复变函数与积分变换5习题课

2 一、重点与难点 重点： 难点： 留数的计算与留数定理 留数定理在定积分计算上的应用 3 二、内容提要 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点极点 本性奇点 函数的零点与 极点的关系 对数留数 留数定理 留数在定积 分上的应用 辐角原理 路西原理 4 1）定义 如果函数在 不解析, 但在 的某一去心邻域内处处解析, 则称 为的孤立奇点. 1. 孤立奇点的概念与分类 孤立奇点奇点 2）孤立奇点的分类 依据在其孤立奇点的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点. 5 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. i) 可去奇点 6 ii) 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个的 负幂项, 其中关于的最高幂为 即 级极点.那末孤立奇点称为函数的 或写成 7 极点的判定方法 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 的负幂项为有的洛朗展开式中含有 限项. (a) 由定义判别 (b) 由定义的等价形式判别 (c) 利用极限判断 . 8 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点称为的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 不存在且不为 iii)本性奇点 9 i) 零点的定义 不恒等于零的解析函数如果 能表示成其中在 解析且m为某一正整数, 那末称为 的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系 ii)零点与极点的关系 如果是的 m 级极点, 那末就是 的 m 级零点. 反过来也成立. 10 2. 留数 记作 定义 如果的一个孤立奇点, 则沿 内包含的 任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除 后所得的数称为以 11 1)留数定理 设函数在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数. 12 (1) 如果为的可去奇点, 则 如果 为 的一级极点, 那末 a) (2) 如果为的本性奇点, 则需将 成洛朗级数求 展开 (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则 2)留数的计算方法 13 c)设及在 如果那末 为一级极点, 且有 都解析， 如果 为 的 级极点, 那末b) 14 也可定义为 记作 1.定义 设函数在圆环域内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 那末积分 值为在的留数. 的值与C无关 , 则称此定 3)无穷远点的留数 15 如果函数在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. 定理 16 3. 留数在定积分计算上的应用 1）三角函数有理式的积分 当历经变程时, z 沿单位圆周的 正方向绕行一周. 17 18 2）无穷积分 19 3）混合型无穷积分 20 特别地 21 4.对数留数 定义具有下列形式的积分: 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 其中, N为 f(z)在C 且C取正向. 22 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在 C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量. 辐角原理 路西定理 23 三、典型例题 解 24 解 25 26 例2 求函数 的奇点，并确 定类型. 解是奇点. 是二级极点; 是三级极点. 27 例3 证明 是 的六级极点. 证 28 例4 求下列各函数在有限奇点处的留数. 解(1)在 内, 29 解 30 解为奇点, 当 时 为一级极点， 31 32 解的一级极点为 33 例5 计算积分 为一级极点， 为七级极点.解 34 由留数定理得 35 例6 解在 内, 36 37 解 例7 计算 38 39 例8 计算 解 令 40 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) 41 例9 计算积分 解 极点为其中 由留数定理，有 42 43 例10 计算积分 解 在上半平面内有一级极点 44 放映结束，按Esc退出. 45 例1 计算积分 解则 稍难 46 47 例2 计算积分 分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 48 解 封闭曲线C: 由柯西-古萨定理得: 由 49 50 当 充分小时, 总有 51 即 52 例3 证 如图路径， 53 54 令两端实部与虚部分别相等，得 菲涅耳(fresnel)积分 55 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且R(z)在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析可先讨论 最后令即可 . 二、形如 的积分 一些结论的证明 56 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) . 57 x y 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 58 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 下面证明 59 60 x y 积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一