高中数学 3_3 几个三角恒等式互动课堂学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 3.3 几个三角恒等式互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.积化和差公式sincos=sin(+)+sin(-)；cossin=sin（+)-sin(-)；coscos=cos(+)+cos(-)；sinsin=-cos(+)-cos(-).公式的推导如下：sin（+)=sincos+cossin(S+)，sin(-)=sincos-cossin(S-)，cos(+)=coscos-sinsin(C+)，cos(-)=coscos+sinsin(C-).则公式S+S-,S+-S-,C+C-,C+-C-得：sin(+)+sin(-)=2sincos,sin(+)-sin(-)=2cossin,cos(+)+cos(-)=2coscos,cos(+)-cos(-)=-2sinsin.即sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-) coscos=cos(+)+cos(-) sinsin=-cos(+)-cos(-) 公式叫做积化和差公式.2.积化和差公式的规律（1）两角的正弦，余弦的积都可化成f(+)f(-)的形式.(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，那么“f”表示余弦；如果一为正弦一为余弦，那么“f”表示正弦.（3）如果两角函数中有余弦函数，那么在后面的“”处取“+”，无余弦函数时，取“-”.（4）仅当两角函数均为正弦函数时，前面的“”才取“-”，其他情况均为“+”.3.和差化积公式sin+sin=2sincos;sin-sin=2cossin;cos+cos=2coscos;cos-cos=-2sinsin.在积化和差公式中，若令+=,-=,那么=,=,把,的值代入公式乘以2,再把公式反用，就能得出和差化积公式.4.和差化积公式的特点（1）公式的左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和与差，后两个是余弦的和与差，右边积的系数前三个是2，最后一个是-2.（2）左边的角前面一个是，后面一个是，积式中的角，前面一个是原来两角和之半，即，后面一个是原来两角差之半，即.（3）正弦和的积式为正弦乘以余弦，正弦差的积式为余弦乘以正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦.5.学习积化和差与和差化积要注意的几个问题（1）积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.（2）不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间关系而言，并不是指角的关系.（3）只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如果是一正弦与一余弦的和与差，可先用诱导公式化为同名函数后，再运用和差化积公式化成积的形式.（4）三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.（5）积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替作用，如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑二倍角公式的变形应用进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.（6）为了能把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把-cos化为积的形式，将看作cos.活学巧用【例1】 求下列各式的值（1）cossin；（2）2cos50cos70-cos20.解析:（1）方法一：cossin=sin（+）-sin（-）=（sin-sin）=（1-）=-.方法二：cossin=coscos=cos2=（2）原式=cos（50+70）+cos（50-70）-cos20=cos120+cos20-cos20=cos120=-.【例2】求sin10sin30sin50sin70的值.解法一：原式=sin10sin50sin70=sin10(-)(cos120-cos20)=sin10(+cos20)=sin10+sin10cos20=sin10+sin30+sin(-10)=.解法二：原式=cos20cos40cos60cos80=cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos80=sin40cos40cos80=sin80cos80=sin160=.【例3】-2sin70的值等于（ ）A.1 B.-1 C.2 D.-2解析：原式=1.答案：A【例4】 化简下列各式.（1）sin104+sin16；(2)cos(+）+cos(-)；(3)sin75-sin15；(4)cos75-cos23.解析：(1)sin104+sin16=2sincos=2sin60cos44=cos44.(2)cos(+)+cos(-)=2cos=2coscos=cos.(3)sin75-sin15=2cos=2cos45sin30=2=.(4)cos75-cos23=-2sin=-2sin49sin26.【例5】 化简解析：原式=tan4A【例6】 已知A、B、C为三角形的三个内角，且方程(x2-1)sinB-(x2-x)sinC-(x-1)sinA=0有两个相等的实数根，求tantan的值.解析：原方程化为：（sinB-sinC）x2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0易得两相等实根为x1=x2=1,由韦达定理可得2sinB=sinA+sinC，即4sincos=2sincos，即2cos=cos，即2(coscos-sinsin)=coscos+sinsin，coscos=3sinsin，tantan=.【例7】若x-y=A（定值），则sinxsiny的最大值是（ ）A.sin2 B.cosA C.cosA D.cos2解析：sinxsiny=-cos(x+y)-cos(x-y)=-cos(x+y)+cosA当cos(x+y)=-1时,sinxsiny有最大