高中数学 第2章 推理与证明 2_2_2 间接证明优化训练 苏教版选修2-21

2.2.2 间接证明5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.设a、b、c都是正数，则三个数a+,b+,c+（ ）A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2答案：C解析：(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取“=”.2.下列命题错误的是（ ）A.三角形中至少有一个内角不小于60B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间a，b上的单调函数f(x)，至多有一个零点D.设a、bZ,若a+b是奇数，则a、b中至少有一个是奇数答案：D解析：逐一用反证法判断.3.设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于_.解析：假设a、b、c中至少有一个数不小于x的反命题成立.假设a、b、c都小于x，即ax,bx,cx,a+b+c1.x,若取x=就会产生矛盾.答案：10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.反证法是( )A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明 D.分析法的证明方法答案：A2.命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是( )A.ab B.ab C.a=b D.ab答案：B解析:“大于”的否定是“不大于”,即“小于”或“等于”.3.命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解答案：D解析:“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为选项D.4.在空间是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边?_.解析:假设多面体有n个面(n为奇数)，且每个面的边数分别为S1，S2，Sn(Si为奇数，i=1，2，n),则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以S1+S2+Sn=2S.这里左边为奇数个奇数的和，为奇数；但右边为偶数，矛盾.答案:不存在(或不可能有)5.已知平面M内有两条相交直线a、b(交点为P)和平面N平行.求证:平面M平面N.证明:假设平面M不平行于平面N,则M和N一定相交,设交线为c.a平面N,ac.同理bc.则过c外一点P有两条直线与c平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面M平面N.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角答案：C解析:“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面应是“至少有两个”.2.如果两个实数之和为正数，则这两个数（ ）A.一个是正数，一个是负数 B.两个都是正数C.至少有一个是正数 D.两个都是负数答案：C解析:由反证法的意义知选项C真.3.在数列：11，111，1 111，中（ ）A.有完全平方数 B.没有完全平方数C.有偶数 D.没有3的倍数答案：B解析:易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.假设有完全平方数，它必为奇数的平方.设为=(2K+1)2(K为正整数),则0=4K(K+1)，两边除以2得=2K(K+1)，此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.4.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：C解析:若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理,可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.5.反证法的关键是推出矛盾，通常可导致哪些方面的矛盾?_.答案:与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等6.求证：正弦函数没有比2小的正周期.证明:假设T是正弦函数的周期，且0T2，则对任意实数x都有sin(x+T)=sinx成立，令x=0,得sinT=0，即T=k，kZ.又0T2，故T，从而对任意实数x都有sin(x+)=sinx,这与sin(+)sin矛盾.所以正弦函数没有比2小的正周期.7.如图,AB、CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB、CD不能互相平分.证明:假设AB、CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形.所以ACB=ADB,CAD=CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形,所以ACB+ADB=180,CAD+CBD=180.因此ACB=90,CAD=90.所以,对角线AB、CD均为直径,与已知矛盾.因此,AB、CD不能互相平分.8.试证明抽屉原理：如果将m个物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉含有+1个物体（其中表示不超过的最大整数）.命题简单化就是：把5个苹果放进2个抽屉里，则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.证明:(用反证法)小于m的n的最大倍数是由减去其小数部分所得的整数，即是. 假设不存在有一个抽屉含有+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是个，而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于nn=m-1m，这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有+1个物体.9.用反证法证明:若函数f(x)在区间a,b上是增函数,那么方程f(x)=0在区间a,b上至多只有一个实根.证明:假设方程f(x)=0在区间a,b上至少有两个实根,设、为其中的两个实根.因为,不妨设,又因为函数f(x)在a,b上是增函数,所以f(),(1-