高中数学 第三章 统计案例 3_2 回归分析课堂导学 苏教版选修2-31

高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、线性回归【例1】 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.解析：(1)列出下表:i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200=55, =91.7,=38 500,=87 777,=55 950.因此,r= =0.999 8.由于r=0.999 80.75,因此x与y之间具有很强的线性相关关系,因而可求回归直线方程.(2)设所求的回归直线方程为y=bx+a,则有b= 0.668,a=y-bx=91.7-0.66855=54.93,因此,所求的回归直线方程为y=0.668x+54.93.二、非线性回归【例2】 在彩色显像中,根据经验,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式:y=,其中b0.现对y及x同时作11次观察,获得11组数据如下表:编号xiyi10.050.1020.060.1430.070.2340.100.3750.140.5960.200.7970.251.0080.311.1290.381.19100.431.25110.471.29求出y与x之间的回归方程.解析:令y=lny,x=,则变换为y=lna-bx,设a=lna,b=-b,将观察的数据(xi,yi)转化为(xi,yi)如下表:编号xiyixi2xiyi120-2.303400-46.06216.667-1.966277.79-32.77314.286-1.47204.09-21410-0.994100-9.9457.143-0.52851.02-3.7765-0.23625-1.1874016083.2260.11310.410.3692.6320.1746.930.46102.3260.2235.410.52112.1280.2554.530.5487.408-6.7321 101.17-112.84=1xi7.95, = =-0.612,b= =-0.146,a= -b0.549.线性回归方程为y=0.549-0.146x.由于b=-b=0.146,a=1.73,y与x之间的回归曲线方程为y=.三、相关检验【例3】 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y与x之间的回归方程.温度x/21232527293235产卵数y/个711212466115325解析:根据收集的数据,作散点图,如图.从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的附近,其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的附近,这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得线性回归直线方程为z=0.272x-3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=e0.272x-3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近,其中c3,c4为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x2,然后建立y与t之间的线性回归方程,从而得到y与x之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表,作出相应的散点图,如图:t4415296257298411 0241 225y711212466115325从图中可以看出,y与t的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x与y之间的关系,因此利用y=e0.272x-3.843来拟合效果较好.各个击破类题演练 1弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下:物体质量x51015202530弹簧长度y7.258.128.959.9010.9611.80(1)画出散点图；(2)求y对x的回归直线方程.解析:(1)(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2xy123456510152025307.258.128.959.9010.9611.802510022540062590036.2581.2134.2519827435410556.982 2751 077.7x=105=17.5,y=56.989.50,b=0.183,a=9.50-0.18317.56.30.y对x的回归直线方程为y=6.30+0.183 x.类题演练 2某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.155.521.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系?如有,求出y对x的回归方程.思路分析:本题与前面的问题有所不同,y与x之间不具有线性回归关系,因而是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时再回代u=,就得到了y对x的回归曲线方程.解:首先作变量置换u=,题目所给数据变成如下表所示的数据:ui10.50.330.20.1yi10.155.524.082.852.11ui0.050.030.020.010.005yi1.621.411.301.211.15可以求得r= =0.999 8,由r=0.999 80.75,因此,变量y与u之间具有较强的线性相关关系,并且b=8.973,a=y-bx=1.125,最后回代a=可得y=1.125+,因此y与x的回归方程为y=1.125+.类题演练 3为了研究三月下旬的平均气温x(单位:)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y的关系,某地区观察了2000年至2005年间的情况,得到下面的数据表:年份200020012002200320042005x24.429.532.928.730.328.9y19611018 (1)根据规律推断,该地区2006年三月下旬平均气温为27,试估计2006年四月化蛹高峰日为哪一天?(2)对变量x、y进行相关性检验.解析:(1)x= (24.4+29.5+28.9)29.12,y= (19+6+8)=7.5,xi2=24.42+28.92=5 125.01,yi2=192+82=563,xiyi=24.419+28.98=1 222,b=-2.3,a=-b=7.5+2.329.12=74.476.回归直线方程为y=-2.3x+74.476.当x=27时,y=-2.327+74.476=12.376.据此估计该地区2006年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=-0.949 3,由于|r|接近于1,故变量y与x存在很强的线性相关关系.变式提升在钢线碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表:碳含量 (x/%)0.100.300.400.550.700.800.9520时电阻(y/)1518192122.623.626求y对x的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性.解析:由已知数据x=0.543,y=145.220.74,=2.595,= 3 094.72,=85.45,b12.45