高中数学 3_1_1 两角和与差的余弦导学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求3.1.1两角和与差的余弦学习目标重点难点1能说出用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程体会向量方法的作用2能记住两角和与差的余弦公式，并能灵活运用3能解决两角和与差的余弦公式的变形问题.重点：灵活运用两角和与差的余弦公式难点：用向量推导两角差的余弦公式易混点：两角和与差的余弦公式的变形.1两角差的余弦公式的推导：在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于点P1(cos ，sin_)，P2(cos_，sin_)，则P1OP2，只考虑0的情况时，设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，则由数量积的定义有ab|a|b| cos()cos()另一方面，由数量积的坐标运算，有abcos cos sin sin ，从而得公式C()预习交流1用向量法证明公式C()的过程中，角，的终边与单位圆分别相交于点P1，P2，则向量，的坐标是如何得到的？提示：由于向量的起点为原点，所以向量的坐标就是点P1的坐标又因为点P1在角的终边上且|1，由任意角的三角函数的定义知 sin ，cos .因此，yP1sin ，xP1cos ，即有(cos ，sin )，同理可知(cos ，sin )2两角和与差的余弦公式：两角差的余弦公式：cos()cos_cos_sin_sin_.(C()两角和的余弦公式：cos()_cos_cos_sin_sin_.(C()预习交流2cos()与cos cos 相等吗？提示：一般情况下不相等但在特殊情况下也有相等的时候例如：当0，60时，cos(060)cos 0cos 60.预习交流3(1)计算cos 54cos 36sin 54sin 36_.(2)计算cos 195_.提示：(1)0(2)cos 195cos(18015)cos 15(cos 45cos 30sin 45sin 30).一、运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(35)cos(25) sin(35)sin(25)；(2).思路分析：(1)将35，25分别视为一个角，逆用公式可得解(2)由7158，可用两角差的余弦公式解决解：(1)原式cos(35)(25)cos(60)cos 60.(2)原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.1sin 163sin 223sin 253sin 313 的值等于_答案：解析：原式sin163sin 223sin(90163)sin(90223)sin163sin223cos 163cos 223cos(223163)cos 60.2求下列各式的值：(1)sin 123sin(12)sin 213sin 78；(2)cos(36x)cos(54x)sin(x36)sin(x54)解：(1)原式sin 123sin(12)sin(12390)sin(1290)sin 123sin(12)cos 123cos(12)cos123(12)cos 135cos(18045)cos 45.(2)原式cos(36x)cos(54x) sin(x36)sin(54x)cos(36x)(54x)cos 900.1两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值二、给值求值已知sin()，sin()，且，求cos 2的值思路分析：2()()，且根据已知能求出cos()，cos()，则问题得以解决解：sin()，cos().又sin()，cos().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()11若cos ，则 cos的值为_答案：或解析： cos ，为第一或第四象限角 sin . cos cos cossin sin(sin cos )或.2已知锐角，满足cos ，cos()，则cos _.答案：解析：，(0，) sin .sin()， cos cos()cos()cos sin()sin .1利用两角和与差的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式即把所求的角分解成某两个角的和差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解2在条件求值或证明题中，应注意已知条件中的角与所求角之间的关系，沟通两角的关系是解决问题的关键常用的角的变换有：(1)注意常数1，与特殊角的三角函数的互化(2)变角：2()()，()，(2)等三、给值求角已知锐角，满足sin ，cos ，求的值思路分析：解答本题应先求出cos ，sin 的值，再利用cos()的展开式求解；求角时注意角的范围解：，为锐角且sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .由0，0得0，又cos()0，为锐角，.1已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，若0，则_.答案：解析：由已知可得 sin sin sin ，cos cos cos .22，得22 cos()1 cos().0，0，.2已知，为锐角，cos ，cos()，求的值解：为锐角，且cos ，sin .又，均为锐角，0.又cos()， sin().则 cos cos()cos()cos sin()sin ，.解答给值求角问题的步骤(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内1下列等式中，正确的个数为_cos()cos cos ；cossin ；cos()cos cos sin sin ；cos()cos cos sin sin .答案：2解析：由两角和与差的余弦公式可知正确2若(0，)，且cos，则cos 等于_答案：解析：(0，)且cos，sin.cos cos.3cos 105_.答案：解析：cos 105cos(4560)cos 45cos 60sin 45sin 60.4cos 43cos 77sin 43cos 167的值为_答案：解析：原式cos 43cos 77sin 43cos(9077)cos 43cos 77sin 43sin 77cos(4377)cos 120.5已知sin ，sin ，且和均为钝角，求的值解：和均为钝角，cos ，cos .c