2017年全国高考数学考前复习大串讲专题3.5高考预测卷（三）理(含答案)

第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 集合 ,集合 ,所以 ,选 B. 2. 若 ， 为虚数单位，则 “ ” 是 “ 复数 为纯虚数 ” 的（ ） A. 充要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】 C 【解析】 当 时 ,复数 为纯虚数 ,当复数为纯虚数时 , 或 ,所以选 C. 3. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的前 11 项和为（ ） A. 256 B. C. D. 【答案】 C 4. 在区间 上随机取两个数，则这两个数之和小于 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图 ,在区间 上随机取两个数为 ,则 ,围成的是边长为 1 的正方形 , 表示的区域的图形是图中的阴影部分 ,利用几何概型概率公式 , 则 P(两个数之和小于 ) . 点睛 :本题主要考查用几何概型求概率 ,属于易错题 . 解题方法 : 求解几何概型问题常用数形结合法 ,通常先依据题设条件作出满足题意的几何图形 ,然后根据度量方式和度量公式来求解几何概型的概率 . 5. 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 考点： 1、程序框图 . 6. 设实数 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ,而,所以 , ,所以 ,选 C. 7. 如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆 2 个，一堆 3 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】 B 8. 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由该四棱锥的三视图画出直观图 ,如图 ,底边边长分别为 的矩形 ,侧棱长分别为,故表面积为 ,选 D. 点睛 : 本题主要考查了由三视图求该几何体的表面积 , 属于中档题 . 技巧 :本题将该四棱锥补成一个长为 2,宽为 1,高为 2 的长方体 , 这样在计算该四棱锥的底边长和侧棱长要容易些 9. 若函数 在区间 上有且只有两个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 考点：三角函数的图象和性质 【易错点晴】本题是以极值点的个数为背景给出的一道求范围问题的问题 这是解答本题的一个误区之一 ,这样做可能会一无所获 本题的解题思路仍然难以探寻 ,其实只要注意到本题是选择题可以运用选择的求解方法之一排除法 逐一验证排除 ,最终获得了答案 ,这样求解不仅简捷明快而且独辟问题解答跂径 . 10. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：函数在 单调递增恒成立，即 恒成立，所以 . 考点：导数与单调区间 . 【思路点晴】函数 在 单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到 恒成立，即恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而 ，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有 种是分离参数法，另一种是直接 用二次函数或者导数来讨论 . 11. 设 分别是双曲线 : ( )的左，右焦点， 是 的右支上的点，射线 平分，过原点 作 的平行线交 于点 ，若 ，则 的离心率等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】 A 考点：双曲线的简单性质 【方法点睛】 1应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即 “到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离 ”若定义中的 “绝对值 ”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用 2求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a， b， c 的关系易错易混 12. 在菱形 中， ， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角的大小为 ，三棱锥 的外接球球心为 ， 的中点为 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】 B 【解析】 因为在菱形 中， 的中点为 ,所以 ,则 ,所以 为二面角 的平面角 , ,由于 ,所以 为等边三角形 ,若 外接圆的圆心为 ,则 平面 ,在等边 中 , ,可以证明 ,所以 ,又 ,所以 ,在中 , ,选 B. 点睛 : 本题主要考查了四棱锥的外接球问题 , 属于中档题 . 本题思路 : 由二面角的定义求出,确定 外接圆的圆心位置 ,由球的截面圆的性质得到 平面 ,利用,求出 的长度 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若二项式 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 _ 【答案】 15 【解析】 第 4项二项式系数为 最大 ,所以 ,展开式通项 ,令 ,所以常数项为 . 14. 函数 是定义域为 的奇函数，则 _ 【答案】 15. 已知数列 的前 项和为 ，若函数 在最大值为 ，且满足，则数列 的前 2017 项之积 _ 【答案】 2 【解析】 函数 最大值为 , 由, 有 ,所以 ,故数列是周期为 3 的数列 ,且 ,则数列 的前 2017 项之积 . 16. 在 中， ， 为外心，且有 ，则 的取值范围是 _ 【答案】 点睛 : 本题主要考查了向量知识的运用，属于中档题 . 本题思路 : 由于 是 外接圆的圆心 , 得出 ,再将已知的向量式平方求得 ,再利用基本不等式的变形求出,还要注意限制条件 . 考查学生分析解决问题的能力 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 四边形 如图所示，已知 ， . （ 1）求 的值； （ 2）记 与 的面积分别是 与 ，求 的最大值 . 【答案】 （ 1） ;（ 2） 14. 【解析】 试题分析 : (1)在 中 ,分别用余弦定理 ,列出等式 ,得出 的值 ; (2)分别求出 的表达式 ,利用 (1)的结果 ,得到 是关于 的二次函数 ,利用三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ,求出 的范围 ,由 的范围求出 的范围 ,再求出的最大值 . 18. 为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 / 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值 . （ 1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根据以下不等式进行评判（ 表示相应事件的概率）； ； ； 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 的性能等级 . （ 2）将直径小于等于 或直径大于 的零件认为是次品 . 从设备 的生产流水线上随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望 ； 从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望 . 【答案】 （ 1）丙级别；（ 2）（ i） ;（ . 考点：线性相关系数及数学期望等知识的综合运用 19. 如图 ,在多面体 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，四边形 是矩形，平面 平面 . （ 1）在图中画出过点 的平面 ，使得 平面 （必须说明画法，不需证明）； （ 2）若二面角 是 ，求 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】 （ 1）见解析 ;（ 2） . 【解析】 试题分析 : (1)利用面面平行的判定定理作出平面 ;(2)以 为原点 , 所在的直线分别为 轴 ,轴 ,轴 ,建立空间直角坐标系 ,方法一是设 ,写出各点坐标 ,将 与平面 的角转化为 与平面 的角 ,由面 与面 所成的角为 ,求出 ,再求出 与平面 所成的角 出各点坐标 ,设平面 的法向量 ,由 ,求出 的一个坐标 ,再根据已知二面角 ,求出 ,再求出 与平面 所成的角 . 试题解析 :（ 1）如图所示，分别取 的中点 ，连接 ，四边形 所确定的平面为平面 . （ 2）取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 四边形 为矩形， 分别为 的中点， . 因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 菱形，即 . 以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系 . 方法二：设 ，则 ， ， ，所以， . 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，由 平面 ，得平面 的法向量为 ，则 ，所以 ， . 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 如图，过椭圆 ： 的左右焦点 分别作直线 ， 交椭圆于 与 ，且 . （ 1）求证：当直线 的斜率 与直线 的斜率 都存在时， 为定值； （ 2）求四边形 面积的最大值 . 【答案】 （ 1）见解析 ;（ 2） . 试题解析 : （ 1）设 , ,根据对称性，有 ，因为 , 都在椭圆 上，所以 ， ，二式相减得， ，所以为定值 . 点睛 : 本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识 ,考查学生分析问题解决问题的能力 ,属于中档题 在 (1)中 ,采用设而不求 ;在 (2)中 , 设直线 的方程 比 好 ,因为联立直线与椭圆方程计算量减少 ,还有 ,由韦达定理可求出 积最大值时 ,将 看成一个整体 ,利用基本不等式求出最大值 . 21. 已知函数 的两个零点为 . （ 1）求实数 的取值范围； （ 2）求证： . 【答案】 （ 1） ;（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析 : (1)方法一的思路是 :求出函数 的最大值 ,有两个零点 ,再最大值一定大于零 ,求出实数 的范围 (2)采用综合法和分析法证明不等式 ,利用单调性求出 的范围 ,构造函数 ,证明 在上为增函数 , ,化简 ,得证 . 试题解析 :（ 1）方法一： ， 时， ， 在 上单调递增，不可能有两个零点 . 时，由 可解得 ，由 可解得 . 在 上单调递减，在 上单调递增，于是 . 要使得 在 上有两个零点，则 ，解得 ，即 的取值范围为 . 方法二： ，可转化为函数 与函数 图象有两个交点 . ， 当 时， ； 时， 上单调递增，在 上单调递减 . . ，即 的取值范围为 . 点睛 : 本题主要考查函数的导数的综合应用 ,函数的单调性与零点 ,构造法的应用 ,考查学生分析问题解决问题的能力 ,难度比较大 . 请考生在 22、 23 两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的方程是 ，