岩土工程：常用数学地质方法.pdfVIP

!“ 常用数学地质方法 !“#数据分析 !“#“#数据的统计整理 在工程地质和岩土工程勘察中，通过室内试验和原位测试，可以获得大量的数 据资料，但这些数据通常是分散的、波动的。从这些数据中找出规律性，提出具有 工程意义的特征值，为设计提供可靠的依据。这就是数据统计分析的目的。 !“#“#“#数据的特性 土工试验测得某一土层的孔隙比的数据如表 # $ ! $ #。 孔隙比试验数据表 # $ ! $ # %“!%“&#“%#%“&(%“!%“&(%“&!%“)!#“%&%“*% %“&+%“*!#“#%#“%“*)%“*%“!#%“!+%“&!%“*( %“!&%“*+%“&%“!,%“*%“&*#“%!%“)*%“&%“&( %“)!%“*,%“!+%“*+%“*(#“%“&*#“%(%“*%“&+ %“*+#“%)%“!%#“#%“&%“&%“!,%“*#%“&)%“*& %“)!%“&#%“!&%“)%“*%“&(#“%+%“!%“&%“!+ %“*,%“!&%“*&%“&*%“&*%“)!#“#)%“&!%“*(%“)& %“&+#“%)#“%!%“*%“*)%“*&%“&%“*#%“*#%“)! %“&,%“&)#“%“!,%“*)%“&%“&%“!)%“&#%“!% %“)*%“*%“*,%“!*%“&%“*)%“*%“!)#“%#“%* 上述数据中有以下特性： #“ 离散性：在同样试验条件下测得的孔隙比数据表现出波动。 (“ 规律性：数据虽有波动，但并不是杂乱无章的，而是有一定的规律性。它 们在 %“) - #“#) 之间，而且主要集中在 %“*( - %“& 之间。如果在同一土层中采取 土试样在同样试验条件下测得孔隙比将会发现其波动的范围与前一批数据非常接 近，而且落在任一区间内的数目在该批数据中的比例将是随着试验的重复而趋近于 ,*# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 岩土工程新技术实用全书 一个比较稳定的值。这个趋于稳定的比例值就叫试验数据落在该区间内的概率。 !“#“#“$数据的统计图示和分布曲线 常用的统计图示是直方图，有频数分布直方图（图 # % ! % #!）和相对频数 （频率）分布直方图（如图 # % ! % #“） 。 图 # % ! % #直方图 （!）频数分布直方图； （“）频率分布直方图 从频率分布直方图可以看出，其形状逐渐趋于一条曲线。这条曲线叫做“频率 分布曲线” 。它反映了试验数据的分布规律。如图 # % ! % #（“）形状的曲线是工程 地质和岩土工程中最常见的典型曲线，一般可认为接近于正态分布曲线。 !“#“#“&数据分布的重要特征值 反映数据分布规律的特征值有算术平均值、极差、方差、标准差和变异系数。 其计算公式如表 # % ! % $。 几个重要特征数的计算公式表 # % ! % $ 特征数符号计算公式单位 平均值!# # $ “# % 极差&() # % *+ #% 方差 (，)$ # $ % #“ （# %! #） $ # $ 标准差) ) # $ % 变异系数*(，! ) !# , #- !“#“#“.异常数据的舍弃 试验指标中的重大误差或非代表性的数据可用 /01223 准则判别，计算式如下 +-4 5 #-%!# 5 , （# % ! % #） 式中 #- 可能舍弃的数据； 67# $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 第一篇岩土工程的地质学基础 ! ! 平均值； “ 标准差。 当计算的 #!值大于表 “ # $ # % 的 # 值时，!这个数据必须舍弃。这个过程可 以重复，直至数据再没有可剔除的数据为止。 舍弃值的临界值 # 表 “ “ “ “ “ # $ # % 样品数 置信水平 &$&$ 样品数 置信水平 &$& “ “ $ “ “ %“(“(“)()&)( “ “ *“(*+“(*&“%)(%)(+“ “ “ “(+$“($“*)(%$)(+ “ “ +“(,)“(&*“)(*“)($“ “ “ $“(&*)(“!)!)(+)(, “ “ ,)(!%)()(+%(!“ &)(“)(%)%!)($ “ “ “!)(“,)(*“*!)(,$ “ “ “)()%)(*,+!%(!% 注：当采用三倍标准差方法时，#!- %。 例有 “! 个土试样的孔隙比为 !(+$、!(&、!($,、!(&%、!(,!、!($、!(&,、 !(,、“()、!(,&，平均值! - !(,&，标准差 “ - !(“+%，问是否有数据需要剔除？ 用式（“ # $ # “）计算 “() 这个数据得： #!- “() # !(,& !(“+% - )()“ 并考虑表 “ # $ # % 的 &$置信水平，由于 #!- )()“ . # - )(“,，所以 “() 这个数据 应予剔除。舍弃 “() 后，平均值变为!%- !(,*&，标准差变为 “%- !(“!,，继续检验 !(& 这个数据： #!- !(& # !(,*& !(“!, - “(%“ 由于 #!- “(%“ / # - )(“，因此，!(& 这个数据不应剔除。 $(“()数据的概率分布 概率分布有两种类型： 一种是离散型随机变量的概率分布如二项分布、泊松（0123314）分布等，另一 种是连续型随机变量的概率分布如正态分布、均匀分布等。在工程地质和岩土工程 中最常遇到的是正态分布。 +,“ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 岩土工程新技术实用全书 正态分布曲线的形状如图 ! “ # “ $。 图 ! “ # “ $正态分布曲线 正态分布曲线的密度函数为 ! % “（#） % ! ! $ !“ $ “ ! $ （#“$ ! ） $ （! “ # “ $） 式中$为正态分布的均值，!为正态分布的标准差。在统计上用 %（$，! $）表示 均值为$，标准差为!的正态分布。 #&$统计推断 #&$&!分布函数型式的检验 检验某指标数据的波动规律是否属于正态分布，通常有偏态峰态检验法#$ 检验法，但最简单的检验方法是概率格纸法。其具体方法如下： !& 列出累计频率表； $& 在正态概率纸上以累计频率的分组右端点为横座标，累计频率为纵座标， 逐一投点。 如果这些点子基本上在一条直线上，该指标数据的分布规律可认为属正态分 布。 例孔隙比的试验数据如表 ! “ # “ !，用概率格纸法检验其是否属正态分布。 !& 列出累计频率表（如表 ! “ # “ ） 。 累计频率表表 ! “ # “ 分组右端点频数累计频数 累计频率 （&） 分组右端点频数累计频数 累计频率 （&） (&)#*)(&+#*!$# #,! “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 第一篇岩土工程的地质学基础 续表 分组右端点频数累计频数 累计频率 （!） 分组右端点频数累计频数 累计频率 （!） !“#$%#&“!$%&( !“#%&!$&“!#%#)%)% !“($%&$%&“&$%)()( !“(#%&*)*)&“&#%$&!&! !“)$%&+%+% $“ 在正态概率纸上，用表 & , # , * 的分组右端点为横坐标，累计频率为纵坐 标，逐一投点并连成一直线（如图 & , # , ） 。 图 & , # , 正态概率纸 从图 & , # , 可以看出，各点离直线的偏差都不大，故可认为孔隙比的数据分 布规律属正态分布。 从图 & , # , 中还可直接得到平均值和标准差的估计值。 #“$“$差异显著性检验 这里介绍与正态分布有关的统计检验方法。正态分布有两个最重要的特征值， 即均值!和标准差 “。因此，正态分布的检验就是!和 “ 的检验。 &“!检验!检验适用于标准差比较稳定，而只需对均值作检验的情况。 例已知某工程土的孔隙比遵从正态分布，#（!“(，!“&$*$） ，现又取了 % 个 土试样，其孔隙比为 !“(、!“()、!“(+、!“)%、!“)&，如标准差未改变，问总体均 值有无变化？ 计算统计量!$ 和 % ! $ - !“( % -! $ ,! “! “& - !“( , !“( !“&$* “% - !“&* (& # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 岩土工程新技术实用全书 取 ! ! “，由表 # $ % $ “ 查得双侧检验的界限值为 #&(!。 超过给定界限（从平均值算起）数据的概率表 ! ! ! # $ % $ “ 单侧检验 （ ) 或 $ ） 界限 （# !） 双侧检验 （ * ） 单侧检验 （ ) 或 $ ） 界限 （# !） 双侧检验 （ * ! ! ） #“&“#!+#&,“-&“.&(+!# ! ! “ “#&(/“!#-“-&#+“+!-&.% ! ! “ .&“#&(!“-&#“+&-!-&. ! ! “ .&.%“.!/&“-&-“+&/!-&# ! ! “ #“.&+.“!.“ 注：底下划线的数值是最为常用的。 由于 $ ! -&#/ 0 #&( 1 -&#./ ! -&./+，所以认为新取土试样的孔隙比没有显著 变化，即新取土试样与原土试样的孔隙比无显著性差异。 .& % 检验 % 检验适用于总体方差未知，检验总体均值与样本均值有无显著性差 异的方法。 例在某地区一场地取得 #- 个土试样，其孔隙比为 -&(%、-&,、-&%/、-&,/、 -&“、-&,、#&-(、-&%、-&,(、-&%/；在另一场地又取得 #- 个土试样，孔隙比为 -&%-、-&,、#&-、-&%“、-&(、-&(%、-&%,、-&,-、-&,、-&%。检验两组土试样 的孔隙比平均值是否有显著性差异？ 检验步骤： #& 分别计算两组土试样的平均值和标准差，得到“&#! -&,(，#! -&#./“；“&. ! -&,.，.! -&#.%(。 .& 按下列公式计算 % 值 % ! (#(. （( #) (.$ .） (#) ( # . “ &#$“&. (#. #) (.# . . （# $ % $ +） 如 ( #! (.! (，式（# $ % $ +）就简化为 % ! “ &#$“&. . #) (#$ # （# $ % $ /） 将计算数值代入，得 % ! -&(%+。 +& 如果两组土试样都自来自同一土层，则按式（# $ % $ +）或式（# $ % $ /）计 算所得的 % 值是自由度为 (#) (.$ . 的 % 分布。 查表 #$%$(，对于自由度“! (#) (.$ . ! #,，当#2 % 2 3 %) ! -&( 时，%)! -&“+/；当#2 %2 3 %) !-&“ 时，%)!-&(,。因而概率#2 %2 3-&(%+在 -&“ 与 -&( 之间，可见“&#与“&.之差出于抽样误差（土质不匀、试验误差）的机会并不很大，即 ,# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 第一篇岩土工程的地质学基础 这两组土试样平均数的差异还是比较显著的，很可能来自不同的土层单元。 一般认为概率! ! ! “ !“要达到 #$% 以上才可认为差异不显著。 “学生”氏 ! 分布 由函数 # ! ! ! “ !“ & ! ( ) !“ $%（&）& 决定的对应于“和 # 的 !“数值表表 * + , + - *# “ .#%#,#-#/#0#1#*#/*#$* *#$*/% #$1/ #$/*# #$, *$# *$1,- *$.-1 1$#,1 -$1*0 *$,#- 1*$%* -1$-/, -1-$-*. #$*0 #$%. #$00/ #$-*, #$%*- *$#-* *$1%- *$%- $.# 0$1#1 -$.-/ .$./1*$/%. 1#$*1, #$, #$00 #$/%0 #$,-/ #$.,% *$/# *$-1% $1/1 1$*% 0$/0* /$%0*$.0* 0#$*10 #$,* #$0*0 #$/-. #$,0* #$.0* *$*.# *$/11 $*1 $,- 1$,0, 0$-#0%$-*# /#$*1 #$-, #$0#% #$/. #$, #$.# *$*/- *$0,- $#*/ $/,* 1$1-/ 0$#1-$%/. -#$*1* #$-/ #$0#0 #$/1 #$,*% #$.#- *$*10 *$00# *$.01 $00, 1$*01 1$,#,/$./. ,#$*1# #$-1 #$0# #$/0. #$,* #$%.- *$*. *$0*/ *$%./ $1-/ $% 1$0/$0#/ %#$*1# #$- #$1 #$/0- #$,#- #$%. *$*#% *$1., *$%-# $1#- $%.- 1$1/$#0* .#$*. #$-* #$1.% #$/01 #$,#1 #$%1 *$*# *$1%1 *$%11 $- $%* 1$/#0$,%* *#$*. #$-# #$1., #$/0 #$,# #$%,. *$#.1 *$1, *$%* $% $,-0 1$*-.0$/%, *#$*. #$-# #$1.- #$/0# #$-., #$%,- *$#% *$1-1 *$,.- $#* $,*% 1$*#-0$01, *#$*% #$/. #$1./ #$/1. #$-./ #$%,1 *$#%1 *$1/- *$,% $*,. $-%* 1$#/0$1*% *1#$*% #$/. #$1.0 #$/1% #$-.0 #$%,# *$#,. *$1/# *$,* $*-# $-/# 1$#*0$* *0#$*% #$/% #$1.1 #$/1, #$-. #$%-% *$#,- *$10/ *$,-* $*0/ $-0 $.,0$*0# */#$*% #$/% #$1.1 #$/1- #$-.* #$%- *$#,0 *$10* *$,/1 $*1* $-# $.0,0$#,1 *-#$*% #$/% #$1. #$/1/ #$-.# #$%-/ *$#,* *$11, *$,0- $*# $/%1 $.*0$#*/ *,#$*% #$/, #$1. #$/10 #$-%. #$%-1 *$#-. *$111 *$,0# $*# $/-, $%.%1$.-/ *%#$*, #$/, #$1. #$/10 #$-% #$%- *$#-, *$11# *$,10 $*#* $/ $%,%1$. *.#$*, #$/, #$1.* #$/11 #$-% #$%-* *$#- *$1% *$,. $#.1 $/1. $%-*1$%1 #$*, #$/, #$1.* #$/11 #$-%, #$%-# *$#-0 *$1/ *$,/ $#%- $/% $%0/1$%/# *#$*, #$/, #$1.* #$/1 #$-%- #$%/. *$#-1 *$11 *$,* $#%# $/*% $%1*1$%*. #$*, #$/- #$1.# #$/1 #$-%- #$%/% *$#-* *$1* *$,*, $#,0 $/#% $%*.1$,. 1#$*, #$/- #$1.# #$/1 #$-%/ #$%/% *$#-# *$1*. *$,*0 $#-. $/# $%#,1$,-, 0#$*, #$/- #$1.# #$/1* #$-%/ #$%/, *$#/. *$1*% *$,* $#-0 $0. $,.,1$,0/ /#$*, #$/- #$1.# #$/1* #$-%0 #$%/- *$#/% *$1*- *$,#% $#-# $0%/ $,%,1$,/ -#$*, #$/- #$1.# #$/1* #$-%0 #$%/- *$#/% *$1*/ *$,#- $#/- $0,. $,.1$,#, ,#$*, #$/- #$1%. #$/1* #$-%0 #$%/ *$#/, *$1*0 *$,#1 $#/ $0,1 $,*1$-.# %#$*, #$/- #$1%. #$/1# #$-%1 #$%/ *$#/- *$1*1 *$,#* $#0% $0-, $,-11$-,0 .#$*, #$/- #$1%. #$/1# #$-%1 #$%/0 *$#/ *$1* *$- $#0/ $0- $,/-1$-/. 1#$*, #$/- #$1%. #$/1# #$-%1 #$%/0 *$#/ *$1*# *$-., $#0 $0/, $,/#1$-0- 0#$*- #$/ #$1% #$/. #$-%*#$%/*$#/# *$1#1 *$-%0 $#* $01 $,#01$/* -#$*- #$/0 #$1%, #$/, #$-,. #$%0% *$#0- *$.- *$-,* $# $1.# $-#1$0-# *#$*- #$/0 #$1%- #$/- #$-, #$%0/ *$#0* *$%. *$-/% *$.%# $1/% $-*,1$1,1 )#$*- #$/1 #$1%/ #$/0 #$-,0 #$%0 *$#1- *$% *$-0/ *$.-# $1- $/,-1$.* #.* “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 岩土工程新技术实用全书 !“#“$方差分析 方差分析是分析试验数据的一种重要方法。它是通过研究多个子样之间的差异 与每个子样内个体之间的差异关系来确定这多个子样的均值是否相等，并进一步推 断出多个子样是否属同一总体。 方差分析有单因素和多因素方差分析，这里只介绍单因素方差分析。 例有五块砂岩标本（子样，%& ） ，每块标本切成六个试块（个体，( & )） ， 测得每块试块的碳酸盐含量如表 * + ! + !。问这五块标本是否来自同一母体？ 计算方法及步骤如下 块砂岩标本的碳酸盐含量表 * + ! + ! 试块标本 *标本 #标本 $标本 ,标本 *-“#*.“!*#“#/“$*-“- #*.“!*,“$*,“$#“#,“$ $#*“$#/“/.“!*!“)*!“) ,*)“*!“)*“,*.“,#/“# *!“$*-“$-“*“-*.“, )#“,*)“*)“*-“/*-“* *“ 计算组间差方和、组内差方和及总差方和。 组间差方和为各组（子样）平均数!“对总平均数! 的差数的平方和，以 #*表 示。 #*&“ $ “ & *“ % & & *（ ! !“+! !） # & %“ $ “ & *（ ! !“+! !） # & * %“ $ “ & *（“ % & & * !“&） # + * $%（“ $ “ & *“ % & & * !“&） # 组内差方和为各试验数值（个体）!“&对其对应的组平均数!“的差数的平方和， 以 # #表示。 #&“ $ “ & *“ % & & * （! “&+! !“） # &“ $ “ & *“ % & & *!& # + * %“ $ “ & *（“ % & & * !“&） # 总差方和为各试验值 !“&对总平均数! 的差数的平方和，以 # 表示。 # &“ $ “ & *“ % & & * （! “&+! !） # &“ $ “ & *“ % & & * !“&#+ * $%（“ $ “ & *“ % & & * !“&） # #也可称为剩余差方和，表示从总差方和 # 中减除各组间的差方和 #*后所余 的差方和。 根据表 * + ! + ! 所列数据，为减少计算错误，可列成表 * + ! + . 的格式。 *-* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 第一篇岩土工程的地质学基础 方差和的计算表 ! “ # “ $ 试块 ! % & 标本% ( !)*+( ! !),)!,#“ +,(*,*),- )!,#“ ),#“ ),#(,(#,* *+,*,.“ $,*.,&.,& +“ .,(.,&“ (,&!,+*,) (.,*),*“ #,(“ !,!,+ &(,+“ .,-“ .,(),.),! !“ !*,+.+,“ )-,!.!,#.!#,(!#,(. （! “） ) !#-,(&!&,$+&,$!*&,$-*.&,)(!+$(,(! !“) (,#)(,&+!$+,)-+$,&#$,&#*-),- 注：为了计算简便，表中数值由表 ! “ # “ # 中数值普遍减去 !# 后得到，不影响方差分析结果。 方差分析计算表 ! “ # “ - 方差来源差方和自由度方差估计方差比 # 组间$!% )*#,*$% “ ! % + $! % “ ! % (-,*( 组内（剩余）$)% !+(,+.%（% “ !） % )( $) %（! “ !） % (,$) $!& % “ ! $)& %（! “ !） % !.,). 总合$ % *$),#$%! “ ! % )- $ %! “ ! % !*,). # 分布（!% .,.(） 表 ! “ # “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“ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 岩土工程新技术实用全书 续表 ! !“ !“#$%&()!*!“!%“*&*+ “!$,#“#,$#,*“,($“,&(“,%“,$)“,$“,#“,#“,“%“,!(“,!*!,)“!,(! “$,#*#,$#,*%“,(“,&“,%“,$&“,$*“,#$“,#*“,“#“,!%“,*!,()!,( “#$,“(#,$“#,*#“,(*“,&$“,%#“,$“,#“,#“,“,“*“,!#“,*%!,(&!,& “$,“&#,$*#,*!“,(“,&“,%!“,$“,#&“,#*“,“%“,!(“,!“,*#!,($!,# “%$,“$#,#)“,)“,&“,&*“,$)“,$*“,#$“,“(“,“$“,!&“,*)“,*!,(“!,! #*$,!#,#“,)“,&)“,%#“,$“,#“,“,“!“,!&“,*)“,*!,)#!,$!,&“ $*$,*(#,“#“,($“,&!“,$%“,#$“,“%“,!(“,!“,*(“,*!,)“!,($!,&$!,%! &*$,*#,!%“,&“,%#“,#“,“%“,!“,!*“,*$!,)!,)“!,($!,%!,%#!,#) !“*#,)“#,*“,&(“,$%“,“)“,!“,*)“,*“!,)&!,)!,(#!,%!,&!,$#!,“% +#,($#,*“,&*“,#“,“!“,!*“,*!,)$!,(!,(#!,%!,&!,%!,#“!,* “ 分布（# - *,*!）续表 ! 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“#,(%,&$,&$,“&#,)$#,!#,%$#,$!#,#*#,“!#,*“,)#“,(“,$%“,“& “$,(“%,&!$,“$,“#,)*#,&#,%*#,#&#,“&#,!#,*#“,()“,$“,$*“,“! “%,%,%$,&($,!(#,(%#,&#,$&#,#“#,“#,!#“,)“,(%“,*“,#&“,! #*,%&%,#)$,%!$,*“#,*#,$#,#*#,!#,*“,)(“,($“,*“,%“,“!“,*! $*,#!%,!($,#!#,(#,%!#,“)#,!“,)“,()“,(*“,&“,%“,#“,*“!,(* &*,*($,)($,!#,&%#,#$#,!“,)%“,(“,“,&#“,%*“,#%“,“*!,($!,&* !“*&,(%$,)#,)%#,$(#,!“,)&“,)“,&“,%&“,$“,#$“,!)“,*#!,&!,#( +&,&#$,&!#,(#,#“#,*“,(*“,&$“,%!“,$!“,#“,!(“,*$!,(!,$!,* 设 $ - ! %&（! % - ! & ( - ! )(） “ - ! % . & . （!,%*） “ - !*,“! #)! “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 第一篇岩土工程的地质学基础 ! ! “ “! # $ ! “（! “ % ! “ &$%） # ! “ $ % “&()(“ ! #&*)(+ ! # $ ! “! “ % ! “&$% # ! ,+#)+ 则 ( “! ! - ) ! #&*)(+ - “.)#“ ! #,*), (#! - ! ! ,+#)+ - #&*)(+ ! “&()&. *,! - ) ! ,+#)+ - “.)#“ ! ,#)* #) 确定各差方和的自由度，并进行方差分析如表 “ - * - +。 ,) 查 + 分布表（表 “ - * - “.） 。取显著度! .).“。,“为 + 比值中分子的自 由度 ,“! # - “，,#为分母的自由度 ,# ! #（“ - “） 。得对应于自由度为（&，#(） 的查表值 +! &)“。现 + ! “.)#. / &)“ 说明五块标本的碳酸盐含量是不同的，它 们不属于同一母体。 *),回归分析 回归分析是一种处理两个随机变量之间相关关系的数学方法。 *),)“线性回归分析 当只有一个自变量时称一元线性回归，当有多个自变量时称多元线性回归。 *),)“)“一元线性回归 一元线性回归分析就是找出两个变量 & 与- 之间的线性相关关系，建立线性回 归方程。 例表 “-*-“是“&个土试样的液限和塑限的测定值，试找出它们之间的关系。 液、塑限测定值表 “ “ “ - * - “ 序号液限 .塑限 /序号液限 .塑限 “ / “ “,.)$“)#*)*“$) “ #)(“*)*+#()“()+ “ ,#+)“).“.#$)$“$), “ &#$)#“$)“,.)“), “ (#*)$“*)“#)+“*)( “ $,.)*“)&“,#)*“*), *#+),“*)+“&#$)“$)$ “) 回归方程的建立 以自变量 &（液限）为横座标，因变量 -（塑限）为纵座标作散点图（如图 “ - - &） 。 &+“ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 岩土工程新技术实用全书 图 ! “ # “ $液限与塑限散点图 从图 ! “ # “ $ 可以看出，塑限 ! 是随着液限 “ 的增大而增大，而且大致呈一线性关系，因此可 用 ! % # & $“ 来表示两者之间的关系。此式叫做 ! 倚 “ 的回归方程。 用最小二乘法原理可以得到 # % ! “ $“（! “ # “ ） $ % !%&“ ! ( （!%&） （!&） !%&(“ ! ( （!%&） ( （! “ # “ )） (* 回归方程的计算 回归方程的计算就是求回归系数 $ 和常数项 #，可分别按式（! “ # “ )）和式 （! “ # “ ）计算。为减少计算错误，通常可列出表格（如表 ! “ # “ !(） 。 一元线性回归方程计算表 ! “ # “ !( %(% !+,*)!-*-.+)*+)+*$#*(- (-*!#*#-!(*(+!+*(.,$*$ +(.*-!-*,-*,$+($*,+)*$, $()*(!)*!)-)*$(.*(!$(!*-( (#*)!#*!#)!*#)(.(*$!$#!*.) )+,*#!-*$.$(*$.+-*)$*- #(.*+!#*.-*$.+(,*$!($*$# -(#*#!)*-#)#*(.(-(*($)*+) .(*-!*.)*)$(*-!$!,*( !,()*)!)*+#,#*)()*).$+*- !+,*!-*+.,)*,!+$*-.,*-+ !(-*.!#*-+*(!+,)*(,*# !+(-*#!#*+-(+*).(*(.$.)*! !$()*-!)*)#!-*($(#*)$*- “ +.#*+($(*#!+,.*$#$(!-*,).,)*+. 从上表可以得到 “%&% ).,)*+.， ! ( （“%&） （“&） % )-#*$-， “%(&% !+,.*$#， ! ( （“%&） ( % !(#$*-!， .! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 第一篇岩土工程的地质学基础 将上述数据代入式（! “ # “ $）和式（! “ # “ %）得 ! & (%，“ & !()% 于是# & !()% * (%$ 其相关系数可由式（! “ # “ #）求得 % & !$&#&“ ! !$&!#& !$+ &“ ! （!$&） + !#+ &“ ! （!#&） + “ （! “ # “ #） 相关系数绝对值的大小表明两变量间的相关紧密程度。 本例的相关系数为 % & (,)。 上式计算也可使用带有统计功能（-./.）的计算器直接求得。 0( 回归方程的显著性检验 回归方程的显著性检验通常用查相关系数表或方差分析的检验方法。 这里介绍方差分析检验法的计算步骤： !( 计算总平方和 ()及其自由度 *)： ()&!#+&“ ! （!#&） + & !($#， *)& “ ! & !0； +( 计算回归平方和 + 及其自由度 *+： + & !$&#&“ ! （!$&） （!#&） & !(1， *+& , & !； 0( 计算剩余平方和 - 及其自由度 *-： - & ()“ + & (+#， *-& “ + & !+； 上述计算归纳为方差分析表如表 ! “ # “ !0。 方差分析计算表 ! “ # “ !0 变差来源平方和自由度方差.显著性 回归!(1!(1 剩余(+#!+(+0 1%+(!# 总计!($#!0 # 1( 查 . 表（表 ! “ # “ !） ，由于 . & 1%+(!# 2 .(! !， !+& ,(00，所以回归方程高度 显著（用两个星号表示） 。 #(0(!(+多元线性回归 这里举一个三元回归分析的计算实例来说明多元回归的计算方法。 $,! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 岩土工程新技术实用全书 例某工程地基土的承载力 ! 与含水量“!、液限 “、孔隙比 “#的资料如表 ! $ % $ !&。试求承载力对含水量、液限、孔隙比的回归方程。 三元回归分析各变量值表 ! ! ! ! $ % $ !& # $ “!“#! # $ “!“# ! ! ! ! ! !%(!“)(*!(!(#*“*(!“+(*!(!&*() ! ! “(“)(!(%!(“%“&(*“%(&!(“%( ! ! #“(“)(&(,)!(!,“(+“,(!(!*,(* ! ! &!)(&“)(“(%!(!)“(“%(*!(“,(“ +“&(!“%(%!(!#%(+!“(+“,(,!()( !( 求回归方程 先求出数组中各变量的总和、平均值，各变量的平方和、交叉积和（如表 ! $ % $ !+ 最后两行） 。再求出正规方程的系数和常数项： $!-!“ !$ ! % （!“!） “ - *%(%“， $“-!“ “$ ! % （!“） “ - !#(&， $#-!“ #$ ! % （!“#） “ - (!,)#， $!“- $“!-!“!“$ ! % （!“!） （!“） - $ “%(*+， 三元回归分析计算表 ! $ % $ !+ %“!“#!“!“#!“!“!“#“#“!“!“#! !%(!“)(*!(!(#“)“(&! ,%*(!*!(!“%(*) +*(!*!%(!“)(*!)#(“# #&(&,!(# “(“)(!(%!(“&,(& ,&!(!(!&!&(& +,+(,“!(*!#!(