高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2_2 复数的乘法与除法教材习题点拨 北师大版选修2-21

高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P107)1.解:(1)（1+3i）（3+2i）=3+2i+9i-6=-3+11i；（2）（-1-2i）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i；(3)（+i）2=（+i）（+i）=-i-i-=i；(4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.2.解:(1)ii2i3i4=i10=-1；(2)i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.思路分析:利用公式:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i分别计算即可.3.解:(1)（-2+3i）3=(-2+3i)(-2+3i)(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i）=46+9i;(2)(1+2i)4=(1+2i)(1+2i)2=(4i-3)2=-7-24i.思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可.4.解:(1);(2).思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.习题5-(P107)A组1.解:(1)i+（3+4i）=3+（i+4i）=3+5i；(2)（1-i）-（1+i）=（1-1）+（-i-i）=-2i；(3)（2-i）-（3+i）=（2-3）+（-i-i）=-1-2i；(4)（1-4i）+（2-i）=（1+2）+（-4i-i）=3-5i.2.解:(1)（1+i）（3+4i）=3+4i+3i-4=-1+7i；(2)（1-2i）（1+2i）=1+2i-2i+4=5；(3)（3+i）（3-2i）（1-i）=(3+i)(3-2i)(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;(4)（5-4i）+（1+3i）（5+2i）=（6-i）（5+2i）=32+7i.思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.3.解:(1)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i-1-i=0;(2)i4ni4n+1i4n+2i4n+3=1i(-1)(-i)=-1.思路分析:注意利用公式i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.4.解:(1)=-2i-3;(2)=i;(3);(4).思路分析:进行复数的除法时,要注意将分母转化为实数.5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.思路分析:注意利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2.6.答案:-1.思路分析:()2=-1.7.解:,实部与虚部相等,也就是.B组1.答案:A思路分析：与复数z=3-4i共轭的复数为3+4i,由于复数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.2.解:(1)=-3-i (2)=-i-2 (3)=1+3i (4)=3+4i 各对复数对应的点如下图所示A，A;B,B;C，C;D,D分别对应（1）中的z和z；（2）中的z和z；（3）中的z和z；（4）中的z和z.思路分析:一个复数的共轭复数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的复数.3.答案：略.4.解:,由复数的实部和虚部相等可以得出:33-4a+a2=12+8aa2-12a+21=0a=6.STS复数的形成与发展(二) 挪威的测量学家成塞尔(17451818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(17771855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集. 随着科学和技术的