高中数学 第三章 导数应用 1_1 导数与函数的单调性教材基础 北师大版选修2-21

第三章 导数应用走进学科思想 要想应用导数解决好实际问题,关键是先将实际问题转化为数学问题,再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题,导数在各类题型中的应用已越来越广泛了,已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具.此外,学习中还要注意数形结合. 导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的性质,诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图像等,它可以给中学里解决数学问题拓展新的思路,可以使得有些数学问题得到简化.本章导读知识要点重要指数链接考题学习策略导数与函数的单调性P164，例1(2006高考全国，理21)；P166,例4(2006高考全国，理20)；P167,例5(2007陕西高考，理11)学习这部分内容要注意借助数形结合思想来加深对函数的导数与单调性的关系的理解.通过实例,体会利用导数解决单调性问题的方法函数的极值P176,例4(2006湖北高考，文19)；P177,例5(2006江西高考，理17文17)；P178,例6(2007海南、宁夏高考，理21)学习时要利用导数判断函数的单调性的方法和一般步骤以及函数单调区间的求法.学习过程中要把握住极值点的实质和它与导数的联系函数的最大值和最小值P192,例3(2006福建高考，文21)；P193,例4(2006福建高考，理19)；P195,例7(2007重庆高考，文20)；P197,11(2006江苏高考，18)该知识点和极值有着密切的联系,要重点抓住求函数的最大值和最小值的方法,在学习中要注意数形结合思想的应用,注意函数的定义域1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性 导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的许多性质,这节课我们就利用导数来研究函数的单调性.高手支招1细品教材一、函数的单调性状元笔记 如何判断一个函数是增函数还是减函数呢？可以根据定义,在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1x2,然后比较f(x1)与f(x2)的大小,f(x1)f(x2)则是增函数;f(x1)f(x2)则是减函数.1.增函数和减函数(1)增函数:对于任意的两个数x1,x2I,如果当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.(2)减函数:对于任意的两个数x1,x2I,如果当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2.函数的单调性如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说f(x)在这个区间上具有单调性.二、用导数判断函数单调性的法则状元笔记 一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”.1.切线的斜率和f(x)的导数的关系(1)切线的斜率为正,f(x)0;切线的斜率为负,f(x)0.(2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于,函数曲线呈向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于、小于,函数曲线呈向下减小状态.【示例】 证明函数f(x)=ex+e-x在0,+)上是增函数.思路分析:只需证明f(x)在0,+)上大于等于零恒成立.证明:f(x)=(ex)+()=ex+()=ex-e-x=,当x0,+)时,ex1,f(x)0.f(x)=ex+e-x在0,+)上为增函数.2.用导数判断函数的单调性状元笔记 对于可导函数f(x)来说,f(x)0是函数f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,f(x)0是函数f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在R上为增函数,但f(0)=0,所以在x=0处不满足f(x)0.(1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减.【示例】 f(x)=5x2-2x的单调增区间为 ( )A.(,+) B.(-,) C.(,+) D.(-,)思路分析:求f(x),解不等式f(x)0.答案:A(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤:求导数f(x);在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0;根据的结果确定函数f(x)的单调区间.【示例】求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y,分别令y0和y0,解出x的取值范围,便可得出单调区间.解:(1)y=4x3-4x,令y0,即4x3-4x0,解得-1x0或x1,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+).令y0,解得x-1或0x1,因此单调减区间为(-,-1)和(0,1).(2)y=4x-,令y0,即4x-0,解得x0或x;令y0,即4x-0,解得x或0x.定义域为x0,单调增区间为(,+),单调减区