高中数学 第1章 三角函数 1_3 三角函数的图象和性质知识导航 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求1.3 三角函数的图象和性质知识梳理 1.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期. 2.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出. 3.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(+x)(xR)，由此可知余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(xR)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.4.正弦、余弦、正切函数的主要性质.函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RRx|x+k,kZ值域-1,1-1,1R周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间+2k,+2k(kZ)-+2k,2k(kZ)(+k,+k)(kZ)减区间+2k,+2k(kZ)2k,2k+(kZ)无对称性对称中心(k,0)(kZ)(k+,0)(kZ)(,0)(kZ)对称轴x=k+(kZ)x=k(kZ)无 5.函数y=Asin(x+)的图象的作法.(1)“五点法”作图用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象时，关键是五个点的选取.设X=x+，由X取0,，2来求相应x的值及对应的y的值，再描点作图.(2)利用图象变换法则作出函数y=Asin(x+)的图象相位变换y=sinxy=sin(x+).周期变换y=sinxy=sinx.振幅变换y=sinxy=Asinx.当函数y=Asin(x+)A0,0,x(0,+)表示一个振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期.y=Asin(x+)可以这样得到:y=sinxy=sin(x+)y=sin(x+) y=Asin(x+).6.三角函数的应用 三角函数的模型可以应用到实际问题 中，三角函数模型的建立程序如下:知识导学 要学好本节内容，可通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性.借助一定的实例展现正弦函数的图象，从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过来利用图象观察性质. 借助实例或借助计算机模拟A、的变化对函数y=Asin(x+)图象的影响，从而建立y=sinx与y=Asin(x+)图象的联系.从中掌握由A的变换，或由A的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象认识y=Asin(x+)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(x+)图象的方法.通过课本中的3个例题，理解将实际问题 直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，根据所得的模型解决问题 .疑难突破1.三角函数图象的五点法作图.剖析:y=sinx，x0,2的图象上有五点起决定作用，它们是(0,0)，(,1)，(,0)，(,-1),(2,0)，描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.(0,1)，(,0)，(,-1)，(,0),(2,1)这五点描出后，余弦函数y=cosx，x0,2的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx的图象，如图1-3-1.图1-3-1 所以，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法. 注意:(1)五点法是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题 曾出现在历届高考试题中.(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.2.周期函数.剖析:(1)周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足,都不能说T是y=f(x)的周期.例如sin(+)=sin,但是sin(+)sin. 就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.(2)从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(+T)=f()，T不是周期，而应写成f(+T)=f(x+2T)=f()，则2T是y=f(x)的周期.(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C(C为常数)，xR，当x为定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.再如函数D(x)= 设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.(5)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值.(6)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(kN*)也一定是周期.(7)在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.3.正弦、余弦、正切函数的性质.剖析:(1)正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键，而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象，因此图象与性质相辅相承，图象是性质的载体，性质又决定了图象的特征；(2)正切函数y=tanx，x(k,k+)(kZ)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调函数；(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值；(4)正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.正切曲线的对称中心有两类，一类是曲线与x轴的交点，此时正切值为0;另一类是对称轴与x轴的交点，此时正切函数无意义. 4.已知函数图象应如何求其表达式?剖析:由f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图象,求其表达式,在这类问题 中,A比较容易求,困难的是求与.而一般由图象可知周期T,再由T求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标x0,则令x0+=0(或x0+=)即可求出.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定与.若对A、的符号或范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求. 5.利用三角函数解决实际问题 应当注意哪些方面？剖析:(1)自变量x的变化范围.(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识.(3)要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审