象如下， 则 ，即 1 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卡中相应的位置上 13用 0， 2， 4， 8 这四个数字能组成 18 个没有重复数字的四位数 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 特殊元素优先安排， 0 不能在首位，先排 0，再排其它，根据分步计数原理可得 【解答】 解：因为首位不能为 0，从 2， 4， 8 中选一个排在首位有 3 种方法， 其它位置任意排，故有 38 个， 故答案为： 18 14已知函数 f（ x） =3x x=a 时 f（ x）取得极大值为 b，则 a b 的值为 1 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求导数得到 f（ x） =3 3据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数 f（ x）的极大值点和极大值，从而求出 a b 的值 【解答】 解： f（ x） =3 3 第 10 页（共 17 页） x 1 时， f（ x） 0， 1 x 1 时， f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0； x=1 时， f（ x）取得极大值 2； 即 a=1， b=2； a b= 1 故答案为： 1 15设 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =8 则（ ） m+4 展开式中常数项为 15 【考点】 二项式系数的性质；函数的值；定积分 【分析】 利用分段函数的意义可得 f（ 1），再利用微积分基本定理解得 m再利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】 解： f（ 1） =， f（ f（ 1） =f（ 0） =0+ 3=0， ，解得 m=2 的展开式的通项公式： = =（ 1） r 3r， 令 12 3r=0，解得 r=4 （ ） m+4 展开式中常数项 = = =15 故答案为： 15 16传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 将可被 5 整除的 三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 可以推测： （ 1） 105 ； （ 2） 1= 【考点】 归纳推理 【分析】 （ 1）由题设条件及图可得出 = n+1），由此递推式可以得出数列 通项为， n（ n+1），由此可列举出三角形数 1， 3， 6， 10， 15， 21， 28， 36， 45， 55， 66，78， 91， 105， 120， ，从而可归纳出可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被 5 整除，由此规律即可求出 （ 2）由（ 1）中的结论即可得出 1 （ 5n 1）（ 5n 1+1） 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解：（ 1）由题设条件可以归纳出 = n+1）， 故 1） +（ 1 2） +（ +a1=n+（ n 1） +2+1= n（ n+1） 由此知，三角数依次为 1， 3， 6， 10， 15， 21， 28， 36， 45， 55， 66， 78， 91， 105， 120， 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被 5 整除， 05； （ 2）由于 2n 1 是奇数，由（ I）知，第 2n 1 个被 5 整除的数出现在第 n 组倒数第二个， 故它是数列 的第 n 5 1=5n 1 项， 所以 1 （ 5n 1）（ 5n 1+1） = 故答案为： 105； 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17复数 z=（ 1 i） 3a+2+i（ a R）， （ 1）若 z= ，求 |z|； （ 2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求 a 的范围 【考点】 复数求模；复数的基本概念 【分析】 （ 1）根据 z= ，确定方程即可 求 |z|； （ 2）利用复数的几何意义，即可得到结论 【解答】 解 z=（ 1 i） 3a+2+i=3a+2+（ 1 i， （ 1）由 知， 1 ，故 a= 1 当 a=1 时， z=0； 当 a= 1 时， z=6 （ 2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于 0， 即 ， 即 ， 所以 1 a 1 18某市教育局委托调查机构对本市中小学使 用 “微课掌上通 ”满意度情况进行调查随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查，调查情况如表： 评分等级 小学 2 7 9 20 12 中学 x y 18 12 8 （备注： “ ”表示评分等级的星级，如 “ ”表示 3 星级） （ 1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x， y 的值； 第 12 页（共 17 页） （ 2）规定：评分等级在 4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其它星级为不满意完成下列2 2 列 联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过 前提下认为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校类型有关系？ 学校类型 满意 不满意 总计 小学 50 中学 50 总计 100 注意：请将答案填入答题卡中的表格 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由古典概型公式，分别求得评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校总事件个数 m 及恰有一所学校是中学的事件个数 n， P= = ，代入即 可求得 x 和 y 的值； （ 2）根据所给数据，可得 2 2 列联表，求出 临界值比较，前提下认为使用满意与学校类型有关系 【解答】 解：（ 1）因为从 1 星级的 2+x 的学校中随机选取 2 所学校， 共有 = 种结果， ； 其中恰有 1 所学校是中学的共有 种结果， ； 故 = 解得： x=3， ； 所以 y=50 3 18 12 8=9； （ 2）完成列 2 2 列联表： 学校类型 满意 不满意 总计 小学 32 18 50 中学 20 30 50 总计 52 48 100 ； 经计算 观测值： ； 所以在犯错误的概率不超过 前提下认为使用满意与学校类型有关系 ； 19 “莞马 ”活动中的 机器人一度成为新闻热点，为检测 其质量，从一生产流水线上抽取20 件该产品，其中合格产品有 15 件，不合格的产品有 5 件 （ 1）现从这 20 件产品中任意抽取 2 件，记不合格的产品数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （ 2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记 为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）随机变量 X 的可能取值为 0， 1， 2，求出相应的概率，可求 X 的分布列及数学期望； 第 13 页（共 17 页） （ 2）合格机器人的件数可能是 0， 1， 2， 3，相应的不合格 机器人的件数为 3， 2， 1， 0所以 的可能取值为 1， 3，求出相应的概率，可求 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ 1）随机变量 X 的可能取值为 0， 1， 2 ； P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P ； E（ X） =0 +1 +2 = ； （ 2）合格机器人的件数可能是 0， 1， 2， 3，相应的不合格机器人的件数为 3， 2， 1， 0 所以 的可能取值为 1， 3 ； 由题意知： ； P（ =3） = + = ； 所以随机变量 的分布列为： 1 3 P ； ； 20已知 f（ x） =， a R （ 1）若函数 f（ x）在 x=1 处有极值，求实数 a 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间（ 0， +）内单调递增，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单 调性 【分析】 （ 1）求导数得到 ，根据 f（ x）在 x=1 处有极值便可得到 f（ 1）=0，从而可求出 a 的值，并可验证该值成立； （ 2）根据 f（ x）在区间（ 0， +）内单调递增便可得出 f（ x） 0 恒成立，进而得出 2 0 在（ 0， +）上恒成立，这样讨论 a 的值： a 0， a=0，和 a 0 这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数 a 的取值范围 第 14 页（共 17 页） 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， ； f（ x）在 x=1 处有极值， f（ 1） =1+2a a=0； 解得： a= 1； 此时 ； 当 0 x 1 时 f（ x） 0，当 x 1 时 f（ x） 0，符合题意； 实数 a 的值为 1； （ 2） 函数 f（ x）在区间（ 0， +）内单调递增； 在（ 0， +）恒成立； 即 2 0 在（ 0， +）恒成立； 当 a 0 时，显然不符合题意； 当 a=0 时， 1 0 恒成立，符合题意； 当 a 0 时，要使 恒成立； 需 ，解得 0 a 8； 综上可知实数 a 的取值范围是 0， 8 21已知 f（ x） =x+1） （ a R） （ 1）求证： a 1 且 x 0 时， f（ x） 0 恒成立； （ 2）设正项数列 足 ， an=1+1）（ n 2），求证： （ n N*） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论； （ 2） a=1 时， 在 0， +）内恒成立， 在 0， 3）内恒成立，由 及 an=1+1）（ n 2）知 0 1，根据数学归纳法证明即可 【解答】 证明：（ 1） ； 当 a 1， x 0 时， f（ x） 0 恒成立 ； 此时函数 f（ x）在（ 0， +）内单调递增 ； 所以 f（ x） f（ 0） =0，得证 ； （ 2）由（ 1）可知 a=1 时， 在 0， +）内恒成立 ； 同理可证： 在 0， 3）内 恒成立 ； 由 及 an=1+1）（ n 2）知 0 1 下面用数学归纳法证明： 第 15 页（共 17 页） 当 n=1 时， ，结论成立 ； 设当 n=k 时结论成立，即 那么当 n=k+1 时， 即当 n=k+1 时有 ，结论成立， 由此可知对任意 n N*结论都成立，原不等式得证 22设 f（ x） =g（ x） =（ a R， k R）， e 为自然